第四章留数定理ppt课件

1、11第四章第四章 留数定理及其应用留数定理及其应用 224.1 留数留数 留数定理留数定理一、留数一、留数( )0lf z dz 如果如果z=b是是f (z)的孤立奇点，的孤立奇点，l为完全在为完全在z=b邻域邻域0|z-b|R内的任一绕的简单曲线，那么内的任一绕的简单曲线，那么: 留数定理将给处此积分的值留数定理将给处此积分的值. 根据单通区的科希定理，若根据单通区的科希定理，若f (z)在点在点z=b解析，解析，l为完全在为完全在|z-b|R内任意绕的简单闭合曲线，那么内任意绕的简单闭合曲线，那么: ( )0lf z dz 若若z=b是函数是函数f (z)的孤立奇点，则的孤立奇点，则f (

2、z)可在可在z=b邻域内展成邻域内展成罗朗级数罗朗级数:( )() , (0 |)kkkf zazbzbR 33设设l为为0|z-b|R内任一绕内任一绕z=b的简单曲线，将上式两边沿的简单曲线，将上式两边沿l逆逆时针方向积分时针方向积分 bRl( )()kkllkf z dzazbdz 根据第二章的讨论：根据第二章的讨论： 01()21klkzbdzik 1( )2lf z dzia 定义定义: f (z)在孤立奇点在孤立奇点z=b邻域内的罗朗展开式中邻域内的罗朗展开式中(z-b)-1项的项的系数叫做函数系数叫做函数f (z)在在z=b的留数，记为的留数，记为:（为邻域内任一沿正向绕的闭合曲线

3、）（为邻域内任一沿正向绕的闭合曲线）11Res ( )( )2lf bf z dzai 44例例 求函数求函数 在奇点在奇点z=0和和z=2i上的留数上的留数. 31( )(2 )f zzzi 解：解：f (z)把在把在z=0邻域内展成罗朗级数邻域内展成罗朗级数3311111( )2212f zzziizzi 3310011()22(2 )kkkkkzziizi (0 | 2)z131Res(0)(2 )8ifai 55把把f (z)在在z=2i邻域内展成罗朗级数，由于邻域内展成罗朗级数，由于 在在z=2i解析，所解析，所以可在展成泰勒级数以可在展成泰勒级数. 31z20123111( )(2

4、 )(2 )22f zcc zicziziziz (0 |2 |2)zi 10321Res(2 )8ziifiacz二、留数定理二、留数定理 设区域设区域G的边界的边界C为一分段光滑的简单闭合曲线为一分段光滑的简单闭合曲线. 若除有限个若除有限个孤立奇点孤立奇点bk，k=1,2,3,m外，函数在外，函数在G内单值解析内单值解析. 那么：那么： 1( )2Res ()mkklf z dzif b 66【证】【证】 以各奇点为圆心，以有限小的以各奇点为圆心，以有限小的半径作圆，把各奇点挖掉，挖掉各奇半径作圆，把各奇点挖掉，挖掉各奇点的区域为复连通区域，点的区域为复连通区域，f (z)在该复在该复连

5、通区域内解析，根据复通区域的科连通区域内解析，根据复通区域的科希定理：希定理：1b2bkbmbl1l2lklml12( )( )( )( )mllllf z dzf z dzf z dzf z dz 122Res ()2Res ()2Res ()mif bif bif b12Res ()mkkif b 即即f (z)沿闭曲线沿闭曲线l逆时针方向积分之值，等于逆时针方向积分之值，等于f (z)在在l所包围所包围的区域内各奇点的留数之和乘于的区域内各奇点的留数之和乘于2 i. 77三、无限远点为孤立奇点时的留数三、无限远点为孤立奇点时的留数 oxyl仿照有限远奇点上的留数的定义，仿照有限远奇点上的

6、留数的定义，可定义无限远点上的留数：可定义无限远点上的留数：1Res ( )( )2lff z dzi （l为为z= 邻域内任一沿正向绕邻域内任一沿正向绕z= 的简单闭曲线），注意绕的的简单闭曲线），注意绕的闭曲线的正方向应是顺时针方闭曲线的正方向应是顺时针方向，如图向，如图.在在z= 邻域内的罗朗展开式为邻域内的罗朗展开式为: ( ), |kkkf za zrz 两边沿顺时针方向积分两边沿顺时针方向积分 1( )2kkkklllkkf z dzaz dzaz dzai 88因此因此f (z)在在z= 的留数为的留数为f (z)在在z= 邻域内的罗朗展开式邻域内的罗朗展开式中中z-1项的系数的

