材料力学第五章 弯曲强度课件

1、材料力学材料力学10何斌2022-1-22Page 2 何斌何斌材料力学Page 3 何斌何斌材料力学Page 4 何斌何斌材料力学 跨中部位出现一些跨中部位出现一些贯穿性垂直裂缝贯穿性垂直裂缝，截面的，截面的下边下边缘缘处首先出现，向梁截面中间部位延伸处首先出现，向梁截面中间部位延伸.现象分析？钢筋砼矩形截面梁钢筋砼矩形截面梁Page 5 何斌何斌材料力学现代梁理论由现代梁理论由伽利略伽利略开始开始关于两门新科学的对话关于两门新科学的对话，16381638年年出版。出版。伽利略研究的重要意义：伽利略研究的重要意义：建立了建立了“实验观测实验观测假设假设分析与推导分析与推导”现代科学研究方法！

2、现代科学研究方法！ 18261826年年，由，由NavierNavier完成弯曲正应力的推导。完成弯曲正应力的推导。188年！年！Page 6 何斌何斌材料力学受力：荷载平面与几何纵向对称面重合几何：具有纵向对称面qpFeMAyFByFBA纵纵向向对对称称面面平面弯曲平面弯曲Page 7 何斌何斌材料力学纯弯曲纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲。横力弯曲横力弯曲 梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲。MxFQx +PF aPFPF aPFAaPFBCDFPPage 8 何斌何斌材料力学应力分布应力公式变 形应变分布物理关系物理关系静力关系静力关系实验观测实验观测 变形几何变形几何变形几何

3、变形几何Page 9 何斌何斌材料力学应力分布应力公式变 形应变分布变形几何变形几何物理关系物理关系静力关系静力关系实验观测实验观测 Page 10 何斌何斌材料力学应力分布应力公式变 形应变分布变形几何变形几何物理关系物理关系静力关系静力关系实验观测实验观测 1.1.外部变形外部变形观测观测（2 2）横向线：）横向线：仍为直线，只是相对转动了一个角度；仍为直线，只是相对转动了一个角度； 且仍与纵向线正交。且仍与纵向线正交。（1 1）纵向线：）纵向线：变成彼此平行的弧线，变成彼此平行的弧线，且上缩下伸。且上缩下伸。Page 11 何斌何斌材料力学应力分布应力公式变 形应变分布变形几何变形几何物

4、理关系物理关系静力关系静力关系1.1.外部变形外部变形观测观测（2 2）横向线：）横向线：仍为直线，只是相对转动了一个角度；仍为直线，只是相对转动了一个角度； 且仍与纵向线正交。且仍与纵向线正交。（1 1）纵向线：）纵向线：变成彼此平行的弧线，变成彼此平行的弧线，且上缩下伸。且上缩下伸。2.2.内部变形内部变形 变形前为平面的横截面变形后变形前为平面的横截面变形后 仍为平面仍为平面，仅仅是转过了一个，仅仅是转过了一个 角度且角度且仍垂直于仍垂直于变形后的轴线。变形后的轴线。梁是由许多纵向层组成的，梁是由许多纵向层组成的，且且（1 1）弯曲平面假设弯曲平面假设：（2 2）单向受力假设单向受力假设

5、各纵向层之间各纵向层之间无挤压无挤压。假设假设Page 12 何斌何斌材料力学应力分布应力公式变 形应变分布变形几何变形几何物理关系物理关系静力关系静力关系 根据变形的连续性可知，梁弯曲时中间必有一层纵向既不伸长也不缩短-称为中性层中性层 。 中性层：中性层与横截面的交线称之为中性轴中性轴。凹入凹入一侧纤维一侧纤维缩短缩短突出突出一侧纤维一侧纤维伸长伸长Page 13 何斌何斌材料力学应力分布应力公式变 形应变分布变形几何变形几何物理关系物理关系静力关系静力关系Page 14 何斌何斌材料力学应力分布应力公式变 形应变分布变形几何变形几何物理关系物理关系静力关系静力关系Page 15 何斌何斌

