自动控制系统的数学模型教学ppt课件

1、1.主要内容主要内容 n微分方程式的编写微分方程式的编写 n非线性数学模型线性化非线性数学模型线性化 n传递函数传递函数 n系统动态结构图系统动态结构图 n系统传递函数和结构图的变换系统传递函数和结构图的变换 n信号流图信号流图 n小结小结2. 学习重点学习重点 v简单物理系统的微分方程和传递函数简单物理系统的微分方程和传递函数的列写及计算；的列写及计算； v非线性模型的线性化方法；非线性模型的线性化方法； v结构图和信号流图的变换与化简；结构图和信号流图的变换与化简； v开环传递函数和闭环传递函数的推导开环传递函数和闭环传递函数的推导和计算。和计算。3.引言1. 数学模型的含义数学模型的含义

2、 分析和设计控制系统，首先要建立它的分析和设计控制系统，首先要建立它的数学模型。（基础）数学模型。（基础） 数学模型数学模型：用：用数学的方法和形式数学的方法和形式表示和表示和描述系统中各变量间的关系描述系统中各变量间的关系,即描述系统即描述系统输入、输出及系统内部各变量之间关系输入、输出及系统内部各变量之间关系的数学表达式的数学表达式42.2.静态模型和动态模型静态模型和动态模型静态关系或静态特性静态关系或静态特性：系统中各变量随时间变化：系统中各变量随时间变化缓慢缓慢，其对时间的变化率（导数）可忽略不计时其对时间的变化率（导数）可忽略不计时( (变量的各阶导变量的各阶导数为数为0)0)，这

3、些变量间的关系称为，这些变量间的关系称为静态关系或静态特性静态关系或静态特性，系统称为系统称为静态系统静态系统。相应的数学模型称为。相应的数学模型称为静态模型静态模型。p静态模型中静态模型中不含有变量对时间的导数不含有变量对时间的导数。 动态关系或动态特性动态关系或动态特性：系统中变量对时间的变化率不可：系统中变量对时间的变化率不可忽略，这时各变量之间的关系称为忽略，这时各变量之间的关系称为动态关系或动态特性动态关系或动态特性，系统称为动态系统，相应的数学模型称为动态模型，系统称为动态系统，相应的数学模型称为动态模型( (描描述变量之间各阶导数之间关系的微分方程述变量之间各阶导数之间关系的微分

4、方程) ) 。p控制系统中的数学模型绝大部分都指的是动态系统的数控制系统中的数学模型绝大部分都指的是动态系统的数学模型。学模型。53.3. 控制系统中常见的三类数学模型控制系统中常见的三类数学模型 输入输出描述，或外部描述输入输出描述，或外部描述把系统的输入量和输出量之间的关系用把系统的输入量和输出量之间的关系用数学方式表达出来。数学方式表达出来。 微分方程式、传递函数、频率特性和差微分方程式、传递函数、频率特性和差分方程分方程 。6 状态空间描述或内部描述状态空间描述或内部描述 不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性。还可

5、以描述系统的内部特性。 它特别适用于它特别适用于多输入、多输出多输入、多输出系统，（系统，（MIMOMIMO） 也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统 图形化表示图形化表示：用比较直观的结构图（：用比较直观的结构图（方块图方块图）和）和信信号流图号流图进行描述。进行描述。 同一系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要同一系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同的情况对这些模型进行取舍，以利于对控根据不同的情况对这些模型进行取舍，以利于对控制系统进行有效的分析。制系统进行有效的分析。7数学模型的形式数学模型的形式 时间域时间域：微分方程：微分

6、方程 差分方程差分方程 状态方程状态方程 复数域复数域：传递函数：传递函数 动态结构图动态结构图 频率域：频率域：频率特性频率特性8建立数学模型时必须建立数学模型时必须: : 全面了解系统特性全面了解系统特性, ,确定研究目的以及准确性要求确定研究目的以及准确性要求, ,决定能否忽略一些次要因素而简化系统的数学模决定能否忽略一些次要因素而简化系统的数学模型型. . 根据所应用的系统分析方法根据所应用的系统分析方法, ,建立相应形式的数学建立相应形式的数学模型模型94.4.建立数学模型的两种基本方法建立数学模型的两种基本方法 解析法（机理分析法）：解析法（机理分析法）： 依据系统及元件各变量之间

7、所遵循的物理或化学规律（依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律（电学中基尔霍夫、力学中牛顿定律、热力学中热力学定律电学中基尔霍夫、力学中牛顿定律、热力学中热力学定律）列写出相应的数学关系式，建立模型。）列写出相应的数学关系式，建立模型。n 适用于比较简单的系统适用于比较简单的系统 实验法（系统辨识）：实验法（系统辨识）： 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识系统辨识。（测量输入、输出之间的关系，推断出数学模型）（测量输入、输出之间的关系，推

