北师大版八年级数学下册《第一章三角形的证明》每日一题(含答案)

1、?第一章三角形的证明?每日一题1. 在 ?中?，?= ?.?(1 )假设厶?一边长为3，周长为12，那么?=;(2) 如图，假设点？?在?的延长线上，Z ? 110 °那么/ ?;(3) 如图，假设点 ？?在?的延长线上，？= ? Z ? 40°贝?=;(4) 如图，假设？?是?上一点，且？?= ?= ?求/?勺度数；(5) 如图，假设 ？是?上一点，且?是 ?的?中线，?把 ?的周长分为12和15两局部，求 ?的三边长；(6) 如图，假设?是 ? 的?角平分线，且 ?长为20, ?= 6，求 ?的周长.【答案】(1)40 °35 ° / ?= 36 &

2、#176;分为两种情况：？?= ?= 8, ?= 11 :? ?= 10, ? 7; ?周长为 16.2. 如图，在等边 ?中?，?为?的中点，?为?上的动点，以？?为边作等边 ?过点？?乍?的平行线? 交？于占? y J 八、(1 )特例发现如图，当点？?与点？重合时，直线?和 ?的位置关系是； ?与?的位置关系是(2 )类比探究 如图，当点？?移动到如下图的位置时，上述结论还成立吗？如果成立，请写出证明过程；如果不成立, 请说明理由.(3 )拓展延伸如图，在四边形 ？?中？ ?= ?= ?,? Z ? 60 °° 过点？?乍?£?于点?过点？?乍?/?交3?于

3、点?假设?= 5, ?= 2，请直接写出线段?的长度.【答案】(1) ?/?! ?(2 )结论仍然成立.证明如下： ? ?均为等边三角形，./ ? / ? 60 °, ?= ?，?*= ?./ ? / ?/. ?./ ? / ? 60 °,? z ?. ?/?/ ?/?/?/?点？是?的中点，点？是?的中点， ?为?等边三角形,? ?(3)线段?的长为7.4. 在厶?, ?= 6 , ?= ?= 5，将 ?绕?点？按顺时针方向旋转，得到 ?旋转角为？?(d <?< 180°，点？的对应点为点？点？的对应点为点？连接？?？ ？?？£(1)如图，

4、当？?= 60°时，延长?交?于点?求证：?等边三角形；求证：?| ? ?= ? ?请直接写出?的长.在旋转过程中，过点？?乍?垂直于直线?,?垂足为点？连接?,?当Z ? Z ?且线段?与线段?无公共点时，请直接写出？?？ ?的值.【答案】 解： ?绕?点？?顺时针方向旋转 60。得到 ?.?学? / ? 60 °, ?等边三角形；由得?等边三角形， ?*= ? ?绕点？?顺时针方向旋转 60得到 ? ? ? ?又?= ?. ?= ?点？ ？在?的中垂线上, ?是 ?的 中垂线，点？在?的延长线上， ?L? ?= ?由知 ?L? ?= ?， ? ? 3,/ ? ?= 5

5、, ?*= 4,在等边三角形?中, ?= V? ?2>= V ? ；?= 3 v3, ?*= ? ?= 3V3 - 4.如下图,/ / ? Z ?/ ? Z ? Z ? Z ? Z ? Z ? Z ? Z ? 180 °,又 / ? Z ? Z ? 180 °,/ ? / ?*= ?= ? Z ? Z ? Z ? Z ? ?L?且？?= ?=丄？?2 / ? ?,1?*= ?*=? 32那么?= 2?= 8, ?= 5? ? 13 .4.如图，在?, Z ? 90°, Z? 30 °° ?为？?边的中点，以？?为边作等边 ?连结? ?(1

6、)求证： ? ?(2) 假设?=，在？?边上找一点？?，使得？?+ ?最小，并求出这个最小值.【答案】(1 )证明：在?, Z ? 30°, ?为？?边的中点,. ? ?, / ? 60 °.?等边三角形，. ? ? / ? / ? 60 °,.Z ? 120 °,/ ?120 ° °./ ? / ?/. ? ?(?)(2)解：如解图，作点？关于直线？?对称点？，连结?交?于点?.那么点？?即为符合条件的点，连结 ?.由作图可知： ? ? ? , ? = ?,? Z ? ? Z ? 30 ° - 丿 丿 z V V/ ?=

