专题五 探索性问题(含答案)

1、第5讲 探索性问题 概述：探索性题目一般作为压轴题或次压轴题出现，题目较难，难在结论不肯定，要通过探索证明或计算，得出结论，并给予肯定或否定回答：这种题目的结论有多样性，需要解题的周密考虑，解这种题目有两种方法：一种是假定结论成立，去证明它的可能性或存在性；另一种是从条件出发直接证明或计算回答存在或不存在 典型例题精析 例1（2005，绵阳）如图1，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 （1）如图2所示，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？（

2、不必证明） （2）如图3所示，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明； （3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别为S1、S2、S3表示，使S1、S2、S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？并证明你的结论；（4）类比（1）、（2）、（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2 （1）S1=S2+S3； （2）S1=S2+S3，证明如下： 显然：S1=c2，S2=a2，S

3、3=b2， S2+S3=（a2+b2）=c2=S1 （也可用三角形相似证明） （3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3证明如下： 所作三个三角形相似， =1， S1=S2+S3 （4）分别以直角三角形ABC的三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3 例2（2002山西）如图1，O1和O2外切于P，AB是O1和O2的公切线，A、B是切点，直线AP、BP分别交O2，O1于F、E （1）求证：AE、BF分别为O1、O2的直径； （2）求证：AB2=AE·BF；（3）如图2，当图1中的切点P变为两圆一个交点时，结论AB2=AE·BF还成

4、立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 分析：（1）即证APE=BPF=90°，过P作二圆公切线，可证明 （2）证明ABEBFA可得 （3）同样可证ABEBFA E=BAF，F=ABE中考样题训练 1（2005，黄冈）如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别作饼速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动 ，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动 （1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式 （2）试

5、在（1）中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与AOC全等，请直接写出点D的坐标 （3）设从出发起运动了t秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围（4）设从出发起，运动了t秒钟，当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由 2（2004，苏州）如图，O2与O1的弦BC切于C点，两圆的另一个交点为D，动点A在O1上，直线AD与O2交于点E，与直线BC交于点F （1）如图1，当点A在上时，求证： FDCFCE； ABEC；（2）如图2，当点A在

6、上时，是否仍有ABEC？请证明你的结论 3（2003，浙江）如图，A和B是外离两圆，A 半径长为2，B的半径长为1，AB=4，P为连结两圆圆心的线段AB上的一点，PC切A于点C，PD切B于点D （1）若PC=PD，求PB的长； （2）试问线段AB上是否存在一点P，使PC+PD=4？如果存在，问这样的P点有几个；并求出PB的值；如果不存在，说明理由；（3）当点P在线段AB上运动到某处，使PCPD时，就有APCPBD，请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处（说明PB的长为多少；或PC、PD具有何种关系）时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与B的位置关系，证明你的结论 4三月三，放风

7、筝，图中是小明制作的风筝，他根据DE=DF，EH=FH，不用度量，就知道DEH=DFH请你用所学知识给予证明考前热身训练 1填空题 （1）观察下列等式，你会发现什么规律？ 3×5=15，而15=42-1， 5×7=35，而35=62-1， 11×13=143，而143=122-1， 将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来_（2）（2002，武汉）如图，以ABC的边AB为直径作O交BC于D，过D作O的切线交AC于E，使得DEAC，则ABC的边必须满足的条件是_ 2已知反比例函数y=（k0）和一次函数y=-x+8 （1）若一次函数和反比例函数的图象交于点（4，m

8、），求m和k； （2）k满足什么条件时，这两个函数图象有两个不同的交点？（3）设（2）中的两个交点为A、B，试判定AOB是锐角还是钝角？ 3如图，在直角坐标系xOy中，以点A（0，-3）为圆心作圆与x轴相切，B与A外切于点P，B点在x轴正半轴上，过P点作两圆的公切线DP交y轴于D，交x轴于C （1）设A的半径为r1，B的半径为r2，且r2=r1，求公切线DP的长及直线DP的函数解析式； （2）若A的位置大小不变，点B在x轴正半轴上移动，B与A始终外切，过D作B的切线DE，E为切点，当DE=4时，B点在什么位置？从解答中能发现什么？答案:中考样题看台1（1）y=x y=-x2+x （2）D（10

9、，6） （3）当Q在OC上运动时，可设Q（m，m），依题意有：m2+（m2）=（2t）2 m=t，Q（t，t），（0t5） 当Q在BC上时，Q点所走过的路程为2t OC=10，CQ=2t-10， Q点在横坐标为2t-10+8=2t-2， Q（2t-2，6）（5<t10） （4）梯形OABC的周长为44，当Q点在OC上，P运动的路程为t，则Q运动的路程为（22-t） OPQ中，OP边上的高为：（22-t）×， SOPQ=t（22-t）×，S梯形OABC=（180+10）×6=84 依题意有：t（22-t）×=84×， 整理得：t2-22t+

10、140=0=222-4×140<0， 这样的t不存在 当Q在BC上时，Q走过的路程为22-t， CQ的长为：22-t-10=12-t， S梯形OCQP=×6（22-t-10+t）=3684×， 这样的t值也不存在 综上所述，不存在这样的t值，使得直线PQ同时平分梯形的周长和面积2（1）BC切O2于C，ECF=CDF，又F=F，FDCFCE又ADC=ABC，ECF=CDF，ABC=ECF，ABEC （2）有ABEC，证明：BC切O2于C，BCE=D，又ABCD内接于O1，ABF=D，BCE=ABF，ABEC3（1）PC切A于点C，PCAC，PC2=PA2-AC

11、2，同理PD2=PB2-BD2，PC=PD，PC2-AC2=PB2-BD2，设PB=x，PA=4-x代入得x2-1=（4-x）2-22，解得x=，1<<2，即PB的长为（PA长为>2） （2）假定有在一点P使PC2+PD2=4，设PB=x，则PD2=x2-1，PC2=（4-x）2-22，代入条件得（4-x）2-22+x2-1=4，解得x=2±，P在两圆间的圆外部分，1<PB<2，即1<x<2，满足条件的P点只有一个，这时PB=2-（3）当PC：PD=2：1或PB=时，也有PCAPDB，这时，在PCA与PDB中（或），C=D=Rt，PCAPDB，BPD=APC=BPE（E在CP的延长线上），B点在DPE的角平分线上，B到PD与PE的距离相等，B与PD相切，B也与CP的延长线PE相切4证明：连结DH在DEH和DFH中， DEHDFH，DEH=DFH考前热身训练1（1）（2n-1）（2n+1）=（2n