8、断出数学模型）n 适用于复杂系统适用于复杂系统105.5. 数学模型的概括性数学模型的概括性许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电气系统、液压系统和经济学系统）有时却可能气系统、液压系统和经济学系统）有时却可能具有完全相同的数学模型。具有完全相同的数学模型。数学模型表达了这些系统的共性数学模型表达了这些系统的共性。数学模型建立以后，研究系统主要是以数学模数学模型建立以后，研究系统主要是以数学模型为基础分析并综合系统的各项性能，而不再型为基础分析并综合系统的各项性能，而不再涉及实际系统的物理性质和具体特点。涉及实际系统的物理性质和具体特点。11自动控制原

9、理课程的任务与体系结构12 由数学模型确定系统性能的主要途径由数学模型确定系统性能的主要途径求解求解观察观察线性微分方程线性微分方程性能指标性能指标传递函数传递函数时间响应时间响应 频率响应频率响应拉氏变换拉氏变换拉氏反变换拉氏反变换估算估算估算估算计算计算傅傅氏氏变变换换S=j频率特性频率特性13 编写系统微分方程的步骤：编写系统微分方程的步骤： 1、确定系统的、确定系统的输入量输入量和和输出量输出量； 2、将系统分解为各环节，依次确定各环节的将系统分解为各环节，依次确定各环节的输入量和输出量，根据各环节的输入量和输出量，根据各环节的物理规律物理规律写出各环节的写出各环节的微分方程微分方程；

10、 3、消去中间变量，求出系统的微分方程。消去中间变量，求出系统的微分方程。 14.CRur(t)uc(t)i(t)例例2-1 2-1 根据电路理论中的基尔霍夫定理，根据电路理论中的基尔霍夫定理，建立建立RC无源网络的微分方程。无源网络的微分方程。rcc( )( )( )1( )( )du tRi tu tu ti ttC 输入量为电压输入量为电压ur(t),输出量为电压输出量为电压uc(t)i( (t) )为流经电阻为流经电阻R和电容和电容C的电流，消去中的电流，消去中间变量间变量i( (t) )，可得可得15ccrd( )( )( )du tRCu tu tt令令RC=T，则上式又可写为则上

11、式又可写为ccrd( )( )( )du tTu tu tt式中式中：T称为无源网络的时间常数称为无源网络的时间常数,单位为秒单位为秒(s)一般情况下把输出变量写在等式的左边一般情况下把输出变量写在等式的左边, ,输输入变量写在等式的右边。入变量写在等式的右边。16 例例2-2 RL电路电路 取取u u为输入量为输入量,i,i为输出量为输出量diLRiudt17. 例例2-3 直流电动机电枢电路直流电动机电枢电路 取取u ud d为输入量为输入量,n,n为输出量为输出量2222375375dddddmemeLRRuGDd n GDdnnRC C dtC C dtCe ded ddddiC nR

12、 iLudtdtdnGDM3752m dMC i18. 例例2-4 机械位移系统机械位移系统 取取f(t)f(t)为输入量为输入量, x, x为输出量为输出量( ) ( )ddx tf tBdt22( )( )( )( )d x tdx tmBKx tf tdtdt22( )( )( )( ) sdd x tf tf tf tmdt( )( )sf tKx t19.由上述例题可见：线性系统微分方程式的一般形式为：rmrmmrmmrmcncnncnncnxbdtdxbdtxdbdtxdbxadtdxadtxdadtxda111101111020例例2-5 发电机激磁特性发电机激磁特性 ffIU0

13、tan21.拉氏变换是求解线性系统微分方程的简便方法，将时域方程变换为代数方程，利用查表求解。将微分方程变换为动态数学模型-传递函数。22补充：补充： 拉氏变换拉氏变换拉普拉斯变换简称为拉氏变换，它是一种函拉普拉斯变换简称为拉氏变换，它是一种函数之间的积分变换。拉氏变换是研究控制系数之间的积分变换。拉氏变换是研究控制系统的一个重要数学工具统的一个重要数学工具,它可以把时域中的它可以把时域中的微分方程微分方程变换成复域中的变换成复域中的代数方程代数方程，从而使，从而使微分方程的求解大为简化。同时还引出了传微分方程的求解大为简化。同时还引出了传递函数、频率特性等概念。递函数、频率特性等概念。23微

14、分方程初始条件方程的解代数方程方程的解拉氏变换拉氏反变换t 域s域用拉氏变换解微分方程示意图用拉氏变换解微分方程示意图24复习复数有关概念复习复数有关概念（1）复数、复函数）复数、复函数 复数复数 复函数复函数 例：例：（2）复数模、相角）复数模、相角js yxjFFsF j22ssF xy2y2xFFarctgsFFFsF25（3）复数的共轭）复数的共轭（4）解析：若）解析：若F(s)在在s点的各阶导数都存在，称点的各阶导数都存在，称F(s)在在s点解析。点解析。 yxjFFsF26一、一、 拉氏变换的定义和存在定理拉氏变换的定义和存在定理1. 定义定义设函数设函数f(t)在在t0时有定义，