7、60 °,二 ?为等边三角形， ?=:?= 1?2.Z ?= 90°,在?中？, Z ? 30 °° ?=, ?学 2v3, ? = ?= v3 ,在?中，由勾股定理得? = v?-,2?3' ?+ ?的最小值为3.5. 现有正方形？?和一个以？?为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板的两直角边所在直线分别与直 线？?、？?交于点？?、?.如图，假设点？?与点？重合，容易得到线段 ？?与?的关系.1 观察猜测如图，假设点？莊正方形的中心即两条对角线的交点，？?与?的数量关系是 ;2 探究证明如图，假设点？衽正方形的内部含边界，且？?= ?请判断

8、三角板移动过程中所有满足条件的点？?可组成什么图形，并说明理由；3拓展延伸假设点？在正方形的外部，且？?= ?请你在图中画出满足条件的一种情况，并就“三角形在各种情况 下含外部移动，所有满足条件的点?所组成的图形 ，写出正确的结论 不必说明理由【答案】?= ?解：2三角板移动过程中所有满足条件的点?可组成线段 ?对角线 ?理由如下：如解图，过点？?分别作？?£?,?£ ?,?垂足分别为？ ?贝U Z ?= Z ? 90 °.又 Z ?= 90 °,./ ? / ?= 90 °,./ ?= / ?在厶？?和 ?中,/ ?= Z ? Z ?= Z

9、?= ?. ? ?. ?= ?又?£? ?L ?点？在/ ?的平分线上，.三角板在移动过程中所有满足条件的点?可组成线段 ?对角线 ?Mfi(D(3 )画图如解图，三角板移动过程中所有满足条件的点可组成线段？?或过点？且与？?睡直的直线.MS6. 如图，在等边三角形 ？?，?4，点？是？?边上的一点，过点 ？?乍？?/?交？?于点？过点？?乍? ? 交 ?的延长线于占 ?- I J" HE J -J 八、 (1)求证： ?是等腰三角形;(2)点？满足时，点？?是线段?的三等分点；并计算此时 ?面积.【答案】 ?等边三角形，? ?辛？?,？ / ?卞 / ?= / ?60 /

10、 ?/?./ ?/?= 60 °,/ ?L?./ ?90 °,.Z ?= 30 °° z ?是? ?的外卜角， z ?60 ° - 30° = 30 °,.z ?=?z ? ?= ?= ., ?是等腰三角形； ?是?的中点7. 如图，在四边形 ？?中？ Z ? 90 °,?= ?,?点？ ？分别为？?、?的中点，连接?、? ?(1)求证：？= ?； 当?= ?时，设z ? ? z ? ?求? ?之间的数量关系式.【答案】(1)证明： z ? 90 ° ° 点？是?的 中点,1/.?*=-?2点？

11、 ？分别是？?、?的中点，1.? ?2丿又?= ?/.?*= ?; 解： ?= ?.z ? z ? ?/ ? 2?.?/?/. / ?= Z ? ?.?= ?%?= ?等边三角形，.Z ? 60 °, Z ? Z ? 2?+ ?= 60 °,即? ?之间的数量关系式是 2?+ ?= 60 °°8. 如图1,点？?是线段?上一点， ?和? ?分别是等边三角形，连接?和 ?(1) 求证：? ?(2) 如图2，点？ ？?分别是? ?的中点，试判断 ?形状，并证明【答案】证明：.? ?分别是等边三角形, . ? ?, ?a ?./ ?/ ?60 °,

12、Z ? Z ? / ? / ? 即 Z ?/ ?在厶? ?,?= ?/ ? Z ?= ? ? ?(?). ? ?是等边三角形.证明如下： 由(1)证明可知： ? ?. ? ? z ?/ ?点？ ？分别是？?、?的中点，1 1.? _?= ?2 ,2 ''',-. ? ?在 ? ?,? ? z ? z ?= ? ? ?(?).z ?z ? ?.z ?z ? Z ?Z ? Z ?Z ?60 °, ?等边三角形.9. 如图1,在等边三角形?,点？?，？分别在边? ?上, ?= ?,?连结? ?点？?，？?，? 分别是? ? ?的 中点，连结？?,？ ? ? ?1 观