7、项的系数的a-1相反数，即相反数，即 1Res ( )fa 若若f (z)在有限远的可去奇点邻域内的罗朗展开式中没有负在有限远的可去奇点邻域内的罗朗展开式中没有负幂项，幂项， f (z)在有限远的可去奇点上的留数为零；若无限远在有限远的可去奇点上的留数为零；若无限远点为可去奇点时，点为可去奇点时， f (z)在无限远点邻域内的罗朗展开式中在无限远点邻域内的罗朗展开式中没有正幂项，但有负幂项，所以无限远点为可去奇点时，没有正幂项，但有负幂项，所以无限远点为可去奇点时，Res f ( )一般不为零一般不为零. 四、推论四、推论 若函数若函数f (z)在复平面上除有限个孤立奇点外解析，则函在复平面上

8、除有限个孤立奇点外解析，则函数数f (z)在各奇点包括无限远点上的留数和为零在各奇点包括无限远点上的留数和为零. 此此定理称为留数和定理定理称为留数和定理. 99【证】【证】 设闭曲线设闭曲线l把复平面内所有的有限远的孤立奇点都包围把复平面内所有的有限远的孤立奇点都包围在内，那么：在内，那么： mk=1( )2Res ()klf z dzif b 无限远点的留数为：无限远点的留数为： ( )2Res ( )lf z dzif 两式相加，得：两式相加，得： mk=1( )( )2Res ()Res ()kllf z dzf z dzif bf mk=1Res ()Res ( )0kf bf 因而

9、因而 1b2b3bmbl若若f (z)在某一奇点上留数不好求，可以先计算其他各点的留在某一奇点上留数不好求，可以先计算其他各点的留数，再用留数和定理求出该点的留数数，再用留数和定理求出该点的留数. 10104.2 留数的计算方法留数的计算方法f (z)在奇点上的留数可根据留数的定义，将函数在奇点上的留数可根据留数的定义，将函数f (z)在奇在奇点点z=b邻域内展成罗朗级数邻域内展成罗朗级数: 1Res( )f baa-1为该罗朗展开式中为该罗朗展开式中(z-b)-1项的系数项的系数. 如果要求在如果要求在f (z)无限远点上的留数，可将无限远点上的留数，可将f (z)在邻域内展在邻域内展成罗朗

10、级数，成罗朗级数， 1Res( )fa a-1为该罗朗展开式中为该罗朗展开式中z-1项的系数项的系数. 从一般原则来说，只要在以奇点为圆心的圆环域上把函数从一般原则来说，只要在以奇点为圆心的圆环域上把函数展开为罗朗级数，取它的负一次幂项目系数就行了，但如展开为罗朗级数，取它的负一次幂项目系数就行了，但如果能不作罗朗展开而直接算出留数，计算工作量将减轻不果能不作罗朗展开而直接算出留数，计算工作量将减轻不少。在应用留数定理计算回路积分时，往往会遇到在极点少。在应用留数定理计算回路积分时，往往会遇到在极点上留数的计算上留数的计算. 1111若若z=b为为f (z)的单极点，则的单极点，则f (z)在

11、在z=b邻域内的罗朗展开式为：邻域内的罗朗展开式为： 2101211( )()()()kkkf zazbaaa zbazbzb 两边同乘以两边同乘以z-b，得：，得：231012() ( )()()().zb f zaazba zbazb 令令zb，得：，得： 1Res ( )lim() ( ).zbf bazb f z 写成：写成： Res( )() ( ).z bf bzb f z 1212若若z=b是是f (z)的单极点，的单极点，f (z)为有理分式，为有理分式， ，P(z)在在( )( )( )P zf zQ z z=b解析，且解析，且P (b) 0，而，而z=b是是Q(z)的一阶零