15、如果线性积分时有定义，如果线性积分 0( )edstf tt ()js为为复复变变量量存在，则由此积分所确定的函数可写为存在，则由此积分所确定的函数可写为-0( )( )e dstF sf tt 27( ) ( )F sf t L LF(s)称为称为f(t)的象函数，而的象函数，而f(t)称为称为F(s)的原函的原函数，由象函数求原函数的运算称为拉氏反变数，由象函数求原函数的运算称为拉氏反变换，记作换，记作 1( )( )f tF s L L称其为函数称其为函数 f(t)的拉普拉斯变换，并记作的拉普拉斯变换，并记作282. 拉普拉斯变换的存在定理拉普拉斯变换的存在定理若函数若函数f(t)满足下

16、列条件：满足下列条件：在在t0的任一区间上分段连续。的任一区间上分段连续。在在t充分大后满足不等式充分大后满足不等式|f(t)|Mect，其中其中M、c都是实常数。则都是实常数。则f(t)的拉氏变换的拉氏变换在平面上在平面上Re(s)c一定存在，此时右端的积一定存在，此时右端的积分绝对而且一定收敛，并且在这半平面内分绝对而且一定收敛，并且在这半平面内F(s)为解析函数。为解析函数。-0( )( )e dstF sf tt 29二、几种典型函数的拉氏变换二、几种典型函数的拉氏变换1. .单位阶跃函数单位阶跃函数1(t)数学表达式为数学表达式为其拉氏变换为其拉氏变换为 tOf(t)1000( )

17、( )( )ed1111 ede01stststF sf tf tttsss L L10( )1( )00tf ttt 30斜坡函数2、单位斜坡（速度）函数的拉氏变换、单位斜坡（速度）函数的拉氏变换313、等加速函数拉氏变换、等加速函数拉氏变换抛物线函数32002s1s100s121s1dtteetstst324、指数函数的拉氏变换、指数函数的拉氏变换33（欧拉公式）5、三角函数的拉氏变换、三角函数的拉氏变换34三角函数的拉氏变换三角函数的拉氏变换正弦函数正弦函数00sin0 tf(t)t t001sin2stj tj tstL f(t)t edteeedtj012-(s- j)t(sj)te

18、edtj001112(sj)t(sj)teej sjsj22221111222jj sjsjj ss35洛必达法则6、单位脉冲函数拉氏变换、单位脉冲函数拉氏变换367、幂函数的拉氏变换、幂函数的拉氏变换37单位阶跃函数单位斜坡函数等加速函数三角函数指数函数单位脉冲函数幂函数常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换223222211 ( )1 112sin, cos1 ( )1! atnnL l tsL tsLtssLtLtssL esaLtnL ts38三、拉氏变换的基本法则三、拉氏变换的基本法则1.1.线性法则线性法则 设设F1=L L f1(t)，F2=L L f2(t)，a和和b为常为常数，

19、则有数，则有121212( )( )( )( )( )( )af tbftaf tbftaF sbF sLLLLLL392.2.微分法则微分法则 设设F=L L f (t)，则有则有d ( )( )(0)df tsF sftL L222d( )( )(0)(0)df ts F ssfft L L式中：式中：f(0), f (0), ,f (n-1)(0)为为f(t)及其各阶及其各阶导数在导数在t=0处的值。处的值。( )1(1)( )( )(0)(0)nnnnfts F ssffL L40 stst00-stst00st0ftedtedf t e f tf t de 0-f 0s f t ed

20、t sF sf 0 证明：左右41求求 ?)cos( tL 解解. . ttnsi1cos tLtL nsi1cos 221 ss22 ss423.积分法则积分法则 设设F(s)=L L f(t) ，f(0)=0 ，则有则有1( )d( )f ttF ss L L例例1 1 求求 Lt=?=? 解解. . dttt 1 dttLtL1例例2 2 求求解解. . dttt 22?22 tL0111 ttsss21s dttLtL2231s 0222111 ttsss434. . 终值定理终值定理若若F(s)=L L f(t)，且当且当t时，时，f(t)存在一个存在一个确定的值，则其终值确定的值，

21、则其终值 0lim( )lim( )tsf tsF s 该式为求系统的稳态误差（即该式为求系统的稳态误差（即t ）提供了提供了方便。方便。 0( )lim ( )lim( )tsee tsE s 44证明：由微分定理证明：由微分定理)(lim)(lim0sFstfst )0()()(0fsFsdtedttdft s )(1)(bsasssF 例例3 3（( (极限极限) )终值确实存在时终值确实存在时） )0()(lim)(lim000fsFsdtedttdfst ss dtedttdft ss 00lim)(左 0)(tdf tttdf0)(lim )0()(limftft )0()(lim

22、0fsFss 右右 abbsasssfs11lim0 22ssF ttfsin例例4 40lim220 sss0lim( )ss F slim( )tf t取极限取极限455. 位移定理位移定理设设F(s)= L L f(t)，则有则有00()e( )sf tF s L L及及e( )()atf tF sa L L分别称为时域中的位移定理和复域中的分别称为时域中的位移定理和复域中的位移定理。位移定理。46 )()(00sFetfLs 证明：证明：00()t sf tedt 令令 0t00()( )sfed 00( )ssefed 右实位移定理原函数平移原函数平移 像函数乘以像函数乘以 e e-

