2019-2020年高三上学期期末考试数学(理)试卷含解析

1、2019-2020年高三上学期期末考试数学（理）试卷含解析一、选择题：共12题1 设集合,A.B.C.D.【答案】D【解析】本题考查集合的基本运算,指数、对数函数.由题意得,所以=.选D.2 复数为虚数单位）在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】本题考查复数的概念与运算.=,其在复平面内对应的点位于第一象限.选A.3 给出下列三个命题:“若则”为假命题;若为假命题,则均为假命题;命题,则;其中正确的个数是A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】本题考查命题及其关系，逻辑联结词，全称量词与特称量词.若则”为真命题，即错误；若为假命题，则至少一个

2、为假命题，即错误；命题，则，即正确；所以正确的个数是1.选B.4.在如图所示的程序框图中，若函数，则输出的结果是A.B.C.D.【答案】C【解析】本题考查流程图，指数、对数函数.起初:，循环1次:,=40;循环2次:尸，满足条件，结束循环，输出选C.5 .某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是侧视图A.B.C.D.【解析】本题考查三视图，空间几何体的体积.该空间几何体：正方体挖去一个四棱锥；=.选C.6 .张丘建算经是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类，大意为：某女子善于织布，后一

3、天 5尺,一个月（按30天计算）总共织结果在三百多年后的印度才首次出现.书中有这样一个问题比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布布390尺,问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为A.尺B.尺C.尺D.尺【解析】本题考查等差数列，数列求和.由题意得，,二=390，解得=.选B.【备注】等差数列:,.7 .下列四个图中，函数的图象可能是A.9【答案】C【解析】本题考查对数函数，函数的图像与性质.令，可得，即函数与轴有2个交点，排除A,B；令，可得，排除D；选C.【备注】特殊值代入，排除法，事半功倍.8 .若函数，又,且的最小值为，则正数的值是A.B.C.D.【答案】D【解析】本题

4、考查三角函数的性质，三角恒等变换尸;又，的最小值为，所以，解得.选D.9 .已知是内一点，且，若的面积分别为，则的最小值是A.9B.16C.18D.20【答案】C【解析】本题考查平面向量的数量积，基本不等式尸，即,所以；而,的面积分别为，即，即;所以=（当且仅当时等号成立）.即的最小值是18.选C.10 .若实数满足约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为，则函数在点处取得最大值的概率为A.B.C.D.【答案】D【解析】本题考查线性规划问题，古典概型.画出可行域，如图所示；,；而函数在点处取得最大值所以的斜率，即;将一颗骰子投掷两次得到的点数记为，则点数有36种;而满足的点有，,共30种;

5、所以所求的概率.选D.11 .已知是双曲线的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的离心率为A.B.C.D.【答案】C【解析】本题考查双曲线的标准方程与几何性质.由题意得，到渐近线的距离；若点关于渐近线的对称点为，则，为的中点；而为的中点，所以；而，所以，所以；而，所以，即该双曲线的离心率.选C.【备注】双曲线，离心率，渐近线为.12 .已知函数是定义在上的奇函数，若，则关于的方程的所有根之和为A.B.C.D.【解析】本题考查函数与方程，函数的性质.而当时，所以，而是定义在上的奇函数，所以=;由题意，画出函数与的图像，如图所示；因为,所以函数与的图像有5个交

6、点，即方程有5个根,从左到右为；由图可得:令=，解得，即;所以方程的所有根之和.选C.二、填空题：共4题13 .设，则展开式中常数项为.【答案】【解析】本题考查定积分，二项式定理曲题意得=1,即=；其二项展开式的通项，令，即，可得.14 .设的内角所对的边的长分别为，若，则角.【答案】【解析】本题考查正余弦定理.因为，由正弦定理得，而，令，则:由余弦定理得，所以角.15 .曲线在点处的切线方程为一.【答案】【解析】本题考查导数的几何意义.由题意得；，而，所以；即，所以二；所以在点处的切线方程为即.16 .非零向量的夹角为，且，则的取值范围为一【答案】【解析】本题考查平面向量的数量积.，即=，解