12、点，即的一阶零点，即 ，那么，那么:( )0,z bQ z ( )0z bQ z ( )( )Res ( )lim, Res ( )( )( )zbz bP zP zf bf bQ zQ z 或或【证】【证】 () ( )Res ( )lim() ( )lim.( )zbzbzb P zf bzb f zQ z 00型洛必达法则：洛必达法则： ( )()( )( )Res ( )limlim( )( )zbzbP zzb P zP zf bQ zQ z若若z=b为为f (z)的的m阶极点，则在阶极点，则在z=b邻域内的罗朗展开式为：邻域内的罗朗展开式为： (1)(1)( )()()mmmmf

13、zazbazb 121012()()()azbaazbazb (0 |)zbR 1313上式两边同乘于上式两边同乘于(z-b)m得：得： 1(1)10()( )()()()mmmmmzbf zaazbazba zb 1212()()mma zbazb 两边对两边对z求导求导m-1次，令次，令zb，那么：，那么： 111lim()( )(1)!mmmzbdzbf zmadz 1111Res ( )lim()( )(1)!mmmzbdf bazbf zmdz m阶极点的留数的计算公式阶极点的留数的计算公式 1414例例1、求、求 在各奇点上的留数在各奇点上的留数.31( )(2 )f zzzi 解

14、：解：z=0是是f (z)的三阶极点，那么的三阶极点，那么 :232330111( 1)( 2)Res(0)limlim.2!28(2 )(2 )zbzdifzdzzzizi z=2i是是f (z)的单极点的单极点 ,那么：那么：321Res (2 )lim(2 )8(2 )ziifizizzi 也可把也可把f (z)写成写成 :31( )( )( )2P zzf zQ zzi 3221( )Res(2 )limlim( )18ziziP zizfiQ z1515z= 是是f (z)的可去奇点，应用留数和定理，得：的可去奇点，应用留数和定理，得：Res( )Res (0)Res (2 )0ff

15、fi 也可把也可把f (z)在在z= 的邻域展成罗朗级数的邻域展成罗朗级数: 344400111112(2 )( )()221kkkkkiif zizizzzzzz (2 |)z 显然上式中显然上式中z-1项的系数项的系数a-1=0，故，故 1Res( )0fa 例例2、求、求 在各奇点上的留数在各奇点上的留数.1( )sinf zz 【解】【解】 z=k （ ）是）是f (z)的单极点的单极点 0, 1, 2,k ( )1( )( )sinP zf zQ zz 其中其中P(z)=1，Q(z)=sinz，那么，那么: 11Res()limlim( 1)(sin )coskzkzkf kzz 0

16、, 1, 2,k 1616由于由于z= 不是不是f (z)的孤立奇点是各奇点的孤立奇点是各奇点z=k 当当 时时的极限点），因此在的极限点），因此在z= 的留数没有意义的留数没有意义. k 例例3、求、求 在各奇点上的留数在各奇点上的留数.2( )1zef zz 11Res( 1)lim22zzeefz 121Res( 1)lim(1)12zzeefzz 或或 那么那么: 1(1)lim22zzeefz21Res(1)lim(1)12zzeefzz或或 z= 是是f (z)的本性奇点，根据留数和定理的本性奇点，根据留数和定理: 1Res( )Res(1)Res( 1)()sh122eef 解：

17、解： 是是f (z)的单极点，的单极点，2( )( ), ( ), ( )1( )zP zf zP zeQ zzQ z 1z 1717例例4、求积分：（、求积分：（1） ；（；（2） . | |121(1)zrzdzz z | | 221(1)zzdzz z 解：（解：（1） 内有一单极点内有一单极点z=0，根据留数定理：，根据留数定理： |1zr| |1212Res (0)(1)zrzdzifz z xyo.12（2）|z=|2内有两个单极点内有两个单极点z=0和和z=1，0121212limlim(1)2(11)4(1)(1)zzzzizziiz zz z 该结果于第二章中科希公式求出的结

18、果相同，用留数该结果于第二章中科希公式求出的结果相同，用留数定理更加简单定理更加简单. 0212lim2.(1)zziziz z | | 2212Res(0)Res(1)(1)zzdziffz z 根据留数定理根据留数定理:18184.3 实函数定积分的计算实函数定积分的计算留数定理的重要应用之一就是计算实函数定积分留数定理的重要应用之一就是计算实函数定积分. 基本思路：把实函数定积分于复函的闭合回路积分联系起来，基本思路：把实函数定积分于复函的闭合回路积分联系起来，再利用留数定理计算后者，从而求出实函定积分再利用留数定理计算后者，从而求出实函定积分. 基本方法：基本方法： （1作变量变换：如

