第21届“希望杯”全国数学邀请赛初1第2试

1、第二十一届 希望杯”全国数学邀请赛初一 第2试一、选择题（每小题4分，共40分。）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答 案的英文字母写在每题后面的圆括号内。1 .若a b的相反数是2b a ,则b ()A. -1B. 0C. 1【解析】a b 2b a 0 ,所以b 0 ,选BD. 22.某工厂3月份的产值比2月份增加10%, 4月份的产值比3月份减少10%,则（）A. 4月份的产值与2月份相等C. 4月份的产值比2月份减少99【解析】1 1 10%1 10%1 1% ,选D、一 1B. 4月份的产值比2月份增加.99D. 4月份的产值比2月份减少1003.如图 1 , 4A

2、BC 中，A、A: B: C ()A. 3: 2: 1B, 1 :C. 3: 4: 5D, 5:【解析】360 ,:所以 90 ,120 ,B、C的外角分别记为a ,2: 34: 33: 4:51504.右m所以 /A 90 , ZB 60 , ZC 30则 / A:/B:/C 3: 2:1 ,选 A2009 2010 2010 20112，则m是（A.奇数，且是完全平方数B.偶数，且是完全平方数 C.奇数，但不是完全平方数D .偶数，但不是完全平方米【解析】m2010 2009 201125.有两个两位数的质数，它们的差等于6,且它们平方的个位数字相同，这样的两位质数的组数是（ ）A. 1B

3、. 2C. 3D. 4【解析】平方之后个位数字相同的数有：1和9, 2和8, 3和7, 4和6作为两位数质数的个位，不能是偶数，两个两位数相差个位一定是7和317 和 23, 37 和 43, 47和 53 , 67 和 73共4组，选D6. As in figure 2, the area of square ABCD is 169 cm2.And the area of thombus2BCPQ is 156 cm Then the area of the shadow part is (A. 23 cmC. 43 cm：,2B. 33 cmD. 53 cm2正万形ABCD面积为169 c

4、m ,则边长为13 cmfigure 22麦形BCPQ面积为156 cm ,则高为12 cm设PQ交CD与点ERtPEC 中，CE 12cm, PC 13cm,则 PE5cm所以QE 8cm所以梯形BCEQ的面积为126cm所以阴影部分面积为 43cm7.要将A. 8kgC. 6kg40kg浓度为16%的盐水变为浓度为 20%的盐水，则需蒸发掉水(B.D.16%20125401257kg5kg1001258 ,蒸发掉水8kg8.是如图3,等腰直角) ABC的腰长为2cm,将 ABC绕C点逆时针旋转90.则线段AB扫过的面积兀 cm2C.三cm22D.22 cmA【解析】如图所示，阴影为 AB扫

5、过的面积阴影部分面积实际上为SAABC Sb形 BCBSAABCSH形ACB11718714兀449 .若一个两位数恰等于它的各位数字之和的4倍，则这个两位数称为巧数”，则不是 巧数”的两位数的个数是()A. 82B. 84C. 86D. 88【解析】设一个巧数为ab,则10a b 4a 4b,即2a b所以巧数就是个位为十位两倍的数，有12,24,36,48不是巧数的两位数有 90 4 86个，选C10 .如果在一个正方体的每个面内写一个正整数，然后，在每个顶点处再写一个数，该数等于过这个顶点的三个面内的数的乘积，那么当该正方体各个顶点处的数之和是290时，各个面内的数之和等于( )A. 3

6、4B. 35C. 36D. 37【解析】设六个面的数分别为 a,b,c,d,e,f贝U abc acd ade aeb fbc fcd fde feb 290即 a f b d c e 290 2 5 29所以 abcdef 25 29 36,选C二、填空题（每小题4分，共40分.）11 .甲、乙两车从 A向B行驶，甲比乙晚出发 6小时，甲、乙的速度比是4: 3.甲出发6小时后，速度提高1倍，甲、乙两车同时到达 B.则甲从A到B共走了 小时.【解析】甲出发6小时，这时甲乙所用时间比为6:12 ,又速度比为4:3,所以路程比为24:36甲速度提高一倍后，甲乙速度比为8:3 ,每小时差5份，一共差

7、12份，所以再用2.4小时即可所以甲共走了 6 2.4 8.4小时12.若理数x, y ,岁满足方程 x2y 0,根据平方和绝对值的非负性,2y0,所以 x 4, y 2所以x2 y2 20OAFCDBE13 .图4是一个六角星，其中 AOE 60 , A B【解析】ZA ZC ZE ZAOE 60ZB /D /F ZBOD ZAOE 60所以 /A ZB ZC ZD ZE ZF 12014 .加工某种工件，须顺次进行三道工序，工作量的比依次是2: 1: 4.甲完成1个工件与第二个工件的前两道工序，所用时间为 t .已知甲和乙的加工效率比是6: 7,则乙完成一个工件，需要的时间是t的 倍.10