6、材料力学应力分布应力公式变 形应变分布变形几何变形几何物理关系物理关系静力关系静力关系Page 16 何斌何斌材料力学应力分布应力公式变 形应变分布变形几何变形几何物理关系物理关系静力关系静力关系Page 17 何斌何斌材料力学应力分布应力公式变 形应变分布变形几何变形几何物理关系物理关系静力关系静力关系中性层曲率中心中性层曲率中心(1) . y11A BABAB11A BOOOO横截面上任一点处的纵向正应变与该横截面上任一点处的纵向正应变与该点到中性轴的距离点到中性轴的距离y 成正比成正比。dxyzxoyABoo d dyzyxooA1B2dddy)(yPage 18 何斌何斌材料力学应力分

7、布应力公式变 形应变分布变形几何变形几何物理关系物理关系静力关系静力关系在弹性范围内，E(2) . EyE1.1.沿沿y y轴即高度方向线性分布轴即高度方向线性分布2.2.上下缘上下缘最大最大，Z Z轴上各点应力为零轴上各点应力为零 3.3.与与z z坐标无关，沿宽度方向均匀分布。坐标无关，沿宽度方向均匀分布。Page 19 何斌何斌材料力学应力分布应力公式变 形应变分布变形几何变形几何物理关系物理关系静力关系静力关系应力分布图：应力分布图：中性轴的位置中性轴的位置中性层的曲率中性层的曲率1？zMzMyxztmaxcmax1.1.沿沿y y轴即高度方向线性分布轴即高度方向线性分布2.2.上下缘

8、上下缘最大最大，Z Z轴上各点应力为零轴上各点应力为零 3.3.与与z z坐标无关，沿宽度方向均匀分布。坐标无关，沿宽度方向均匀分布。Page 20 何斌何斌材料力学应力分布应力公式变 形应变分布变形几何变形几何物理关系物理关系静力关系静力关系(2) . EyE AdA NFAydAE dAyEA00zzSSE中性轴中性轴Z轴为形心轴轴为形心轴yxMZZyzdAPage 21 何斌何斌材料力学应力分布应力公式变 形应变分布变形几何变形几何物理关系物理关系静力关系静力关系(2) . EyE AdAy zMAdAyE2 ZEIydAyEAZ1EIMzZIyMz截面对于中截面对于中性轴的惯性性轴的惯

9、性矩矩抗弯刚度抗弯刚度Page 22 何斌何斌材料力学最大正应力公式与弯曲截面模量最大正应力公式与弯曲截面模量 工程上最感兴趣的是横截面上的最大正应力，也就是横截面工程上最感兴趣的是横截面上的最大正应力，也就是横截面上到中性轴最远处点上的正应力。这些点的上到中性轴最远处点上的正应力。这些点的y坐标值最大，即坐标值最大，即y=ymax。将。将y=ymax代入正应力公式得到代入正应力公式得到 zzM yI maxmaxzzzzM yMIW称为弯曲截面系数，单位是称为弯曲截面系数，单位是mmmm3 3或或m m3 3 。 maxzzIWyPage 23 何斌何斌材料力学 纯弯曲时，梁横截面上正应力分

10、析纯弯曲时，梁横截面上正应力分析yzbh3212622zzbhIbhWhh3212622yyhbIhbWbb43643222yzdIdWWWddzyd最大正应力公式与弯曲截面模量最大正应力公式与弯曲截面模量 Page 24 何斌何斌材料力学 纯弯曲时，梁横截面上正应力分析纯弯曲时，梁横截面上正应力分析zzzzWMIyMmaxmaxmaxzzIWy443411643222yzDDIWWWDDdD最大正应力公式与弯曲截面模量最大正应力公式与弯曲截面模量 zydDPage 25 何斌何斌材料力学Page 26 何斌何斌材料力学 首先首先决定正应力是拉应力还是决定正应力是拉应力还是压应力。压应力。 确

11、定正应力正负号比较简单确定正应力正负号比较简单的方法是首先确定横截面上弯矩的的方法是首先确定横截面上弯矩的实际方向，确定中性轴的位置；然实际方向，确定中性轴的位置；然后根据所要求应力的那一点的位置，后根据所要求应力的那一点的位置，以及以及“弯矩是由分布正应力合成的弯矩是由分布正应力合成的合力偶矩合力偶矩”这一关系，就可以确定这一关系，就可以确定这一点的正应力是拉应力还是压应这一点的正应力是拉应力还是压应力。力。 xyzMz My + +Page 27 何斌何斌材料力学maxmaxzzM yImaxmaxzzM yI 如果梁的横截面具有一对相互垂直的对称轴，并且加载方向如果梁的横截面具有一对相互

