第六节平面及其方程ppt课件

1、v 平面的方程平面的方程v 两平面的夹角两平面的夹角第六节第六节平面及其方程平面及其方程v 点到平面的距离点到平面的距离点法式方程点法式方程一般方程一般方程截距式方程截距式方程xyzo一、平面的方程一、平面的方程n上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 1.平面的点法式方程平面的点法式方程如果非零向量如果非零向量n 垂直于平面垂直于平面,则称向量则称向量n 为平面为平面的法向量的法向量.垂直于平面的任一非零向量都可作为该平面的法向量垂直于平面的任一非零向量都可作为该平面的法向量.xyzo0MM0M Mn n设平面过点设平面过点 ,nA B C 为平面为平面的法向量的法向量,上页上页 下页下页

2、返回返回 完毕完毕 0000( ,),M x y z且以且以求平面求平面的方程的方程.设设( , )M x y z为平面上任意一点为平面上任意一点, 那么那么00M M n 得得000()()()0A xxB yyC zz 称为平面的点法式方程称为平面的点法式方程.而而0000,M Mxxyyzz kji例例1.1.求过三点求过三点1M又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx化简得化简得1M2M3M解解 取该平面的法向量取该平面的法向量),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面的方程的平面的方程. 利用点法式得平面的方程利用点法式得平面

3、的方程346231nn3121MMMM上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 在平面上在平面上,即可通过三阶行列式来计算平面的方程即可通过三阶行列式来计算平面的方程: : 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般地一般地, 过三点过三点)3,2, 1(),(kzyxMkkkk的平面方程为的平面方程为: :解二解二,1MMMM1上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 称为平面的三点式方程称为平面的三点式方程.设设),(zyxM为平面上任一点为平面上任一点, 则三向量则三向量3121,MMMM共面共面,因而因而, 混合积混合积0)(3121

4、MMMM由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000CzByAxCzByAxD2、平面的一般方程、平面的一般方程化简得化简得这是一个三元一次方程这是一个三元一次方程.任给三元一次方程任给三元一次方程 0DzCyBxA)0(222CBA该方程唯一确定一张以该方程唯一确定一张以因而因而, ,三元一次方程表示平面三元一次方程表示平面, ,),(CBAn 为法向量的平面为法向量的平面, , 平面的一般方程平面的一般方程.称三元一次方程为称三元一次方程为上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 几种特殊情况：几种特殊情况：, 0)1( D平面过坐标原点；平面过坐

5、标原点；0)2(A平面通过平面通过 x x 轴；轴；平面平行于平面平行于x x 轴；轴；, 0)3( BA平面平行于平面平行于xOy xOy 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论 情形情形. .0, 0 CBCA类似地可讨论类似地可讨论 情形情形. .0,0 CB0DzCyBxA平面一般方程平面一般方程: , 0D , 0D上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 ), 0(CBn 垂直于垂直于x 轴轴),(CBAn 例例2. 求通过求通过 x 轴和点轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程的平面方程.解解因平面过因平面过 x x 轴轴 , ,0 DA故可设平面方程为可设平面方程为0zCyB代

6、入已知点代入已知点) 1,3,4(, ,得得BC3所求平面方程所求平面方程03 zy上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 解解: :上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 2350.xyz 则所求平面方程为则所求平面方程为例例3. 求过点求过点( 1, 1, 2) 且与平面且与平面0:2310 xyz 平行的平面的方程平行的平面的方程.01, 2,3,n 取取0nn 1x 2(1)y 3(2)z0. 即即1, 2,3, 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 , 0CzByAx因平面过原点因平面过原点, 可设平面为可设平面为0236 CBA解解例例. . 设平面过原点及点设平面过原点及点)2

7、, 3, 6( , ,且与平面且与平面824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程. .,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为隐隐当平面与三坐标轴的交点分别为当平面与三坐标轴的交点分别为称为平面的截距式方程称为平面的截距式方程. . ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax时时, ,)0,(cba平面方程为平面方程为 PozyxRQ上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 a, b, c 分别称为平面在相应坐标轴上的截距分别称为平面在相应坐标轴上的截距.3. 平面的截距式方程平面的截距式

8、方程例例4 求过点求过点(2, 3,3) 且在且在 x 轴和轴和 y 轴上截距分别为轴上截距分别为133322C解解 设平面方程为设平面方程为132Czyx代入已知点代入已知点)3,3,2(, ,得得1 C所求平面方程为所求平面方程为上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 -2, -3的平面方程的平面方程.1132zyx例例5 一平面通过两点一平面通过两点且垂直于平面且垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程求其方程 .解解 设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和和那么那么, n的法向量的法向量),),故可取故可取(1nn21MMn

9、且且121nMMn111201kji,2kji所求平面为所求平面为, 0) 1() 1() 1(2zyx化简得化简得02zyx上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 ,1, 1, 11 n12, 2, 32 n令令21nnn 5,15,10, 0) 1() 1(3) 1(2zyx化简得化简得. 0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解练习练习 求过点求过点)1 , 1 , 1(, ,且垂直于平面且垂直于平面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程. .1223111kji已知平面的法向量已知平面的法向量上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 1 , 3 , 2/二、两平面