13、察猜测图1中厶?是 填特殊三角形的名称.2 探究证明如图2 , ?绕?点？按逆时针方向旋转，贝U ?的形状是否发生改变？并就图2说明理由.3 拓展延伸假设厶?点?在平面内自由旋转，？?= 1 , ?学3，请直接写出 ?的周长的最大值.【答案】(1) 等边三角形解：(2)?的形状不发生改变，仍为等边三角形理由如下：连结? ?由旋转可得 Z ? Z ? ?等边三角形，. ? ? / ? / ? 60 ,又?= ?/. ? ?= ? / ? / ? ?是 ?的 中点，？是?的 中点， ?! ?中 位线，1 ?= 2 ?,?且?/?.?1同理可证?= 2 ?且？?？?= ? / ? / ?/ ? /

14、? / ? / ? / ? / ? ( / ? / ?) ( / ? / ?) / ? / ? 120 ,./ ?= 60, ?是等边三角形.(3) ?的周长的最大值为6 .解法提示：易证在?旋转的过程中， ?恒为等边三角形.如图，当点？ ？ ？在同一线上，且点 ？在?上时， ?的周长最大，易知此时点？?，？ ？莊同一直线上.点？?，？分布为？?？ ?的中点，1 1 ?= 2?= 2 (1 + 3) = 2,故厶？?周长的最大值为2 X 3=6 .10. 如图，将一副直角三角尺的直角顶点？叠放在一起.(1)假设/ ?= 35 °, / ?_；假设 /? 140 °20 &#

15、39;，那么 Z ? 猜测Z ?Z?大小有何特殊关系，并说明理由；假设保持三角尺?其中Z ?= 45°不动，三角尺?边与？?边重合，然后将三角尺 ？?其中/?= 30 °绕点？按逆时针方向任意转动一个角度Z ?设/ ? ?(0 < ?< 90°), Z ?能否是/?的4倍？假设能求出？?勺值；假设不能说明理由.【答案】145 °, 39 °40 /互补理由：t Z? Z ? Z ? Z ? 180 ./ / ? Z ? Z ? Z ?/ ? / ? 180 °,即z ?与?/ ?互补. 当 z ?是? z ?的4 倍，设

16、z ? 4? z ? ?/ z ? z ? 180 °, 4?+ ?= 180解得：？?= 36 °, ?= 90 ° - 36 ° = 54 °11. 如图，边长为4?的等边 ?,点？ ？?分别是边？?,？?上的动点(端点除外)，点？从顶点？点?从顶点？同时出发，且它们的速度都为1?/?连接? ?交于点？?，在点？ ？恭动的过程中.(1)求证：? ?(2) Z ?的大小是否发生变化？假设无变化，求Z ?的度数；假设有变化，请说明理由;连接?当点？ ？恭动多少秒时， ?是直角三角形？【答案】(1)证明：T ?是等边三角形，./ ? / ? 60

17、 °, ?= ?/点? ?的速度相同, ?= ? ?, / ? Z ?,?= ?, ? ?.?解：Z ?的大小不发生变化, / ? ? Z ? Z ?.z ?=/ ? / ?/ ? z ? 60 .解：设点？ ？恭动？秒时， ?是直角三角形,那么?= ?= ? ?= (4 - ?)当 z ? 90。时, Z ?= 60 °. ?= 2?即 4 - ?= 2?4解得，？?= 3.当 z ? 90。时，T Z ?= 60 °.?= 2?即 2(4 - ?)= ?8解得，？?= 3.当点？ ？运动4秒或3秒时，3 3?是直角三角形.12. 如图1，点？ ？?分别是边长为

18、4?的等边 ?边?、？?上的动点，点？从顶点？点？?从顶点？?同时 出发，且它们的速度都为1?/?(1) 连接? ?交于点？?，那么在？ ？恭动的过程中，Z ?变化吗？假设变化，那么说明理由，假设不变， 那么求出它的度数；(2) 何时 ?是直角三角形？(3) 如图2，假设点？ ？莊运动到终点后继续在射线？?？ ?上运动，直线？?？ ?交点为？?，那么Z ?变化吗？假设变化，那么说明理由，假设不变，那么求出它的度数.【答案】 解：(1) Z ?= 60。不变.等边三角形中，？= ?,? Z ?= Z ?=? 60 °又由条件得？?= ?:. ? ?(?)./ ? / ?./ ? Z ?