19、积分作变量变换：如积分 ，可作变量变换，可作变量变换 ，20( )f x dx Reixz x从从0到到2 ，z则沿以原点为圆心以则沿以原点为圆心以R为半径逆时针运行为半径逆时针运行| |( )zRF z dz 一周，原积分变为：一周，原积分变为：（2作辅助函数作辅助函数. 如求积分如求积分 ，引，引入辅助曲线入辅助曲线C，“变直线段为闭合曲线变直线段为闭合曲线，作辅助函数，作辅助函数F (z)，“变实函为复函，变实函为复函，并使并使F (z)在在a到到b的直线段于曲线的直线段于曲线C构成闭构成闭合曲线合曲线l内除有限各孤立奇点外解析，那内除有限各孤立奇点外解析，那么：么：( )baf x d

20、x Cxyoab F z F x1919在闭曲线所包围的区域内各奇点上的留数之和在闭曲线所包围的区域内各奇点上的留数之和.( )( )( )baClF x dxF z dzF z dz2( )i F z 其中其中 可以化为原积分可以化为原积分 ，而，而 或为或为零或可表为原积分，曲线零或可表为原积分，曲线C可以是圆弧、半圆弧，圆或直线可以是圆弧、半圆弧，圆或直线段，在许多情况下段，在许多情况下F (z)是是f (x)的延拓函数的延拓函数f (z)，但也可能不，但也可能不是是f (z).( )baF x dx ( )baf x dx ( )CF z dz 一、三角函数有理式的积分一、三角函数有理

21、式的积分积分积分 ，积分区间为，积分区间为0,2 ，R(cos ,sin )为为cos ，sin 的有理函数的有理函数.20(cos ,sin)Rd 作变换作变换 ，当，当 从从0到到2 ，z则绕单位圆逆时针运行一周则绕单位圆逆时针运行一周. ize 111, cos, sin22izzzzzei 2020,idzie dizd 1.ddziz 20(cossin ),Rd 11| | 1| | 11(,)( )22zzzzzzRdzf z dzizi 例例1、求积分、求积分201.2cosId 【解】令【解】令 ize 1.ddziz 1cos2zz 2120| | 1| | 1111212

22、cos4122zzIddzdzzzizizz 23z 22( )(41)f zi zz 为为 的单极点，的单极点， 2121其中其中 在单位圆在单位圆|z|=1内，那么：内，那么：23z 2322 32Res( 23)2lim(24)3zIifiiz 例例2、求积分、求积分 201, 012cosIdxx 【解】令【解】令 ize 1.ddziz 1cos2zz 1| | 1| | 1211212112zzIdzdzzzizizz 2111z 为为 的单极点的单极点. 221( )21f zizz 2222其中一个极点其中一个极点 的模为：的模为： 2111z 2222222111211121

23、(1)112(1)111不在不在|z|=1内内 其中一个极点其中一个极点 的模为：的模为： 2111z 221(1)(1)1111| 1(1)(1)1(1)1 故故 在单位圆在单位圆|z|=1内，那么内，那么： 2111z 222111112122Res(1)2212zIifiiz 2323二、有理函数的积分二、有理函数的积分积分积分 ，积分区间（，积分区间（- , ），），f (x)延拓成延拓成f (z)，满足：，满足：( )f x dx l 在实轴上无奇点而在上半平面除有限个孤立奇点外解析；在实轴上无奇点而在上半平面除有限个孤立奇点外解析；若若f (x)可以写成有理分式可以写成有理分式 (

24、 )( )( )g xf xq x l 要求要求q (x)无实零点；无实零点；该两个条件是一致的。该两个条件是一致的。 l q (x)的最高幂次至少比的最高幂次至少比g (x)的最高幂次高两次。的最高幂次高两次。l 满足当满足当|z|时，时，zf (z)在上平面和实轴上一致趋于零在上平面和实轴上一致趋于零。 2424RR xyoRC将将f (x)在复平面上延拓成在复平面上延拓成f (z)，那么：，那么： ( )( )( )RRlRCf z dzf z dzf z dz =2 i f (z)在闭曲线所包围区在闭曲线所包围区域内各奇点的留数之和域内各奇点的留数之和.令令R，那么：，那么： ( )(