23、s-s 47证明：证明： )()(AsFtfeLtA 0( )Att sef tedt 左令令sAs 0( )s tf tedt ( )F s右 ()0( )sA tf tedt()F sA复位移定理原函数乘以指数函数原函数乘以指数函数eat像函数在复数域中作位移像函数在复数域中作位移a48 ate L teLt-5cos3 )t(eLt35cos2222155 sss-sse 例例5 5例例6 6例例7 7 22533 ss3225 ssss atetL 1asss 1 )(teLt155cos2 22215522 ssesas 149小结：拉氏变换的基本定理小结：拉氏变换的基本定理 线性定

24、理线性定理 微分定理微分定理 如果初始条件如果初始条件 成立，则有成立，则有 积分定理积分定理 初值定理初值定理 终值定理终值定理011( ) ( )( ),tLf t dtL f tF sss0001( )( )tttnLdtdtf t dtF ss0lim( )(0)lim( )tsf tfsF s0lim( )()lim( )tsf tfsF s 121212( )( ) ( )( )( )( ),L af tbf taL f tbL f taF sbF s( )()L k ftk Fs(1)(0)(0)(0) 0nfff()( )( )nnL fts F s121212 ( )( )

25、( )( )( )( ),L f tf tL f tL f tF sF s50四、拉氏反变换四、拉氏反变换 拉氏反变换的定义如下拉氏反变换的定义如下 j1j1( )( )( )e d2jstF sf tF st L L一般由一般由F(s)求求f(t)，常用部分分式法。首先常用部分分式法。首先将将F(s)分解成一些简单的有理分式函数之分解成一些简单的有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数变换函数，即得所求的原函数f(t)。 51F(s)通常是通常是s的有理分式函数，即分母多项的有理分式函数，即分母多项式的阶次高于分子多项式

26、的阶次，式的阶次高于分子多项式的阶次，F(s)的一的一般式为般式为1011111( )mmmmnnnnb sb sbsbF ssa sasa 式中式中a1、a2、an及及b1、b2、bm为实为实数，数，m、n为正数，且为正数，且mn。如果如果F(s)可分解成下列分量可分解成下列分量12( )( )( )( )nF sF sFsF s52并且并且F1(s)、F2(s)、Fn(s)的拉氏反变换的拉氏反变换可以很容易地求出，则可以很容易地求出，则 11111212( )( )( )( )( )( )( )nnF sF sFsF sf tftftLLLLLLLL53例例2.1 求求 的拉氏反变换的拉氏

27、反变换。22( )43sF sss 解解：222( )43(1)(3)1/21/213ssF sssssss进行反变换得进行反变换得311( )ee22ttf t54五、用拉氏变换求解微分方程五、用拉氏变换求解微分方程用拉普拉斯方法求在给定初始条件下微分用拉普拉斯方法求在给定初始条件下微分方程的步骤如下：方程的步骤如下：对微分方程两端进行拉氏变换，将微分对微分方程两端进行拉氏变换，将微分方程变为以象函数为变量的代数方程，方方程变为以象函数为变量的代数方程，方程中初始条件是程中初始条件是t=0-时的值。时的值。解代数方程，求出象函数的表达式。解代数方程，求出象函数的表达式。用部分分式法进行反变换

28、，求得微分用部分分式法进行反变换，求得微分方程的解。方程的解。55例例 用拉氏变换求解微分方程用拉氏变换求解微分方程。0( )2 ( )( )0,(0)0, (0)x tx tx txxx解解：对微分方程两端进行拉氏变换对微分方程两端进行拉氏变换2( )(0)(0)2( )2 (0)( )0s X ssxxsX sxX s代入初始条件，求出象函数代入初始条件，求出象函数X(s)的表达式的表达式022( )21sX sxss 56575859上节内容回顾 掌握线性定常系统微分方程的建立掌握线性定常系统微分方程的建立 拉氏变换的基础知识：拉氏变换的定义，拉氏变换的基础知识：拉氏变换的定义，几个重要

29、的运算定理。几个重要的运算定理。 常见函数的拉氏变换一定要强记，熟练运常见函数的拉氏变换一定要强记，熟练运用几个重要的运算定理用几个重要的运算定理60本节课内容 传递函数不仅是本节课重点，也是本课程传递函数不仅是本节课重点，也是本课程的基础的基础 传递函数的定义和特点传递函数的定义和特点 传递函数的标准形式传递函数的标准形式 传递函数的性质传递函数的性质 典型环节传递函数典型环节传递函数61一、为什么要研究控制系统的传函表示？一、为什么要研究控制系统的传函表示？ 微分方程是系统的微分方程是系统的时域数学模型时域数学模型，它提供了，它提供了分析分析问题的问题的全部信息全部信息。给定外部作用和初始

30、条件下，。给定外部作用和初始条件下，求解微分方程求解微分方程可以得到系统的输出响应。可以得到系统的输出响应。 这种方法很直观，借助计算机可以快速、准确求这种方法很直观，借助计算机可以快速、准确求出方程的解。出方程的解。 但是如果但是如果系统的结构改变或某个参数变化时系统的结构改变或某个参数变化时，就，就要重新列写并求解微分方程，要重新列写并求解微分方程，不便于对系统进行不便于对系统进行分析和设计分析和设计。62 拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）变换）变换（简称拉氏变换）是求（简称拉氏变换）是求解解线性常微分方程线性常微分方程的有力工具，它可以将的有力工具，它可以将时域的时域的微分方程微分方