12、垂直的对称轴，并且加载方向与其中一根对称轴一致时，则中性轴与另一对称轴一致。此时最与其中一根对称轴一致时，则中性轴与另一对称轴一致。此时最大拉应力与最大压应力绝对值相等。大拉应力与最大压应力绝对值相等。 如果梁的横截面只有一根对称轴，而且加载方向与对称轴一如果梁的横截面只有一根对称轴，而且加载方向与对称轴一致，则中性轴过截面形心并垂直对称轴。这时，横截面上最大拉致，则中性轴过截面形心并垂直对称轴。这时，横截面上最大拉应力与最大压应力绝对值不相等，可由下列二式分别计应力与最大压应力绝对值不相等，可由下列二式分别计算：算： 在实际计算中，可以不注明应力的正负号，只要在计算结果在实际计算中，可以不注

13、明应力的正负号，只要在计算结果的后面用括号注明的后面用括号注明“拉拉”或或“压压”。 Page 28 何斌何斌材料力学maxmaxzzM yImaxmaxzzM yIPage 29 何斌何斌材料力学ZIyMz细长杆细长杆横力弯曲横力弯曲PP翘曲变形翘曲变形Page 30 何斌何斌材料力学2009年春，范钦珊教授提出一个关于细长梁理论的怪例：Page 31 何斌何斌材料力学何斌，张慧玲，陈晨，范钦珊，从一个怪例看细长梁理论何斌，张慧玲，陈晨，范钦珊，从一个怪例看细长梁理论的基本假定的基本假定, 力学与实践，力学与实践，2010，32(4)：90-93 何斌，范钦珊，张慧玲何斌，范钦珊，张慧玲 ，

14、均布力偶作用下细长梁力学分，均布力偶作用下细长梁力学分析，固体力学学报，析，固体力学学报，2011，32(5)：534-540(EI)何斌，张慧玲，范钦珊，再论从一个怪例看细长梁理论的何斌，张慧玲，范钦珊，再论从一个怪例看细长梁理论的基本假定基本假定, 力学与实践，力学与实践，2011，33(6)：79-80 Page 32 何斌何斌材料力学Page 33 何斌何斌材料力学 矩形截面悬臂梁有两个对称面：由横截面铅垂对称轴矩形截面悬臂梁有两个对称面：由横截面铅垂对称轴所组成的平面，称为铅垂对称面；由横截面水平对称轴所所组成的平面，称为铅垂对称面；由横截面水平对称轴所组成的平面，称为水平对称面。梁

15、在自由端承受外加力偶组成的平面，称为水平对称面。梁在自由端承受外加力偶作用，力偶矩为作用，力偶矩为Me，力偶作用在铅垂对称面内。试画出梁，力偶作用在铅垂对称面内。试画出梁在固定端处横截面上的正应力分布图。在固定端处横截面上的正应力分布图。 Page 34 何斌何斌材料力学确定固定端处横截面上的弯矩确定固定端处横截面上的弯矩 根据梁的受力，从固定端处将梁截开，考虑右边部分的平衡，根据梁的受力，从固定端处将梁截开，考虑右边部分的平衡，可以求得固定端处梁截面上的弯矩可以求得固定端处梁截面上的弯矩: MMe 。这一梁的所有横截面这一梁的所有横截面上的弯矩都等于外加力偶的力偶矩上的弯矩都等于外加力偶的力

16、偶矩Me。 Page 35 何斌何斌材料力学确定中性轴的位置确定中性轴的位置中性轴中性轴中性轴通过截面形心并与截面的铅垂对称轴中性轴通过截面形心并与截面的铅垂对称轴(y)垂直。因垂直。因此，此，z轴就是中性轴。轴就是中性轴。判断横截面上承受拉应力和压应力的区域判断横截面上承受拉应力和压应力的区域 根据弯矩的方向可判断横截面中性轴以上各点均受压应根据弯矩的方向可判断横截面中性轴以上各点均受压应力；横截面中性轴以下各点均受拉应力。力；横截面中性轴以下各点均受拉应力。 Page 36 何斌何斌材料力学中性轴中性轴判断横截面上承受拉应力和压应力的区域判断横截面上承受拉应力和压应力的区域 根据弯矩的方向