25、 )RCf x dxf z dz = 2 i f (z)在上半平面所有有限远奇点的留数之和在上半平面所有有限远奇点的留数之和 max|( )| |( )|( )|( )|RRRRCCCCdzdzdzf z dzzf zzf zzf zzzR maxmax|( )|( )|Rzf zzf zR 由所给条件当由所给条件当|z|（R）时，）时，zf (z)在上平面和实在上平面和实轴上一致趋于零。轴上一致趋于零。lim( )0RCRf z dz 2525( )2( )f x dxi f z 在在上上平平有有限限远远奇奇点点面面所所有有上上的的留留数数之之和和）例例1、求实函定积分、求实函定积分 1.1

26、dxx 2 2【解】把【解】把 延拓到复平面上延拓到复平面上 ，1( )1f xx 2 21( )1f zz 2 2RR xyoRC21( )2Res ( )2lim()1zif x dxif iiziz 为为f (z)的两个单极点，的两个单极点，zi 而只有而只有z=i在上平面上在上平面上 ，且，且2( )01zzf zz 当当|z|时，时，例例2、求实函定积分、求实函定积分 1.(1)ndxx 2 2【解】把【解】把 延拓到复平面上延拓到复平面上 ，1( )(1)nf xx 2 21( )(1)nf zz 2 22626z=i为为f (z)在上半平面上的在上半平面上的n阶奇点，阶奇点，2|

27、 |lim( )0(1)nzzzf zz 且且 11211( )2Res( )2lim()(1)!(1)nnnnzidf x dxif iizindzz 11112lim(1)!()nnnzidindzzi 211()(1)(1)12lim(1)!()nzinnnninzi 1211( )(1)(22)2lim(1)!()nnzin nninzi 1211( )(1)! (1)(22)2lim(1)!(1)!()nnzinn nninnzi 27271222211( 1)(22)!(22)!2(1)!( 1)2(1)!(1)!2nnnnnninnni 留数定理求有理函数积分的步骤：留数定理求有

28、理函数积分的步骤： l 检验条件：积分区间为（检验条件：积分区间为（, ）；假设）；假设 ，q (x)无无( )( )( )g xf xq x 实零点，实零点，q (x)的最高幂次至少比的最高幂次至少比g (x)的高两次的高两次;l 作函数延拓：作函数延拓： f (x)f (z);找出奇点：上半平面上的所有有限远的奇点。找出奇点：上半平面上的所有有限远的奇点。 计算留数：上半平面上所有有限远奇点的留数之和再乘计算留数：上半平面上所有有限远奇点的留数之和再乘于于 2i. 2(22)!(22)!nn 2!2 4 6n 其中其中2828广义积分科希主值：广义积分科希主值： 考虑积分考虑积分 ，其中，

29、其中c点点a c 0，CR为以原点为圆心以为以原点为圆心以R为半径位于上为半径位于上半平面上的半圆周，且当半平面上的半圆周，且当|z|时，时，f (z)在上半平面和实轴在上半平面和实轴上一致趋于零，那么上一致趋于零，那么 :lim( )0RimzCRf z edz （证明略）（证明略）( )cos, ( )sinf xmxdxf xmxdx 积分积分此类型的积分的积分区间为此类型的积分的积分区间为(- , )，f (z)在实轴上无奇点，在实轴上无奇点，在上半平面除有限个孤立奇点外解析；且当在上半平面除有限个孤立奇点外解析；且当|z|时，时，f (z)在上半平面和实轴上一致趋于零，那么：在上半平

30、面和实轴上一致趋于零，那么：( )cos( )sinf xmxdxif xmxdx 2( )imzi f z e 所所包包围围区区域域内内各各奇奇点点上上的的留留数数之之和和 3131RR xyoRC【证】作辅助函数【证】作辅助函数 ( )( )imzF zf z e ( )( )RimximzCf x edxf z edz 2( )imzi f z e 所所包包围围区区域域内内各各奇奇点点上上的的留留数数之之和和 令令R，根据约当引理，根据约当引理: lim( )0RimzCRf z edz ( )2( )imximzf x edxi f z e 所所包包围围区区域域内内各各奇奇点点上上的的