19、 Z ?= Z ? Z ? Z ? 60 °.(2)设时间为?那么?= ?= ?= 4 - ? 当 Z ? 90。时， Z ?= 60 °. ? 2?得 4 -?= 2? ?= 4 ；3 ? 当 Z ? 90。时, Z ?= 60 °. ?_ 2?得?=82(4 - ?) ?* 3 ；当第3秒或第8秒时， ?为直角三角形.(3) Z ?= 120。不变.在等边三角形中，？?？= ?,? Z ?= Z ?*=? 60./ ? / ? 120 °又由条件得？?= ? ? ?(?)丄/.z ? / ?又 : z ? z ?.Z ? z ? 180 °

20、 - 60 ° = 120 °13. 我们可引入如下概念.定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.举例：如图1，假设？?= ?那么点?为厶?准外心.12 ?,?求 Z ?的?度应用：如图2 , ?为等边三角形 ？?高，准外心？在高?上，？?字?且?=数.?的 长.探究： ?为直角三角形，斜边 ？?= 5, ?= 3，准外心？在？?边上，试探究【答案】解：应用：因为？?= ?1由? -?得? ?2 ./ ? 45 ,故/ ? 90 °探究： ?= 5, ?= 3, ? V? ?= V52 - 32 = 4 , 假设?= ?,?设?= ?那么？+

21、32 = (4 - ?2 ,?= 7 即?= 7 8' 8 ' 假设? ?那么?= 2 , 假设？?？ ?,?由图知，在 ？? 不可能成立.故?= 2或7.814. 如图(1)，在 ?中?, ?= ?= 3, Z ? 100 °, ?是?的中点.小明对图(1)进行了如下探究：在线段 ?上任取一点？连接？?.？将线段？?绕点？按逆时针方向旋转80°, 点？勺对应点是点？连接？?？得到 ?小明发现，随着点？在线段?上位置的变化，点？?勺位置也在 变化，点？可能在直线？?的左侧，也可能在直线 ?上，还可能在直线？?的右侧.请你帮助小明继续探究，并解答以下问题：厝门

22、(flSf(1) 当点？在直线?上时，如图 所示： Z ?； 连接？?,？直线?与直线？?的位置关系是 请在图 中画出 ?使点？在直线?的右侧，连接?.?试判断直线?与直线？?的位置关系，并 说明理由.当点？在线段?上运动时，？?的最小值为 (直接写出答案)【答案】50°, ?/?如图 中，以？为圆心，？?为半径作O ?/ ?垂直平分线段？?,?*= ?1/ ? / ? 402 / / ? 40 ,?/?如图(4)中，作?! ?于 ?,点？在射线?上运动，点？在线段?上运动，.当点？运动到与点？重合时，?的值最小，此时?的最小值=?= 3 .15. 点？?是/?平分线上一点，？?L

23、?,? ?L ?,?垂足分别为？ ？在?上有一点?在?的延长线上有一点？使得？?辛？?(1)过点？?作?£ ?连结？?、?求证：?垂直平分?；【答案】证明：如图1，连接?/ ?平分 / ?£ ? ?£? ? / ?/ ?/ ?90在厶? ?,?= ?/ ? Z?= ?/. ? ?(?). ? ?/ ?£ ?. ? ? ?垂直平分？?；如图 2,由(1)知:?/ ? ? ? ?(?). ? ? 5/ ?辛3,. ? ? ? ? 5 - 3 = 2. ? ? ? 5 + 2 = 7在? ?, / ?90 ° ?= "?2 ?= V72 -

24、 32 = 2v!016.四边形?中? ?？?£ ?点？?为线段？?延长线上一点，？为线段?上一动点.CBCM(1)如图1，当？?！？?时,Z ?平分线?与 Z ?的?平分线?的反向延长线交于点 ?求证：Z ? Z ?求Z ?的?度数.如图2,当？庶在线段?上运动时，作？?丄？?交？?于点？?，/?的平分线？?与/ ?平分线?交于点？?，当点在运动的过程中，Z ?勺大小会发生变化吗？如果不变，请写出Z ?勺值【答案】 解： 如图 1, I?!?7?丄？/ ?+ Z ?= 90 °, Z ?+ Z ?= 90 °,./ ?= / ?/ ? / ?= 90 / ?的平分线?与 / ?的?平分线?的反向延长线交于点 ?/ ? Z ?/Z? 1 z?2z ?/. z ? Z ? 90 °.Z ? 90 °.(2) 不变，Z ? 45 理由：如图 2 , -/Z ? 90Z ? Z ? 90 °.?丄?,Z ? Z ?= 90 °,.z ? Z ?,?又/ ? ?中,Z ? Z ?= 90 °,Z ? Z ?= 90 °,又因为Z ?的平分线?与 Z ?的平分线?交于？?,1 1.z ?= f / ?/ ? 1 z ?.z ?+ z ?(