31、程转化为转化为复频域中的代数方程复频域中的代数方程，并且可以，并且可以得到控制系统在得到控制系统在复数域的数学模型复数域的数学模型传递函数传递函数。 传递函数不但可以反映系统的输入、输出动态特传递函数不但可以反映系统的输入、输出动态特性，而且可以间接反映结构和参数变化对系统输性，而且可以间接反映结构和参数变化对系统输出的影响。出的影响。 经典控制理论中广泛采用的经典控制理论中广泛采用的频域法和根轨迹法频域法和根轨迹法，就是以就是以传递函数为基础传递函数为基础建立起来的。建立起来的。 传递函数传递函数是经典控制理论中是经典控制理论中最基本和最重要的概最基本和最重要的概念念。63在零初始条件在零初

32、始条件下，下，线性定常系统线性定常系统输出量的拉氏变换输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之与引起该输出的输入量的拉氏变换之比比。( )( )( )( )( )uccrrLtUsG sL u tUs( )( )( )crUsG s Us( )cUs( )rUs一、一、 传递函数的定义传递函数的定义( (输入作用是在输入作用是在t=0t=0以后才作用于系统，因此，系以后才作用于系统，因此，系统输入量及其各阶导数在统输入量及其各阶导数在t t0 0时均为零时均为零 输入量施输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t t0 0时，输出量及其各

33、阶导数也均为时，输出量及其各阶导数也均为0)0)64二、系统传递函数的一般形式二、系统传递函数的一般形式 设线性定常系统由下面的n阶线性常微分方程描述： 如果系统满足如下零初始条件 ( )(1)(2)0121( )( )( )( )( )nnnnna ctacta cta c ta c t( )(1)(2)0121( )( )( )( )( )mmmmmb rtbrtb rtbr tb r t(1)(0)(0)(0)(0)0;ncccc(1)(0)(0)(0)(0)0mrrrr65 则根据拉氏变换的定义和性质，对微分方程进行拉则根据拉氏变换的定义和性质，对微分方程进行拉氏变换，并令氏变换，并令

34、 、 ，从而可得，从而可得 由传递函数的定义可得由传递函数的定义可得 M(s)和N(s)分别称为传递函数G(s)的分子多项式和分分子多项式和分母多项式。母多项式。( ) ( )C sLc t( ) ( )R sL r t1011 ( )nnnna sa sasa C s1011 ( )mmmmb sb sbsbR s10111011( )( )( )( )( )mmmmnnnnb sb sbsbC sM sG sR sa sa sasaN s66例例2-7 RC电路电路（1）当）当u1为输入，为输入，u2为输出时：为输出时：122uRiuduiCdt122uudtduRC21( )1( )(

35、)1UsW sU sRCs 221RCsUsUsUs67.例例2-7 RC电路电路（2）当）当u1为输入，为输入，i为输出时：为输出时：11dudiRidtCdt 11RsI sI ssUsC1( )( )( )1I sCsW sU sRCs122uRiuduiCdt68.例例2-8 RLC电路电路取取ur为输入，为输入，uc为输为输出，得出，得rcuuiRdtdiLcduiCdt22cccrd uduLCRCuudtdt69.经过拉氏变换为经过拉氏变换为 21crLCsRCsUsUs2( )1( )( )1crUsW sUsLCsRCs70.例例2-9 机械位移系统机械位移系统取取f(t)为

36、输入，为输入，x(t)为输出为输出根据牛顿第二定律，得根据牛顿第二定律，得 22d x tdx tmBKx tf tdtdt 2msBsK X sF s 21cXsW sF smsBsK71.n 一般有一般有nm n同一个系统，当输入量和输出量的选择不同同一个系统，当输入量和输出量的选择不同时，可能会有不同的传递函数。时，可能会有不同的传递函数。n不同的物理系统可以有相同的传递函数。不同的物理系统可以有相同的传递函数。 10111011mmcmmnnrnnXsb sb sbsbW sXsa sa sasan传递函数表示系统传递输入信号的能力，反传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的

37、动态性能。它只与系统的结构映系统本身的动态性能。它只与系统的结构和参数有关，与外部作用等条件无关。和参数有关，与外部作用等条件无关。 72.例9 中R-L-C无源网络的微分方程为 22( )( )( )( )cccrd u tdu tLCRCu tu tdtdt在零初始条件下，两端取拉氏变换整理可得网络传递函数在零初始条件下，两端取拉氏变换整理可得网络传递函数 2( )1( )( )1crUsG sUsLCsRCs73例例10：已知某系统，当输入为：已知某系统，当输入为 时，输出为时，输出为 求系统传递函数求系统传递函数( )()()()()()()()()()()( )t4t2112111C