31、留留数数之之和和 ( )cos( )sinf xmxdxif xmxdx 2( )imzi f z e 所所包包围围区区域域内内各各奇奇点点上上的的留留数数之之和和 （注意：上式中是（注意：上式中是 而不是而不是 和和 的留数值）的留数值） ( )imzf z e( )cosf zmx( )sinf zmx3232例例1、求积分、求积分 220cos, (0,0)mxIdxmaxa RR xyoRC【解】如图作辅加曲线，辅助函数：【解】如图作辅加曲线，辅助函数：221( )( )imzimzF zf z eeza 22| | |1lim( )lim0zzf zza根据约当引理：根据约当引理：

32、221lim0RimzCRedzza f (z)在实轴上无奇点，在实轴上无奇点，z=ai为为f (z)在上半平面的单极点在上半平面的单极点 222211lim2Res()RimximzCRedxedziF aixaza 2222cossinmxmxdxidxxaxa 2212lim()22maimzmazaieizaieieaiaza 3333比较其实、虚部，有：比较其实、虚部，有： 2222cossin, 0mamxmxdxedxaxaxa 奇函数对称区奇函数对称区间积分必为零间积分必为零 22220cos1cos22mamxmxIdxdxeaxaxa 例例2、求积分、求积分 2220sin

33、, (0,0)()xmxdxmaxa 【解】辅助函数：【解】辅助函数：222( )( )()imzimzzF zf z eeza f (z)在实轴上无奇点，在实轴上无奇点，z=ai为为f (z)在上半平面的二在上半平面的二阶极点；当阶极点；当|z|，f (z)0. 222222lim2Res()()()RimximzCRxezedxdziF aixaza 3434222222cossin()()xmxxmxdxidxxaxa 222212lim()1!()imzzaidzeizaidzza 24()()2()2lim()imzimzimzzaieimzezaizai zeizai 3(1)()

34、22lim()imzzaiimz zaiziezai 3(1) 2222(2)mamamaaiaimieieaai 比较实、虚部，可得比较实、虚部，可得 :222sin2()maxmxmdxeaxa 2222220sin1sin()2()4maxmxxmxmIdxdxexaxaa 3535例例3、求积分、求积分 1222cossin, 4545xxIdxIdxxxxx 【解】辅助函数：【解】辅助函数：21( )( )45imzimzF zf z eezz 在实轴无奇点，在上半平面上有在实轴无奇点，在上半平面上有21( )45f zzz 单极点单极点 ；且当；且当|z|时，时，f (z)0，那么

35、：，那么：2zi 22lim2Res ( 2)4545RixizCReedxdziFixxzz 222cossin2lim244545izzixxedxidxizxxxx 1 212(cos2sin2)2ieieii 3636112coscos245xIdxexx 122sinsin245xIdxexx 例例4、求积分、求积分0sin.xdxx 【解】辅助函数：【解】辅助函数： izizeF zf z ez rCRCxyoRRrr 在上平面上无奇点，在上平面上无奇点， 1f zz 在实轴上有单极点在实轴上有单极点z=0，故作，故作Cr绕过绕过z=0点；点； | | |1limlim0zzf z

36、z且且 因而，因而， 0rRixizixizrRRCrCeeeedxdzdxdzxzxz 3737令令r0，R，根据约当引理：，根据约当引理： lim0,RizCRedzz 000lim0rixixizCreeedxdxdzxxz 0limrixizCreePdxdzxz 把把 在在z=0的邻域内展成罗朗级数的邻域内展成罗朗级数: izeF zz 230111111!2!3!izkkeizizizizzzkz 211112!3!iizizG zzz 其中其中 2112!3!G ziiziz 为为z=0邻域内的泰勒级数，故邻域内的泰勒级数，故G (z)在在z=0解析，那么：解析，那么：3838

37、00011limlimlimrrrixCCCrrrePdxG zdzdzG z dzxzz 01lim,rCrdzz izre 对积分对积分设设，那么：，那么：0001limlimriiCrriredzdizre 对积分对积分 0limrCrG z dz 的值进行估计：的值进行估计： |rrCCG z dzG zdz maxmax|rCG zdzG zr 由于由于G (z)在在z=0解析，则在解析，则在z=0连续，连续，G (z)在在Cr上上必有界，因而必有界，因而 0lim0rCrG z dz 3939cossinixexxPdxPdxiPdxixxx sin xPdxx 0sin2xdxx