17、可判断横截面中性轴以上各点均受压应力；根据弯矩的方向可判断横截面中性轴以上各点均受压应力；横截面中性轴以下各点均受拉应力。横截面中性轴以下各点均受拉应力。 画梁在固定端截面上正应力分布图画梁在固定端截面上正应力分布图 根据正应力公式，横截面上正应力沿截面高度（根据正应力公式，横截面上正应力沿截面高度（y）按直线分）按直线分布，在上、下边缘正应力最大。本例题中，上边缘承受最大压应布，在上、下边缘正应力最大。本例题中，上边缘承受最大压应力；下边缘承受最大拉应力。于是可以画出固定端截面上的正应力；下边缘承受最大拉应力。于是可以画出固定端截面上的正应力分布图。力分布图。Page 37 何斌何斌材料力学

18、 矩形截面简支梁承受均布载荷作用。已知：矩形截面简支梁承受均布载荷作用。已知：矩形的宽度矩形的宽度b=20mm，高度，高度h30mm；均布载荷；均布载荷集度集度q10 kN/m ；梁的长度；梁的长度l450mm。求：梁。求：梁最大弯矩截面上最大弯矩截面上1、2两点处的正应力。两点处的正应力。 l/2l/2Page 38 何斌何斌材料力学l/2l/2确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值 根据静力学平衡方程根据静力学平衡方程 MA0 和和 MB0，可以求得支座，可以求得支座A和和B处的约束力分别为处的约束力分别为 N1025. 2210450mm10kN/m1023-3

19、3RRqlFFBAFRAFRBPage 39 何斌何斌材料力学确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值3RR2 25 10 N2.ABqlFF梁的中点处横截面上弯矩最大，数值为梁的中点处横截面上弯矩最大，数值为 mN10253. 08)10450mm(10kN/m10832-332maxqlMl/2l/2FRAFRBPage 40 何斌何斌材料力学计算惯性矩计算惯性矩 根据矩形截面惯性矩的公式根据矩形截面惯性矩的公式, ,本例题中，矩形截面本例题中，矩形截面对对z轴的惯性矩为轴的惯性矩为 483-3-33m105412)10mm30(10mm2012.bhIzl/2l/

20、2FRAFRBPage 41 何斌何斌材料力学求弯矩最大截面上求弯矩最大截面上1、2两点的正应力两点的正应力 均布载荷作用在纵向对称面内，因此横截面的水平对称轴均布载荷作用在纵向对称面内，因此横截面的水平对称轴(x)就就是中性轴。根据弯矩最大截面上弯矩的方向，可以判断：是中性轴。根据弯矩最大截面上弯矩的方向，可以判断：1点受拉应点受拉应力，力，2点受压应力。点受压应力。1 1、2两点到中性轴的距离分别为两点到中性轴的距离分别为 m105 . 741030442331hhhym1015210302332hyl/2l/2FRAFRBPage 42 何斌何斌材料力学求弯矩最大截面上求弯矩最大截面上1

21、、2两点的正应力两点的正应力 FRAFRB317 5 10 m.y3215 10 my于是，在弯矩最大截面上，于是，在弯矩最大截面上，1、2两点的正应力分别为两点的正应力分别为 42.2MPaPa104220m104.5m105710m0.253N1848-331max.zIyM 84.2MPaPa108420m104.5m101510m0.253N2348-332max.zIyMPage 43 何斌何斌材料力学丁字形截面简支梁在中点承受集中力丁字形截面简支梁在中点承受集中力FP32kN，梁的，梁的长度长度l=2m。丁字形截面的形心坐标丁字形截面的形心坐标yC=96.4mm，横截面对横截面对于于z轴的惯性矩轴的惯性矩Iz =1.02 108 mm4。求：弯矩最大截面上的。求：弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。最大拉应力和最大压应力。Page 44 何斌何斌材料力学Mmax确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值 根据静力学平衡方程根据静力学平衡方程 MA0 和和 MB0，可以求得支座，可以求得支座A和和B处的约束力分别为处的约束力分别为FRAFRB16 kN。根据内力分析，梁中。根据内力分析，梁中点的截面上弯矩最大，数值