38、 sL 1ee 33s3 s13 s43 s1 s42s s4s s1 3s s1 s42s42(s2) s s1 s4s s1 s41R ss( )1( )r tt421( )133ttC tee ( )( )( )()()()()1(s1)C s2(s2)2G s1R ss1 s4s1s1474三、传递函数的特点和有关概念三、传递函数的特点和有关概念 传递函数的概念适用于线性定常系统传递函数的概念适用于线性定常系统 传递函数是在零初始条件下定义的传递函数是在零初始条件下定义的 传递函数概念主要适用于单输入、单输出的情况传递函数概念主要适用于单输入、单输出的情况 传递函数是复变量传递函数是复

39、变量s s的有理真分式函数的有理真分式函数 传递函数与线性常微分方程一一对应传递函数与线性常微分方程一一对应 传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质（物理性质和学科类别截然不同的系统可能性质（物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数具有完全相同的传递函数 ）。）。 传递函数的特征方程、零点和极点传递函数的特征方程、零点和极点 传递函数的三种形式传递函数的三种形式75传递函数的表现形式传递函数的表现形式 传递函数的几种表达形式传递函数的几种表达形式 ：表示为有理分式形式：011011)()()(asasabsbsbsXsYsGn

40、nnnmmmm式中： 为实常数，一般nm上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。jiba ,表示成零点、极点形式：)()()()()()()(11jnjimignmpszsKsPsQabsXsYsGizjp式中： 称为传递函数的零点， 称为传递函数的极点。nmgabK 传递系数76传递函数的表现形式传递函数的表现形式写成时间常数形式：njjmiisTsKsPsQabsG1100) 1() 1()()()(jiT,分别称为时间常数，K称为放大系数显然： ，,1iiz,1jjpT jnjimigpzKK11若零点或极点为共轭复数，则一般用2阶项来表示。若 为共轭复极点，则：21, pp 222

41、121)(1nnsspsps或121)1)(1(12221TssTsTsT其系数 由 或 求得；、21pp、21TT、77若有零值极点，则传递函数的通式可以写成：传递函数的表现形式传递函数的表现形式 从上式可以看出：传递函数是一些基本因子的乘积。这些基本因子就是典型环节所对应的传递函数，是一些最简单、最基本的一些形式。)2()()2()()(221122112121lllnljnjkkkmkimigspssszssKsG,221mmmnnn212式中：) 12() 1() 12() 1()(221122112121lllnljnjkkkmkimiTsTsTssssKsG或：78传递函数的局限

42、G(s)原则上不反映系统在非零初始条件下原则上不反映系统在非零初始条件下的系统的全部运动规律。的系统的全部运动规律。 G(s)只适用于单输入，单输出系统。只适用于单输入，单输出系统。G(s)只适用于线性定常系统只适用于线性定常系统传递函数传递函数是由拉氏变换导出的，由于拉氏变换是一是由拉氏变换导出的，由于拉氏变换是一种线性积分变换。种线性积分变换。 79n系统的特征方程系统的特征方程 n系统的阶数系统的阶数 n系统的极点系统的极点 n系统的零点系统的零点 80.典型典型环节环节的数学模型的数学模型 环节：具有相同形式传递函数的元部件的环节：具有相同形式传递函数的元部件的分类分类 为什么要研究典

43、型环节的数学模型？为什么要研究典型环节的数学模型？ 任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。而成的。 典型环节通常分为以下八种。典型环节通常分为以下八种。81sse2 2112 211(1)(21)( )(1)(21)bcill lildevjkk kjkKsssG ssT sT sT s一般形式传递函数的典型化分解一般形式传递函数的典型化分解82831.1. 比例环节比例环节/ /放大环节放大环节 比例环节又称比例环节又称放大环节放大环节，该环节的运动方程和相，该环节的运动方程和相对应的传递函数分别为对应的传递函数分别为 式中式中K为增益。为增

44、益。 特点特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。 实例实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送器等。应式变送器等。( )( )c tKr t( )( )( )C sG sKR sKR（s）C（s）84齿轮传动852.惯性环节惯性环节 惯性环节又称惯性环节又称非周期环节非周期环节，该环节的运动方程和相，该环节的运动方程和相对应的传递函数分别为对应的传递函数分别为 式中为式中为T时间常数，时间常数，K为比例系数。为比例系数。 特点特点：含一个：含一个独立的储能元件独立的储能元件，对突变的输入，其，对突变的输入

45、，其输出不能立即复现，输出无振荡。输出不能立即复现，输出无振荡。 实例实例：直流伺服电动机的励磁回路、：直流伺服电动机的励磁回路、RC电路。电路。( )( )( )dc tTc tKr tdt( )( )( )1C sKG sR sTs86RC惯性环节873.纯微分环节纯微分环节 纯微分环节常简称为纯微分环节常简称为微分环节微分环节，其运动方程和传递，其运动方程和传递函数为函数为 特点特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。信号的变化趋势。 实例实例：实际中：实际中没有纯粹的微分环节没有纯粹的微分环节，它总是与其他，它总是与其他环节并

