一元二次不等式的解法

1、知识点一：一元二次不等式的定义注意:只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。比如：丁任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式- ' 1或. ?：!-.： -'.知识点二：一般的一元二次不等式的解法设一元二次方程山八山的两根为T T且；_,丄则相应的不等式的解集的各种情况如下表：N-b2 -4aeA >0A = 0A < 0二次函数（尬> 0）的图象ax+ c 二 0仗> Q）的根比尤，十bx十亡> 0 （小）的解集ax1十扮:十c <0（tf>0）的解集（1） 一元二次方程|：山的两根丁 是相应的不等式的

2、解集的端点的取值，是抛物线:-与；轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3） 解集分 ; 11 - 11 '' - 1三种情况，得到一元二次不等式 心< 与:二:.的解集。知识点三：解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；（2）写出相应的方程；：'-,计算判别式3 : L .时，求出两根匚 二，且； '匸（注意灵活运用因式分解和配方法）bA AX二勺 ：二'J时，求根 丄时，方程无解（3）根据不等式，

3、写出解集.知识点四：用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c > 0（a > 0）的过程规律方法指导1 解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；2 若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不 等式的解集与其系数之间的关系；5若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数经典例题透析 类型一：解一元二次不等式1 解下列一元二次不等式(1) 丁 1；;；(3)：' . '

4、; I思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答举一反三：【变式1】解下列不等式(1)!.；'11 ；(2) 2 i ' 11(3) -' 2 .' ；(4). - I【变式2】解不等式： f.: '总结升华：1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结 合的分析能力；2. 当L-11时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁 (如第2、3小题)；当L ' 且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，(如第1小题)3. 当二次项的系数小于 0时，一般都转化为大于 0后，再解答.类型二：已知一元二

5、次不等式的解集求待定系数2 不等式匚:的解集为,求关于：的不等式A:二” W : - .的解集。总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的 解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。举一反三：【变式1】不等式ax2+bx+12 > 0的解集为x|-3 v x v 2，则a=, b=。1 1A弋 X U _【变式2】已知.的解为三 1 ,试求、1 ,并解不等式+ 2x(5 > 0类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题3 已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4

6、(m-1)x+3 > 0对一切实数x恒成立， 求实数m的取值范围。思路点拨：不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R,要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。【变式3】已知关于/.的不等式in 的解集为 二-， 求关于.的不等式:.-I 1 ' H 的解集.总结升华：情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一 般需讨论。举一反三：【变式1】 若关于丄的不等式:-;r_- "-1 '11的解集为空集, 求匸的取值范围2 . I【变式2】若关于丄的不等式- - I 11的解为一切实数，求：'的取值范围【变式3】若关于丄的不等式'&

7、quot; -I 11的解集为非空集，求匸的取值范围类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法举一反三:类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法举一反三:4 解下列关于x的不等式(1) x2-2ax < -a2+1;(2) x -ax+1 > 0;(3) x2-(a+1)x+a v 0;【变式1】解关于x的不等式：.：类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法举一反三:类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法举一反三:【变式2】解关于的不等式：j (:5.解关于 x 的不等式：ax2- (a+1)x+1 v 0。SS类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法举一反三:类型四：含字母系数的

8、一元二次不等式的解法举一反三:总结升华：熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”总结升华：对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步： 定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向； 求根：求相应方程的根。当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，弓I入讨论。2举一反三：【变式1】解关于x的不等式:(ax-1)(x-2) >0;【变式2】解关于x的不等式:2ax + 2x-1 v 0;【变式3】解关于x的不等式：

9、ax2-x+1 > 07.如果关于x的方程x2 (m 1)x+2 m=0的两根为正实数，则m的取值范围是 。2学习成果测评 基础达标：解下列不等式(1) 14-4x2> x; x +x+1>0 ;7.如果关于x的方程x2 (m 1)x+2 m=0的两根为正实数，则m的取值范围是 。2)D. (2a, 6a)3 .不等式2ax +5x+c > 0的解集为a, c的值为()(3) 2x2+3x+4<0 ;-: 1 1 ' 11 ;(7)I 匚' II1.不等式x2 ax 12a2 v 0 (其中av 0)的解集为(A . ( 3a, 4a) B. (4

10、a, 3a) C. ( 3, 4)x的取值范围是()x -或注-1A.27.如果关于x的方程x2 (m 1)x+2 m=0的两根为正实数，则m的取值范围是 。27.如果关于x的方程x2 (m 1)x+2 m=0的两根为正实数，则m的取值范围是 。2D . a= 1, c= 6A . a=6, c=1 B . a= 6, c= 1 C. a=1, c=17.如果关于x的方程x2 (m 1)x+2 m=0的两根为正实数，则m的取值范围是 。27.如果关于x的方程x2 (m 1)x+2 m=0的两根为正实数，则m的取值范围是 。24.解不等式- J.-.'- 得到解集-一，那么的值等于()7

11、.如果关于x的方程x2 (m 1)x+2 m=0的两根为正实数，则m的取值范围是 。27.如果关于x的方程x2 (m 1)x+2 m=0的两根为正实数，则m的取值范围是 。2A . 10B . -10C. 14D. -145.不等式x2 ax bv 0的解集是A (x|2<x<3)x|2 v xv 3,则 bx2 ax 1 > 0 的解集是()i1*l 一 <x <-329.(1)(2)已知不等式ax2 求 a, b;解不等式 ax2 (ac+b)x+bc v 0。3x+6 >4 的解集为x|x v 1 或 x> b。7.如果关于x的方程x2 (m 1

12、)x+2 m=0的两根为正实数，则m的取值范围是 。27.如果关于x的方程x2 (m 1)x+2 m=0的两根为正实数，则m的取值范围是 。2利-3 <x <-2)7.如果关于x的方程x2 (m 1)x+2 m=0的两根为正实数，则m的取值范围是 。27.如果关于x的方程x2 (m 1)x+2 m=0的两根为正实数，则m的取值范围是 。26 .抛物线y= x2+5x 5上的点位于直线y=1的上方，则自变量x的取值范围是 。10.不等式mx2+1 > mx的解集为实数集 R，求实数m的取值范围.7.如果关于x的方程x2 (m 1)x+2 m=0的两根为正实数，则m的取值范围是

13、。2能力提升:11不等式 卞旷；_的解集是全体实数，则 a的取值范围是()4( 4A.他0) B.(呦U(严)C卜测D. WO】U(亍枷)12 .对于满足OW pw 4的实数p，使" -恒成立的x的取值范围是18.解下列关于 x的不等式' ；13已知川+fct + E >0的解集为同，则不等式cx2-bx+a>0的解集是.14 .若函数1 '的定义域为R ,贝U a的取值范围为综合探究：a(x-X) 1Z 仆> 学 1)19.解关于x的不等式：.一15.若使不等式 *厂二十：【和丁一爲+： :同时成立的x的值使关于x的不等式2-9+ < 0也成立，则a的取值范围是 .16 .若不等式ax2+bx+c > 0的解集为x|2 v x v 3，则不等式ax2-bx+c v 0的解集是2; 不等式 cx +bx+a > 0 的解集是 .20.设集合 A=x|x -2x-8 v 0,