10、的夹角二、两平面的夹角设平面设平面1的法向量为的法向量为 平面平面2的法向量为的法向量为则两平面夹角则两平面夹角 的余弦的余弦为为 cos即即212121CCBBAA222222CBA212121CBA两平面法向量的夹角两平面法向量的夹角( (取锐角取锐角) )称为两平面的夹角称为两平面的夹角. .122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 221) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/

11、 nn2n1n2n1n上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 两平面位置特征：两平面位置特征：例例6 6 研究以下各组平面的位置关系：研究以下各组平面的位置关系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3(zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601故两平面相交，夹角故两平面相交，夹角.601arccos 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 ,21214221)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合. .又又上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 ,

12、1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 两平面平行两平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM所以所以, 两平面平行但不重合两平面平行但不重合又又01224, 012)2( zyxzyx02224, 012) 3(zyxzyx上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 三、点到平面的距离三、点到平面的距离外一点外一点, ,点点0000(,)P xyz0A xB yC zD 是平面是平面到平面的距离到平面的距离. .求求点点0000(,)P xyz0P1Pnd平面法向量为平面法向量为，1111(,)P xy z在平面上任取一点在平面上任取一点则则P0 P0 到平

13、面的距离为到平面的距离为,nA B C PrjPrj10ndP P 10P Pnn 222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA01PrjPPdnnnPP010P1Pnd点到平面的距离公式点到平面的距离公式上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 例例7. 确定确定k 的值的值, 使平面使平面29xkyz 满足满足2433xyz (2) 与平面与平面垂直；垂直；37610 xyz (3) 与平面与平面平行；平行；230 xyz (4) 与平面与平面成成4角；角； (5) 与原点的距离为与原点

14、的距离为 (6) 在在y轴上的截距为轴上的截距为3. 3;解解: (1) 点点(5, 4, 6)满足方程满足方程, 即即54129,k 得：得：2.k (1) 经过点经过点(5, 4, 6),并求此平面与并求此平面与xoy面的夹角；面的夹角；1,2, 2,n 0,0,1,k cos |n k | |nk 2,3 2arccos.3 1, , 2,nk 两平面垂直两平面垂直,上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 12,4,3,n 1nn 10,n n 2460,k得：得：1.k 2433xyz 与平面与平面垂直；垂直；(2) 平面平面29xkyz 37610 xyz (3) 与平面与平面平行；

15、平行；两平面平行两平面平行,12,376k 23, 7, 6,n 3,nn得：得：7.3k 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 cos4 1, , 2,nk 32, 3,1,n 3|n n 3| |nn 22 |232|k25k14得：得：35.2k 230 xyz 与平面与平面成成4角；角；(4) 平面平面29xkyz (5) 与原点的距离为与原点的距离为 3,3 290,xkyz 925k 得：得：2.k (6) 在在y 轴上的截距为轴上的截距为3, 改写平面方程为改写平面方程为那么那么得：得：3.k (a)改写平面方程为截距式求改写平面方程为截距式求k，(b)由平面过点由平面过点 ,

16、 求求k， (0, 3,0) 例例8. 求平行于平面求平行于平面相切的平面的方程相切的平面的方程上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 100 xyz 且与球面且与球面解：解：法法向向量量n 所求平面的方程为：所求平面的方程为：2224xyz由所求平面与平面由所求平面与平面100 xyz 平行知，平行知，1,1,1,设求平面方程为：设求平面方程为：0 xyzD因平面与球面因平面与球面2224xyz相切，相切，则球心则球心(0,0,0)与平面的距离等于球半径与平面的距离等于球半径, 即即2 |D32 3D 2 30 xyz练习练习 求下列各平面方程求下列各平面方程（1平行于平行于x轴且经过两点轴

17、且经过两点(4,0,-2),(5,1,7)；（2通过点通过点M(1,-1,1)且垂直于两平面且垂直于两平面 （3在在x轴上的截距为轴上的截距为2，且过点，且过点(0,-1,0)和和(2,1,3)1:10 xyz 2:210 xyz 920yz230 xyz36260 xyz内容小结内容小结1. 平面基本方程平面基本方程一般式一般式点法式点法式截距式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点式三点式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 0212121CCBBAA

18、212121CCBBAA2. 平面与平面之间的关系平面与平面之间的关系平面平面平面平面垂直垂直:平行平行:夹角公式夹角公式:2121cosnnnn 021nn021nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyBxA上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 ),(1111CBAn 3. 点到平面的距离点到平面的距离222000CBADzCyBxAd上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 例例（辅测（辅测 P255 例例3）试求参数试求参数 k，使得平面，使得平面92 zkyx分别适合下列条件之一：分别适合下列条件之一：(1)经过点经过点)6, 4, 5(2) 与平面与平面3342zyx垂直垂直(3) 与平面与平面032zyx成成4的角的角(4) 与