初一数学竞赛专题19最值问题

1、专题19最值问题阅读与思考在实际生活与生产中， 人们总想节省时间或费用，而取得最好的效果或最高效益，反映在数学问题上，就是求某个量的和、差、积、商的最大值和最小值，这类问题被称之为最值问题，在现阶段，解这类问题 的相关知识与基本方法有：1、通过枚举选取.2、利用完全平方式性质.3、运用不等式（组）逼近求解 .4、借用几何中的不等量性质、定理等 .解答这类问题应当包括两个方面，一方面要说明不可能比某个值更大（或更小），另一方面要举例说明可以达到这个值，前者需要详细说明，后者需要构造一个合适的例子例题与求解【例 1】 若 c 为正整数，且 a+b = c, b + c = d, d+a=b，则（a

2、 + b）（b + c）（c + d）（d + a） 的最小值是.（北京市竞赛试题）解题思路：条件中关于C的信息量最多，应突出 C的作用，把a, b, d及待求式用c的代数式表示【例2】已知实数a, b满足a2+b2=1,贝U a4+ab+b4的最小值是（）A.B.0C.1D. 988（全国初中数学竞赛试题）解题思路：对a4 +ab+b4进行变形，利用完全平方公式的性质进行解题【例3】如果正整数x1 ,x2, x3, x4 ,x5满足x1+ x2+ x3 + x4+ x5 = x1 x2x3x4x5,求x5的最大值.解题思路：不妨设 x1 w x2Mx3Mx4Mx5 , 由题中条件可知1111

3、1+=1.结合题意进行分析.*2*3*4%*遇3*4*5 为*24*5*通2*3*5、*2*34【例4】 已知x, y, z都为非负数，满足 x + y_z = 1,x+2y + 3z=4,记w = 3x + 2y + z,求w的最大值与最小值.（四川省竞赛试题）解题思路：解题的关键是用含一个字母的代数式表示w.例5某工程车从仓库上水泥电线杆运送到离仓库恰为1000米的公路边栽立，要求沿公路的一边向前每隔100米栽立电线杆一根，已知工程车每次之多只能运送电线杆4根，要求完成运送18根的任务，并返回仓库，若工程车每行驶1千米耗油m升（在这里耗油量的多少只考虑与行驶的路程有关， 其他因素不计）.每

4、升汽油n元，求完成此项任务最低的耗油费用.（湖北省竞赛试题）解题思路：要使耗油费用最低，应当使运送次数尽可能少，最少需运送5次，而5次又有不同运送方法，求出每种运送方法的行驶路程，比较得出最低的耗油费用【例6】 直角三角形的两条直角边长分别为5和12,斜边长为13, P是三角形内或边界上的一点，P到三边的距离分别为 d1 , d2, d3,求d1 + d2 + d3的最大值和最小值，并求当d1 + d2 + d3取最大值和最小值时，P点的位置.（“创新杯”邀请赛试题）解题思路：连接P点与三角形各顶点，利用三角形的面积公式来解能力训练A级1 .社 a, b, c满足 a2+b2+c2 =9 ,那

5、么代数式（a b）2+（b c）2+（c a）2 的最大值是.（全国初中数学联赛试题）2 .在满足x+2y W3,x之0, y ±0的条件下，2x + y能达到的最大值是 .（“希望杯”邀请赛试题）3 .已知锐角三角形ABC的三个内角A,B,C满足A>B>C.用a表示A-B,B-C,以及90-A中的最小值，则a的最大值是.（全国初中数学联赛试题）4 .已知有理数a, b, c满足a>b>c,且a+b+c=0,.那么的取值范围是 .a（数学夏令营竞赛试题）5 .在式子x+1 +x+2 +x+3 +|x+4中，代入不同的x值，得到对应的值，在这些对应的值中，最小的