46、存的。环节并存的。 实际中可实现的微分环节都实际中可实现的微分环节都具有一定的惯性具有一定的惯性，其传，其传递函数如下递函数如下( )( )dr tc tTdt( )G sTs( )( )( )1C sTsG sR sTs884.积分环节积分环节 积分环节的动态方程和传递函数分别为积分环节的动态方程和传递函数分别为 特点特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出保持不变，具有记忆功能。失，输出保持不变，具有记忆功能。 实例实例：电动机角速度与角度间的传递函数、电容充：电动机角速度与角度间的传递函数、电容充电、模拟计算机中的积分器等。电、模拟计算

47、机中的积分器等。( )( )c tK r t dt( )KG ss89AtTAdtTtt11)( c0具有明显的滞后作用具有明显的滞后作用90电容充电电容充电915.二阶振荡环节二阶振荡环节 振荡环节的运动方程和传递函数分别为振荡环节的运动方程和传递函数分别为 式中式中称为振荡环节的称为振荡环节的阻尼比阻尼比，T为时间常数，为时间常数，n为系统的为系统的自然振自然振荡角频率荡角频率（无阻尼自振角频率无阻尼自振角频率），并且有），并且有T= 1/n 。 特点特点：环节中有：环节中有两个独立的储能元件两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输，并可进行能量交换，其输出出现振荡。出出现振荡。 实例实

48、例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数，以及机械弹簧电路的输出与输入电压间的传递函数，以及机械弹簧阻尼系统的传递函数。阻尼系统的传递函数。222( )( )2( )( ) (01)d c tdc tTTc tr tdtdt22 222( )1( ) (01)( )212nnnC sG sR sT sTsss1/nT92RLC串联网络电路串联网络电路222( )21,2nnnnG sssRCLCL93弹簧质量阻尼系统弹簧质量阻尼系统222( )21,2nnnnKG ssskfKmkmk946.6. 纯时间延时环节纯时间延时环节 延时环节的动态方程和传递函数分别为延时环节的动态方程和传递函数分

49、别为 式中式中称为该环节的称为该环节的延迟时间延迟时间。 特点特点：输出量能准确复现输入量，但要延迟一固定：输出量能准确复现输入量，但要延迟一固定的时间间隔的时间间隔 。 实例实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。型就包含有延迟环节。( )()c tr t( )( )( )sC sG seR s95水箱进水管的延滞水箱进水管的延滞96延迟环节与惯性环节的区别97基本电路元件的传递函数 电阻电阻R 电容电容1/Cs 电感电感Ls98 传递函数的结构和各项系数（包括常数项）传递函数的结构和各项系数（包括常数项）完全取决于系统本身结构

50、，是动态数学模型完全取决于系统本身结构，是动态数学模型； 与输入信号的具体形式和大小无关；与输入信号的具体形式和大小无关； 只反映了输入和输出之间的因果关系；只反映了输入和输出之间的因果关系； 不反映系统的任何内部信息。不反映系统的任何内部信息。 99 传递函数原则上不能反映系统在非零初始条传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律件下的全部运动规律 控制系统的零初始条件有控制系统的零初始条件有两层含义两层含义：一是指输入量在一是指输入量在 时才起作用；时才起作用；二是指输入量加于系统之前，系统处于稳二是指输入量加于系统之前，系统处于稳定状态，即系统输出及其各阶导数均为零定状态，

51、即系统输出及其各阶导数均为零。 0t 100 对于多个输入、一个输出的对于多个输入、一个输出的LTI系统系统 在求传递函数时，除了指定的输入量以外，其它在求传递函数时，除了指定的输入量以外，其它输入量（包括常值输入量）一概视为零。输入量（包括常值输入量）一概视为零。 对于多输入、多输出对于多输入、多输出LTI系统系统 求取不同输入和输出之间的传递函数将得到系统求取不同输入和输出之间的传递函数将得到系统的的传递函数矩阵传递函数矩阵。 101例求电枢控制式直流电动机的传递函数。解已知电枢控制式直流电动机的微分方程为：)(22ccamaummamdtdmTKuKdtdTdtdTT)()1()()()

52、1(2sMsTKsUKssTsTTcamaumma方程两边求拉氏变换为：令 ，得转速对电枢电压的传递函数：0)(sMc1)()()(2sTsTTKsUssGmmauau令 ，得转速对负载力矩的传递函数：0)(sUa1) 1()()()(2sTsTTsTKsMssGmmaamcm最后利用叠加原理得转速表示为：)()()()()(sMsGsUsGscmau102 具有具有复变函数复变函数的所有性质；的所有性质； 理论分析和实验都指出：对于实际的物理系统和元理论分析和实验都指出：对于实际的物理系统和元件而言，输入量和它所引起的响应（输出量）之间件而言，输入量和它所引起的响应（输出量）之间的传递函数，

53、的传递函数，分子多项式分子多项式M(s)的阶次的阶次m总是小于分总是小于分母多项式母多项式N(s)的阶次的阶次n。 这个结论可以看作是客观物理世界的基本属性。这个结论可以看作是客观物理世界的基本属性。 它反映了一个基本事实：一个物理系统的输出不可它反映了一个基本事实：一个物理系统的输出不可能立即复现输入信号，只有经过一段时间后，输出能立即复现输入信号，只有经过一段时间后，输出量才能达到输入量所要求的数值。即一个实际的物量才能达到输入量所要求的数值。即一个实际的物理系统其理系统其能量是有限的能量是有限的，并且都有，并且都有惯性惯性。 103 传递函数分子多项式系数和分母多项式系数，分别与相应微分