7、得，所以；而=.所以.三、解答题：共7题17 .已知等差数列的前n项和，且为等比数列数列的第2、3项.(1)求的通项公式；(2)设，求证:.【答案】(1)由，则当时，;且满足上式；所以；所以.(2)令两式相减得：【解析】本题考查等差、等比数列，数列求和.(1)由得;所以.(2)错位相减得.18 .现有清华、北大、上海交大三所大学的招生负责人各一人来我市宣讲2017年高考自主招生政策，我市四所重点中学必须且只能邀请其中一所大学的负责人，且邀请其中任何一所大学的负责人是等可能的.(I)求恰有两所重点中学邀请了清华招生负责人的概率(n)设被邀请的大学招生负责人的个数为，求分布列与期望.【答案】(I)

8、设每所重点中学邀请负责人为一次实验，这是次独立重复实验记邀请清华负责人”为事件，则;从而设恰有两所重点中学邀请清华负责人”为事件;则（另解:）（n）的所有可能值为，则，；则的分布列如下2.3P口127，14irf4P9则.【解析】本题考查随机变量的分布列、数学期望.（I）实验是次独立重复实验，恰有两所重点中学邀请清华负责人”为事件，则;（n）求得,列出分布列，求得.19 .如图（1），在平行四边形中，分别为的中点.现把平行四边形沿折起，如图（2）所示,连结.图0（1）求证:;（2）若，求二面角的余弦值【答案】（1）由已知可得，四边形均为边长为的菱形，且.在图中,取中点连结；故是等边三角形，所以

9、，同理可得，;又因为，所以平面；又因为平面，所以.图”）（2）由已知得，所以,故.如图（2）,分别以为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系得；设平面的法向量；由，得，令，得;所以平面的法向量为；设平面的法向量；由，得，令，得;所以平面的法向量为，于是；因为二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为.【解析】本题考查线面垂直，空间向量的应用.(1)作辅助线，证彳#,所以平面，所以.(2)建立恰当的空间直角坐标系，求得平面的法向量，平面的法向量为，所以二面角的余弦值为.20 .已知椭圆右顶点、上顶点分别为A、B,且圆的圆心到直线AB的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与圆相切，且与椭圆相交于

10、两点，求的最大值.【答案】(1)据题意：,故直线AB的方程为：,即:；所以点O到直线AB的距离为：,解得；故椭圆的方程为.(2)当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入，得，此时.当直线的斜率存在时，设直线的方程为；因为直线与圆相切，所以，即；由消去，整理得，,由，得；设，则，所以,所以J当且仅当,即时,取得最大值.综上所述,最大值为.【解析】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.(1)点O到直线AB:的距离,解得;故椭圆为.(2)当直线的斜率不存在时,;当直线的斜率存在时,设直线为;联立方程,套用根与系数的关系,求得;综上所述,最大值为.21 已知函数.(1)讨论在区间上的单调性

11、;(2)若对任意,都有,求实数的取值范围.【答案】(1),当时,在区间上为减函数;当时,在区间上为增函数;当时,则存在使得；因此在区间上为增函数,在区间上为减函数(2),(*)设,则=当即时,即在递减,所以,因此(*)恒成立;当时,取,则有,因此(*)不恒成立;当时,则由(1)可知存在使得在递增,所以,即,因此当时,因此(*)不恒成立,综上,实数的取值范围是【解析】本题考查导数在研究函数、不等式中的应用.(1)求导,分类讨论得在上为增函数,在上为减函数;(2)不等式等价于,构造函数,求导,分类讨论得:实数的取值范围是22 曲线的参数方程为为参数),是曲线上的动点,且是线段的中点,点的轨迹为曲线,直线的极坐标方程为,直线与曲线交于A、B两点.(1) 求曲线的普通方程;(2) 求线段的长.【答案】(1)设,则由条件知;因为点在曲线上,所以(为参数),即为参数);普通方程为.(2)直线极坐标方程为化直角坐标方程为,;所以.【解析】本题考查极坐标,曲线的参数方程