6、 值是（）.A.1B.2C.3D.46 .若a, b, c, d是整数，b是正整数，且满足 b+c = d, d+c = a, b+a=c,那么a + b + c + d的最 大值是（）.A.-1B.-5C.0D.1（全国初中数学联赛试题）2227 .已知xy =a, zy =10，则代数式x +y +z xy - yzxz的取小值是（）.A.75B.80C.100D.105（江苏省竞赛试题）8 .已知x, y, z均为非负数，且满足 x + y+z=30, 3x + y z = 50 ,又设 M =5x+ 4y+2Z ,则 M 的最小值与最大值分别为（）.A.110, 120B.120, 1

7、30C.130, 140D.140, 150x -12 - y z - 39.已知非负实数 x , y , z满足=1=，记w = 3x + 4y+5z.求w的最大值和最小值234（“希望杯”邀请赛试题）10.某童装厂现有甲种布料 38米，乙钟布料 26米，现计划用这两种布料生产L, M两种型号的童装共 50套，已知做一套 L型号的童装需用甲种布料 0.5米，乙种布料1米，可获利45元；做一套 M型号的童装 需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元，试问该厂生产的这批童装，当 L型号的童装为多少 套是，能使该厂获得利润最大？最大利润为多少？（江西省无锡市中考试题）专题19最值问题例

8、 1 24 提示：a = -c,b = 2c, d = 3c ,原式 24c3.-44. 22.2 22 2i19例 2 B 提小：a +ab+b =(a +b )-2a b +ab=12ab +ab=2 ab :十一.I 4)82211因为2 ab <a +b =1 ,所以<ab <-,从而 22311(1 丫9 M ab 4一，故 0 M ab - M444I4)1619 9因此 0 E-2.ab 十 <-, 48 8即 0 <a4 +ab +b4 <9 .8例 3 设 为 <X2 <X3 <X4 <X5,则1.1.1.1_ 1,

9、J - 1 = 3 X4x5于是得到X2X3X4X5X1X3X4X5X1X2X4X5X1X2X3X5X1X2X3X4X4X5X4X5X4X5X5X4X4X5X4 XX4奥.即(X4 T X X5 1 A4 .1 ,与题设等式为4 +X5=X5矛盾；若X4>1 ,则X51 M4 ,即X5M5 ,当X5=5时，容易找到满足条件的数组(1, 1, 1, 2, 5),所以X5的最大值是5.x y z =1例4由，得x 2y 3z =4X =5z _2 _ 023，由得£ EzE5 ,则y=3_4z_0540 =3x+2y +z=3(5z2 )+2 (3 4z ) + z =8z ,2

10、. 一 . . 163 . 一 .当z =一时，缶有取小值；当z =一时，与有取大值 6.554例5提示：显然运送次数越少，所行驶的路程越短，所需邮费越少，因此,18根电线杆运送5次行驶路程较短，这5次有两种运送方法：(1)四次个4根，一次2根；(2)三次各4根，二次各3根.(1)考虑先送2根，后送4根；先送4根，后送2根.先送2根，再送4根，二次共走行驶：(1000 + 100 /2+(1100 +400 2 =5200 米;先送4根，再送2根，二次共行驶：(1000 +300 )2+(1300 + 200 卢 2 = 5600米;(2)两次各送3根时，所行路程为(1000 +200 产 2

11、 +(1200 +300 /2 =5400 米.故先送2根所行驶路程最短，最短总行程为：1000 100 21100 400 2 1500 400 21900 400 22300 400 =1900耶故所用最少油费为19000mn + 1000=19mn元例 6 如图所示，在 ABC 中，/ C=90° , BC=5, AB=13.点 P到BC, CA, AB的距离分别为d1，d2, d3,连接PA, PB,PC,由三角形的面积公式知:115dl 12d2221113d35 12.22即 5dl 12d213d3 =60 .A显然有 5 dl d2d3工 5dl12d213d3M 1

