《高等数学教学资料》

1、编辑ppt一、函数项级数和一致收敛一、函数项级数和一致收敛二二. . 复函数项级数的性质复函数项级数的性质4 4 函数项级数函数项级数一、函数项级数和一致收敛一、函数项级数和一致收敛1( )(1,2,),( ).设复变函数序列定义在复平面设复变函数序列定义在复平面集合 上 称形式如集合 上 称形式如函数级函数级为为项数项数nnnfz nGfz01001( ),( ).当当固固定定时时，是是一一个个复复数数项项级级数数，若若它它收收敛敛于于（ ） 则则说说是是函函数数项项级级数数的的一一收收点点个个敛敛nnnnzGfzS zzfz01( ).发发散散否否的的点点则则说说是是一一个个nnzfz1(

2、 ),.的收敛点全体所成集合称为此的收敛点全体所成集合称为此收敛集收敛集函数函数项数项数域域的或的或收敛收敛级级nnfzDG1,( ),( ).当当在在收收敛敛域域中中变变动动时时 由由级级数数的的和和得得到到一一个个定定义义在在的的函函数数称称为为的的和和函函数数nnzDDS zfz记作记作1( )( ),.nnfzS zzD注意注意:函数项级数在某点函数项级数在某点x x的收敛问题的收敛问题, ,实实质上是数项级数的收敛问题质上是数项级数的收敛问题. .11( )( )( ).称为函数项级数的称为函数项级数的部分和部分和nnknknSzfzfz例例 1 1 求级数求级数nnnxn)11()

3、1(1 的收敛域的收敛域. 解解由达朗贝尔判别法由达朗贝尔判别法)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx, 111)1( x当当,20时时或或即即 xx原级数绝对收敛原级数绝对收敛., 11 x, 111)2( x当当, 11 x,02时时即即 x原级数发散原级数发散.,0时时当当 x 1)1(nnn级数级数收敛收敛;,2时时当当 x 11nn级数级数发散发散;)., 0)2,( 故级数的收敛域为故级数的收敛域为, 1|1|)3( x当当, 20 xx或或2. 2. 一致收敛一致收敛1( )( ).设函数项级数在区域中收敛于函数设函数项级数在区域中收敛于函数nnfzDS z0,0,

4、 若若对对使使得得当当时时, ,NnN 1( )( )( )( ) nnkkSzS zfzS z,对对一一切切成成立立zD1( )( ).则则说说在在一一致致收收敛敛上上于于nnfzDS z1( )( ),若若函函数数项项级级数数在在集集合合的的任任一一闭闭子子集集上上都都一一致致收收敛敛于于nnfzDS z1( )( ).则说在 上则说在 上内闭致收敛内闭致收敛于于一一nnfzDS z定理定理1(Cauchy1(Cauchy准则准则) )1( )( )函数项级数在中函数项级数在中一致收敛于一致收敛于充要条件充要条件的是:的是:nnfzDS z0,0, 对对N 使使得得当当时时, ,nN1(

5、)( )( ) pn pnn kkSzSzfz对对一一切切及及一一切切自自然然数数 成成立立. .zDp定理定理2(Weierstrass2(Weierstrass判别法判别法) )11( )(1,2,),( ).设设在在集集合合 上上且且收收敛敛, ,则则级级数数在在 上上一一致致收收敛敛nnnnnnGfzanafzG1(1)1(1)2例2.证明级数在闭圆域上例2.证明级数在闭圆域上一致收敛.一致收敛.nnnizzn n解解: :12,因因i1,2故当时故当时z (1)(1)nnizn n1( 2)12(1)(1)nn nn n21n211已已知知收收敛敛, ,nn根根据据判判别别法法，We

6、ierstrass1(1)1(1)2级级数数在在闭闭圆圆域域上上一一致致收收敛敛. .nnnizzn nnnxnx3441sin练练习习. .证证明明级级数数在在( (- - , ,+ + ) )上上一一致致收收敛敛. .二二. . 复函数项级数的性质复函数项级数的性质定理定理3 311121( )( )( )( ). 设在区域中一致收敛,在区设在区域中一致收敛,在区域中一致收敛, , 是常数,则级数域中一致收敛, , 是常数,则级数在区域一致收敛在区域一致收敛nnnnnnnfzDgzDfzgz12DDD定理定理4 41( )( )( )1,2,( )设设在在区区域域中中内内闭闭一一致致收收敛

7、敛于于, ,若若（）在在 连连续续，则则在在nnnfzDS zfznDS zD连连续续. .定理定理5 51( )( )( )1,2,: 设 是简单可求长曲线,在 上一致设 是简单可求长曲线,在 上一致收敛于,（）在 上(包括端点)收敛于,（）在 上(包括端点)连续，则可逐项积分连续，则可逐项积分nnnfzS zfzn11( )( )( ).= =nnnnS z dzfz dzfz dz定理定理6 61( )( ),( )1,2,( ),设在区域内闭一致收敛于设在区域内闭一致收敛于又（）在内均解析,则在又（）在内均解析,则在内解析且可逐项求导 即内解析且可逐项求导 即nnnfzGS zfznG

8、S zG()()()11( )( )( ) (1,2,).mmmnnnnSzfzfzm11( )( ).例例3 3. .已已知知在在内内闭闭一一致致收收敛敛于于, ,求求和和函函数数nnzzf znf z解解: :由定理由定理6 6得得11111( )()()1-nnnnnnzzfzznnz 0001( )ln(1)ln(1)1-zzzfddz 0( )(0)( )(0)ln(1)zf zffdfz ln(1).z0(1)1( )( ).nnnzzS zS z例例4 4. .已已知知在在内内闭闭一一致致收收敛敛于于, ,求求和和函函数数解法解法1:1: 由定理由定理5 5得得00000( )(1)(1)zzznnnnSdndnd 101-nnzzz201( )( )().1(1)zzS zSdzz解法解法2:2:11000( )(1)()()nnnnnnS znzzz2