一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练

1、一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1：已知关于T的方程（1）- 有两个不相等的实数根，且关于T的方程（2）I丨二:没有实数根，问取什么整数时， 方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的丿的整数值。解：方程（1）有两个不相等的实数根，.二|一一二：一13d 解得 -；方程（2）没有实数根，.二：汗-常：:.解得：7 ;.131弋（2瓷于是，同时满足方程（1），（ 2）条件的的取值范围是：其中，的整数值有仃-；或一；-当：一时，方程（1）为?;.-：，无整数根；当m 时，方程（1）为丁二T -，有整数根。解

2、得：、一二鬲二所以，使方程（1）有整数根的的整数值是-一。总结：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出-，这也正是解答本题的基本技巧。二、判别一元二次方程两根的符号。例1：不解方程，判别方程二 -.两根的符号。分析：对于一- + 1/ -11来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式厶，但只能用于判定根的存在与否， 若 判定根的正负，则需要确定I或1丄的正负情况。因此解答此题的关键是： 既要求出判别式的值，又要确定的正负情况。解：二.，=_4X 2X ( 7) =650.方程有两

3、个不相等的实数根。 设方程的两个根为，原方程有两个异号的实数根。总结：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合 起来进行确定，另外由于本题中；:v0,所以可判定方程的根为一正一负；倘 若J0,仍需考虑:-11的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。例2：已知方程J:-.的一个根为2，求另一个根及匸的 值。分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把.1 1代入原方程, 先求出汇的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与 系数的关系求出另一个根及 匸的值。解法一：把丫 一代入原方程，得：2

4、 -6 0若心0小0 , 则有：o41 A一加 0即有：4解这个不等式组，得 -;m-又1 ,当2时，两根能同号总结：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。 知识的运用方法灵活多样，是设计考察创 新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高， 应是同学们 重点练习的内容。六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。2例：已知二、-是方程二二.的两个实数根，求| n 的值。分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求 根后，再带入的

5、方法，力求简解。解法一：由于匚是方程 八上.的实数根，所以+设出+眇+加二胚，去+妙+2氏与俨+20-5相加，得：二(0 +伊)+ 2也+向+如-5- 1 _： -二1 (变形目的是构造二和二)根据根与系数的关系，有：&+0=-2，妙=-5于是，得：M=(-2y+2(-2)-(-5=4-4+5-5 = 0二;：二工=0解法二：由于二、是方程.:：-:的实数根，.亠-二/.-：；.：;.、1：iA. I总结：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法， 是解题能 力提高的重要标志，是努力的方向。有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时, 如果方程的系数是有理数，

6、利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简 的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力， 多年来一直受到命题老师的青睐。七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。例8：已知两方程?II和二丨“至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。分析：当设两方程的相同根为时，根据根的意义，可以构成关于 和汇的 二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。解：设两方程的相同根为二，根据根的意义，有 二： 1I0 - (7切+1)q+13瞎+? = 0两式相减，得L当亠、-丨时，f-，方程的判别式了1 51158 = (-)5-4( + 5) = (-)3-4(-+5

7、) = 066363方程无实数解2(尿+1)一2当0廿丨】时，有实数解-代入原方程，得: : I - I,所以ew于是，两方程至少有一个相同的实数根，4个实数根的相乘积为（5+初（13 战+7） = 14x124 = 1736总结：（1）本题的易错点为忽略对- - II的讨论和判别式的作用，常常除了犯有默认门1丄:的错误，甚至还会得出并不存在的解：_1当11-：时，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根（2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：A -卜拠-4（增+ 5）二初彳_ 4初_ 2。N 0另外还应注意：求得的的值必须满足这两个不等式才有意义。【趁热打

8、铁】一、填空题：1、如果关于：的方程/. ! - r.f. - I!的两根之差为2，那么卜 2 2，2、 已知关于；的一元二次方程-1两根互为倒数，则= 。3、已知关于；的方程- ?-的两根为： ：，且:二则己 。4、 已知：是方程聖：-H的两个根，那么：I 5、已知关于；的一元二次方程：?：|：.的两根为1和：，且，则产-6、如果关于丄的一元二次方程/- /- “ U的一个根是丨,那么另一个根是，丿的值为。7、 已知一 -匚是 Y 9v0, 0,则-1- -26 1 = _2,_： - , ,4X1 + I, - X X,5、提示：由韦达定理得：.，.6、 提示：设. -1几，由韦达定理得，

9、二，解得：门=，I 二：_0：1 一 ，即_：7、 提示：设、 丄，由韦达定理得：“；，八习二上，二:-山?， 一 一J .亠一18、 提示：设所求的一元二次方程为川- ，那么,*0-:，即-；.二 * f1 ；二设所求的一元二次方程为：-二、求值题：_3_11提示：由韦达定理得：1 ,1 , ： i -. 1=询（X1 +乃）2 - 2丽=_2X（2）+2x2=2 1州+心二一州內二一一 / 2222、 提示：由韦达定理得：_ ,_，- .1二估+兀2）（矿可）=（卅）愉+沪佃“广（鈔岭=普_33、 提示：由韦达定理得：,一二一-,I i 1 1 1 I 1 i I II I=侃血）2佃+

10、X（Xi +讦-3両叼广x （目（-23X勿4、提示：设这两个数为：,于是有，孙，因此：可看作方程11的两根，即 , ；： -；-，所以可得方程，解得：】- - i，一一 丁，所以所求的两个数分别 是一匚，匚二卿一1_朋+ 15、提示：由韦达定理得一，- 一 ，一（珂-阳丫 = 1 ,2严仆附+ 1-1 Il -1 I 11，化简得：卅-11 ；解得：-，-;以下分两种情况： 当c ，时，一 1，二一1,组成方程组：眄 += 5（I）可=34-二1；解这个方程组得：二2；_ 拠_ 当一-时，： 二 ，广一 1，组成方程组：% +巧二T xL - x3 = 1.I = 0解这个方程组得：I吃二-

11、16、提示：设I - 和 相同的根为；-:，于是可得方程组：a2 +am + 4 - 00,：厂上0;于是可得不等式组：（2 上）一 4i（t -1）工 0斗 jt-1.k解这个不等式组得： 12、提示：xa+(re-2)x + lffl-3 = 0(1)2的判别式厶二沪-4九=（悄-計-4（ 一炖-3）J-I=-6+16= （?n3） -0,所以无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。（2）利用韦达定理，并根据已知条件可得：吗 + 阳二-（m - 2）2珂+忑二刑+1解这个关于 1 ：1的方程组，可得到：二_1,二，由于- 3 = （2 轉一 1）（3_3 网）亠2，所以可得2，解

12、这个方程，可得:3、提示：可利用韦达定理得出 I = 0,m 0;于是得到不等式+x20 1 焉 E = mA 0 组：24求得不等式组的解，且兼顾| ;即可得到匸 ，再由，接下去即可根据，二卜一加)_4 x-ww= 04可得: 匸 /，得至打汀一小.，即：=44、答案：存在a=2提示：因为勺2，所以可设则=2為孔=3必（姑0）；由韦达定理得: 2鬲 + 心二-(4-7) = 2a+3a 鬲心二 一P - 2a3a129,3;于是可得方程组:-(4i-7) = 59_ 7_ 7解这个方程组得：当j工时，；当一一时，二 一；上 上所以打的值有两个：；. ；鬲+禺=5、提示：由韦达定理得：”2(3-闸2(3-豹)w.:I