8、【解析】甲完成工作量为2 1 4 2 1 10,所用时间为t,效率为一 t则乙的工作效率为 70 35,完成一个工件所需的时间为7z 之，是t的0.6倍6t 3t35 53t15 . 一个直四棱柱的三视图及有关数据如图5所示，它的俯视图是菱形，则这个直四棱柱的侧面积为cm2主视图左视图8 cm4 cm3 cm【解析】由图可知，菱形的对角线分别长3cm和4cm ,则菱形的边长为2.5cm ,侧面积为22.5 4 8 80cm16.有这样一种衡量体重是否正常的算法：一个男生的标准体重（单位：千克）等于其身高（单位：厘米）减去110.当实称体重在标准体重的90%和110%之间（舍边界）时，就认为该男

9、生的体重为正常体重，已知男生甲的身高是161厘米，实称体重是55千克.根据上述算法判定，甲的体重 正常体重（填是“或不是”）.【解析】161 110 51, 51 110% 56.1,甲的体重是标准体重2217. If a a 1 and a a 3 are opposite numbers to each other, and the inverse number of a is less than20092010the opposite number of a , then a a .（英汉词典：inverse number 倒数： opposite 相反的）2221【解析】a2 a 1

10、a2 a 3 0,所以a 1, - a ,所以a 1a2009 a2010 a18 .从长度为1的线段开始，第一次操作将其三等分，并去掉中间的一段；第二次操作将余下的线段各三等分，并去掉所分线段中间的一段.此后每次操作都按这个规则进行.图6是最初几次操作的示意图，当完成第六次操作时，余下的所有线段的长度之和为66472922【解析】每次都留下2,所以最后剩下 一3319 .已知m, n都是正整数，且4m是整数.若m的最大值是a ,最小值是b,则a b 6 m 3nn【解析】4m 是整数，所以 4m<6m 3n < 4m ,所以0.3 w m w 1.5 ,所以a b 0.3 1.5

11、 1.86m 3nn20 .从最小的质数算起，若连续 n （n是大于1的自然数）个质数的和是完全平方数，则当n最小时,21 n n .2【解析】2 3 5 7 11 13 17 19 23 100 10 , n的最小值为91 n n2 81 9 1 89三、解答题（每题都要写出推算过程.）21 .（本题满分10分）设a 109 383 2,证明：a是37的倍数.【解析】 因为 a 104 384 2 109 1382 1 =999999999 37 2 382 38 1 ,而 999999999=9 111111111=9 3 37037037=27 37 1001001=37 27 1001

12、001.2所以 37|999999999 且 37|37( 3838 1 ),因此37|a ,即a是37的倍数.22 .（本题满分15分）已知平面内有 4条直线a, b , c和d .直线a , b和c相交于一点.直线 b , c和d也相交于一点，试 确定这4条直线共有多少个交点？并说明你的理由.作第5条直线e与中的直线d平行，说明：以这 5条直线的交点为端点的线段有多少条?a【解析】直线a, b, c和d共有1个交点，理由如下设直线a , b, c的交点为P ,直线b , c, d的交点为Q .这意味着，点P和Q都是直线b和c的交点，由于两条不同的直线至多有一个交点，因此点 P和Q必是同一个

13、点.即 4条直线a, b, c和d相交于同一个点.因此，这4条直线a, b, c和d只有1个交点（不妨记为点 O）因为作的第5条直线c与中的直线d平行，所以直线c与直线d没有公共点，因此，直线c不过点O .而直线a , b , c都与直线d相交于点O ,所以直线a , b , c与直线e都相交.（与两条平行线中的一条相交的直线必与另一条相交） 设直线e与直线a , b , c分别相交于点 A, B和C ,这时，图1中有A, B , C , O四个不同的点，可以连出 OA, OB , OC , AB , AC , BC共6条不同的线段.23 .（本题满分15分）轨道AB长16. 8米，从起点站

14、A到终点站B,每2. 4米设一站点.甲、乙两个机器人同时从A站点出发，到达B站点后，再返回，在 A和B两站点之间反复运动.甲、乙运动的速度都是0. 8米/秒，甲每到达一个站点就休息 1分钟，而乙从不休息，若甲、乙从 A站点出发后2分钟结束运动，问：它 们出发后，曾几次同时到达同一站点（包括起点站和终点站）？【解析】甲运动一立需要 24 1 4 （秒）0.8一 .2.4.乙运动一站需要3 （秒）0.8这条轨道共有 1 8 （站）.合7段. 2.4甲，乙同时到达（包括相遇和追及）同一站点时，设乙运动的段数为n,甲运动的段数为 m,则有4m 3n .当乙追上甲时，n m 2 7k （k是正整数）此时有m 42k, n 56k ,乙追上甲k次，需要168k秒，168k< 2 60=120,所以k 0,表 明后2分钟内乙不能追及上甲.乙和甲相遇时，则有 n m 2 7k,此时m 5k, n 8k,需要时间24k秒.24k< 2 60 120 , k< 5 .即在乙和甲出发后 2分钟内，他们相遇了 5次.答：所以甲，乙有 6次同时到达同一站点.解法2 画柳卡图，A点为第1站，B点为第8站，从图中容易看出，机器人甲和乙从A站出发后到2分钟时为止同时到达过的站点依次是第