12、3d1d2d3.故 63 Mdi d2 d3 M12.当 d2 =d3 =0 时，有 d1 +d2 +d3 =12,即 d1 +d2 +d3取最大值时,P与A重合；当d1 = d2 = 0时,_ .60有dI +d2 +d3 =，即d1 +d2 +d3取最小彳1时，P与C重合.132.63.15提示:1.27原式= 3(a2 +b2 +c2 ) (a+b+cj <273：2：3 90 -A 2 A-B B-Ca = <66270 -ABC 90二 一 二1566一 c 1八c 一4 . -2 < 一< 一一提小：b = -a -c, -a -c <b, /. 2a

13、> -c,-> -2,又把 b = -a -c代入b > c中,a 2a/曰. c1 皿 c c1仔a c <c ,一一 <.故2 < < .a2 a25 .D6. B 7. A 8. Bc、几 x-12 - y z - 39 .设=-=k,贝U x = 2k+1, y = 3k+2, z=4k+3.234, ',_L2k 1-012x, y, z均为非负实数.，3k+2占0 ,解得：WkW .234k+3 -0故 =3x 4y 5z =3 2k 1 4 -3k 2 5 4k 3) = 14k 26.121父14 + 26 E14k+26 M父

14、14+26 ,即 19=切 <35-, 233所以s的最小值是19,最大值是351310.20套.1800元.提示：设生产L型号的童装套数为 x ,则生产M型号的童装为（50-x）套，所得利润S =45x 30 50 - x =15x 1500 .由 0.5x 0,9 50 -x < 38x 0.2 50 -x < 26得 17.5EXE20, x=18,19, 20.11.最小表面积的打包方式为2X3.最小表面积为17952 mm2 ,图略.1.27 当b=2, a=25时，a+b的值最大.2.102 提示：m = n（19n 98）, 19n98 之 0.5b 8b64b

15、3.1157提不：a = , c = , d =254. B, D, E 93.62 百元5.13800元 提示：设由甲库调运 x吨粮食到B市，总运费为y元，则y = 5x 6 600 - x 6 800 - x 9 600 x =2x 13800 0 MxM6006. C 提示:+<abcd a b cd a b c d一 a b cM ：-a b a b c d7. B 提木：设 SOD =x ,c3636_ c则SOC =.故S四边形ABCD=13 x 213十2 xx= 25.8. （1） （a1 +a2 + IH+a2002a12 a22 IH a2002 2 2m =2012

16、 2m.a1 a2* a2002- 2012m 二2当 a =a2 =lll = a2002 =1 或1 时，m 取最大值 2003001.当 a1，a2, 1*1, a2002 中恰有 1001 个 1, 1001 个1时，m取最小值1001.因为大于2002的最小完全平方数为 452 =2025 ,且a1 +a2十小十a2002必为偶数，所以a1 +a2 +用+22002 =46 或-46；即 a1，a2, Ill a罐 中恰有 1024 个 1, 978 个1或 1024个1, 978 个,1_2 _1时，m取得最小值一（462 2002 ） = 57.29 .由条件得：ai2 =0,

17、a22 =a； +4aI +4, |, a20062 = a20052 + 4a2005 + 4,以上各式相加，得4(a1 +a2 +IH + a2005 )+4 父 2005 =a20062 至0,故场十a2+IM +22005 22005 .由已知ai, a2, III，22005都是偶数，因此 aI +a2 +111 +22005 之2004.另一方面，当a1 =a3 =HI = a2005 = 0, a2 =a4 =111 = a2004 = -2时，符合条件，且使上式等号成立，故所求的最小值是-2004.10 .仓库地址应选在 C处，假定仓库另选一地 O,设AB =c, BC =a, CA=b, AO =x,BO = y, CO =z (单位：千米)，又假定A厂产量为2m , B厂产量为3m , C厂产量为5m,(单位：吨)仓库在O处的总运费可表示为 2mx+3my+5mz；仓库在C处的总运费可表示为 2mb+ 3ma.由于 x+ z加，y+z主，因此 2mx+ 2