38、 推论：推论：当当m0时，时， 000sinsinsin2mxmxxdxd mxdxxmxx 000sinsinsin2mxmxxdxd mxdxxmxx 当当m0时，时，4040（四广义积分科西主值的计算定理（四广义积分科西主值的计算定理定理定理1:对于积分对于积分 fx dx 假设假设 :l |z|时，时，zf (z)在上半平面和实轴上一致趋于零；在上半平面和实轴上一致趋于零；那么：那么： 112ResResknmlmlPfx dxif aif b 其中其中am (m=1,2,k)为在上半平面上的有限远孤立奇点。为在上半平面上的有限远孤立奇点。l f (z)在上半平面除有限个孤立奇点外解析

39、，在在上半平面除有限个孤立奇点外解析，在实际轴上有实际轴上有n个一阶极点个一阶极点b1，b2，bn.4141定理定理2对于积分对于积分 ，假设，假设 : ,(0)imxfx edxm l |z|时，时，f (z)在上半平面和实轴上一致趋于零；在上半平面和实轴上一致趋于零；l f (z)在上半平面除有限个孤立奇点外解析，在在上半平面除有限个孤立奇点外解析，在实际轴上有实际轴上有n个一阶极点个一阶极点b1，b2，bn.那么：那么： 112ResResknimxmlmlPfx edxiF aiF b 其中其中am (m=1,2,k)为在上半平面上的有限远孤立奇点。为在上半平面上的有限远孤立奇点。辅助

40、函数辅助函数: imzF zf z e 4242例例1 1、求积分、求积分31dxIPx 【解】辅助函数【解】辅助函数 311f zz 上半平面的奇点上半平面的奇点 ，实轴上的单极点，实轴上的单极点z=1； 132iz 3| | |limlim1zzzzfzz 在上平面和实轴上一致趋于零。在上平面和实轴上一致趋于零。 3132ResRes121dxiPififx 2211321132limlim333ziziizz 4343例例2 2、求积分、求积分0sin xdxx 【解】辅助函数【解】辅助函数 1izizF zfz eez f (z)在上半平面无奇点，在实轴上有单极点在上半平面无奇点，在实

41、轴上有单极点z=0； | | |1limlimzzf zz 在上平面和实轴上一致趋于零。在上平面和实轴上一致趋于零。 0Res0limixizzeePdxiFizixz cossinxxPdxiPdxixx sin xPdxx 0sin2xIdxx 4444例例3、求积分、求积分220sin xdxx 【解】【解】222sin1cos2,xxxx 2212izeF zz 辅助函数辅助函数F (z)在上半平面无奇点，在实轴上有单极点在上半平面无奇点，在实轴上有单极点z=0； 2| | |1limlim0;2zzzf zzz2222211limlimlim0222RRRi zi zCCCRRRee

42、dzdzdzzzz 2222011Res0lim22i xi zzeePdxiFizxz 220012limlim22i zi zzzei eiiz 221cos2sin222xxPdxiPdxxx 2221cos2sin22xxPdxPdxxx 220sin22xIdxx 4545xyor rRR rCRC220sin, (0,0).()mxIdxmax xa 例例4、求积分、求积分【解】辅助函数【解】辅助函数 22( )()imzeF zz za 221( )()f zz za 在上平面有奇点在上平面有奇点z=ai，在实轴上有单极点，在实轴上有单极点z=0； 22| | |1limlim0

43、;()zzfzz za 222Res ()Res (0)()imxePdxiF aiiFx xa 222202lim()lim()()imzimzzaizeeizaiizz zaz za 22212(1)2mamaeiiieaaa 464622222cossin(1)()()mamxmxPdxiPdxiex xax xaa 222sin(1)()mamxPdxex xaa 2220sin(1)()2mamxIdxex xaa ( ,0)a b 20coscos,axbxIdxx 例例5 5 求积分求积分【解】辅助函数【解】辅助函数 2( )iazibzeeF zz xyor rRR rCRCF (z)在上半平面上无奇点，在实在上半平面上无奇点，在实轴上有单极点轴上有单极点z=