54、传递函数分子多项式系数和分母多项式系数，分别与相应微分方程的右端及左端方程的右端及左端微分算符多项式微分算符多项式系数相对应系数相对应 将微分方程的算符将微分方程的算符 d/dt 用复数用复数 s 置换便可以得到传递函数置换便可以得到传递函数; 将传递函数中的复数将传递函数中的复数 s 用算符用算符d/dt 置换便可以得到微分方程。置换便可以得到微分方程。 可得可得s的代数方程的代数方程122012( )( )( )b sbC sG sR sa sa sa例如，由传递函数例如，由传递函数 201212() ( )() ( )a sa sa C sb sbR s用算符用算符d/dt置换复数置换复

55、数s，便得到相应的微分方程，便得到相应的微分方程 2012122( )( )( )( )( )dddac tac ta c tbr tb r tdtdtdt104( )( )( )M sGsN s1011( ).mmmmM sbsbsb s b 1011( ).nnnnN sasasa s a 特征方程105012012()().()( )()().()mnb szszszG saspspsp10111011.( ).mmmmmnnnb sb sbsbG sa sa sasa零点和极点106 分子、分母多项式形式分子、分母多项式形式10111011( )( )( )( )( )mmmmnnnn

56、b sbsbsbC sM sG sR sa sa sasaN s 零极点增益形式零极点增益形式1212()()()( )( )( )()()()mnszszszM sG skN sspspsp 时间常数形式时间常数形式1212(1)(1)(1)( )( )( )(1)(1)(1)mnsssM sG sKN sTsT sT s k为传递函数的增益或根轨迹增益，为传递函数的增益或根轨迹增益，K为系统的放为系统的放大倍数（增益）大倍数（增益）107内容回顾 传递函数的定义传递函数的定义 传递函数常见形式、特点传递函数常见形式、特点 典型环节的传递函数典型环节的传递函数108系统动态结构图系统动态结构

57、图 将系统中所有的环节用将系统中所有的环节用方框图方框图表示，图表示，图中标明其传递函数，并且按照在系统中各环中标明其传递函数，并且按照在系统中各环节之间的联系，将各方框图连接起来。节之间的联系，将各方框图连接起来。109.系统动态结构图的绘制步骤：系统动态结构图的绘制步骤： (1)(1)首先按照系统的结构和工作原理，分解出各首先按照系统的结构和工作原理，分解出各环节并写出它们各自的传递函数。环节并写出它们各自的传递函数。(2)(2)绘出各环节的动态方框图，方框图中标明它绘出各环节的动态方框图，方框图中标明它的传递函数，并的传递函数，并以箭头和字母符号表明以箭头和字母符号表明其输其输入量和输出

58、量，入量和输出量，按照信号的传递方向把各方按照信号的传递方向把各方框图依次连接起来，就构成了系统结构图。框图依次连接起来，就构成了系统结构图。 110.例例2-11 2-11 速度控制系统速度控制系统111.（1 1）比较环节和速度调节器环节）比较环节和速度调节器环节 0rrUsIsR00000000000001( )( )111212122( )( )11114ffffUsC sIsC sRC sRRC sRUs RUsT sRRC s 1111111kkcUsUssIss RRC s式中：00014TR C111RC112. 110111kCrfsUsKUUssT s式中10cRKR整理得

59、 113.（2 2）速度反馈的传递函数）速度反馈的传递函数 fsfUsK n s式中： 为速度反馈系数 sfK114.（3 3）电动机及功率放大装置）电动机及功率放大装置 dskUsK Us2375dded dddmzmdiuC nR iLdtGD dni Ci Cdt 1dedddUsC n sIsRT s edzmdCIsIsTsn sR115.（4 4）系统的动态结构图）系统的动态结构图 116.1.典型连接的等效传递函数典型连接的等效传递函数 (1)串联串联117.(2)并联并联118.(3)反馈连接反馈连接119.2.相加点及分支点的换位运算相加点及分支点的换位运算 原则原则: :

60、换位前后的输入换位前后的输入/ /输出信号间关系不变输出信号间关系不变。 120.(1)相加点后移相加点后移 121.(2)相加点前移相加点前移 122.(3)分支点后移分支点后移 123.(4)分支点前移分支点前移 124.(5)分支点换位分支点换位 125.(6)相加点相加点变位变位 126.(7)相加点和相加点和分支点一般不能变位分支点一般不能变位 127.3. 系统开环传递函数系统开环传递函数 定义：定义： 闭环系统反馈信号的拉氏变换与偏差闭环系统反馈信号的拉氏变换与偏差信号的拉氏变换之比（反馈通道断开），信号的拉氏变换之比（反馈通道断开），定义为系统的开环传递函数，用定义为系统的开环