三棱锥的外接球问题教学设计与反思

1、三棱锥的外接球问题教学设计与反思福鼎市第六中学李 靖一、课程整合点立体几何需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力。教学中，若依靠传统的黑板或PPT 讲解空间立体几何问题，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难，而白板， FLASH教学软件则可以达到图形的自由分解、拖拽、旋转等效果， 还可以在课堂上利用作图工具直接作出标准图，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性。在激发学生学习兴趣吸引学生注意力方面能达到较好的效果。由于全国卷对立体几何中球的考察，多以球内切或外接于几何体的形式出现，而三棱锥外接球的问题是一种常见题型，某些具有垂直关系的三棱锥又可以化归成正方体或

2、长方体，进而使求三棱锥外接球的体积问题就转化为正方体或长方体外接球的相关问题。二、教材分析：（一）教材的地位、作用：本节课是在高三学生复习完高中数学必修2 第一章球的表面积和体积公式的基础上开的一节专题。由于高考对立体几何中球的考察，多以球内切或外接于几何体的形式出现，而三棱锥外接球的问题是一种常见题型，某些具有垂直关系的三棱锥又可以化归成正方体或长方体，进而使求三棱锥外接球的体积问题就转化为正方体或长方体外接球的相关问题。另外，化归思想是数学中的一种重要思想，通过本节的学习，使学生更好地体会化归的思想方法，感受数学的精妙之处。从而丰富学生的理论体系，体会分析问题、解决问题的过程。在历年高考中

3、的选择、填空题中时有出现，加重了对这一方面的考查。（二）教学目标：1、知识与技能：（ 1）了解以正方体或长方体的顶点为顶点的三棱锥的结构特点。（ 2）能熟练的把具有一些垂直特点的三棱锥化归成正方体或长方体。并能够利用正方体或长方体外接球的特点求出球的体积。（ 3）启发学生发现问题和提出问题，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。2、过程与方法：（ 1）通过对例题的研究求解，归纳总结，从中体会分析问题、解决问题的过程，培养其思维的严谨性。（ 2）培养学生的空间想象能力和化归思想方法的运用。（ 3）激发学生对数学学习的热情，提高数学素养，锻炼数学品质，发展数学思维。3、情感、态度与价值观：课堂中

4、进行“师生交流”与“生生交流”，有利于提高学生的表达能力和总结概括的能力，让学生获得成功的体验，树立学好数学的信心。（三）教学重点：1. 对可划归为正方体或长方体的三棱锥结构的认识。2. 借助正方体或长方体与球的关系解决三棱锥外接球的体积问题。3. 可转化为直棱柱，或构建直角三角形解决三棱锥外接球的体积问题。教学难点： 把三棱锥化归成正方体或长方体，培养学生转化问题、分析问题的能力。三、学法分析：高三年级的学生经过了两年多的数学训练，已具备一定的分析问题解决问题的能力。但知识体系还不够完整，运用所学知识解决问题的能力还有待提高，并且立体几何一直是学生学习数学的难点，很多学生缺乏空间想象能力，多

5、个几何体的组合更是难上加难。针对这一节课来说，对于特殊的三棱锥可以通过化归的方法使问题简化，难题易解。学生们通过课堂探讨、学习，开阔思路，发散思维，并学会选择恰当的方法解题。四、教法分析：本节课针对高三年级学生的认知特点，在遵循启发式教学原则的基础上，借助白板，FLASH教学软件，采用以多媒体教学为主，以讨论法、练习法为辅的教学方法，引导学生探索以正方体或长方体的顶点为顶点的三棱锥的结构特点，由浅入深的研究三棱锥与球相联系的桥梁。本节课坚持以学生为主体，教学中让学生自主地“做数学”，将传统意义下的“学习”数学改变为“研究”数学。从而，使传授知识与培养能力融为一体，在转变学习方式的同时学会数学地

6、思考。教 学环节复习回顾引入新课五、教学过程设计：教学程序及设计设计意图复习回顾学复习回顾： 1. 球的表面积公式过的相关公2.球的体积公式式和内容3. 长（方 ) 体体对角线的求法4. 利用正弦定理求三角形外接圆的半径课程导入由它们之间引例 1：给你一张长为8，宽为 6 的矩形纸张，沿着一条对的相互关系角线折叠成一个三棱锥，求该三棱锥外接球的表面积？引出本节课多媒体 FLASH动画展示折叠，与外接与球的过程。让的课题。学生感受图形的变化，激发学习的兴趣。多媒体的动引例 2：认识几个特殊的三棱锥，并观察它与长（正）方体画演示，让学的位置关系生直观的感让学生在动态图中感受， 三棱锥与正方体的位置

7、关系，受到三棱锥并记住几种特殊的三棱锥。的结构特点，这就是我们今天要研究的内容- 三棱锥外接球的问为后面的三题。棱锥化归做好铺垫外接球的表面积为多少？教师演示图形， 介绍三垂直模型的三棱锥结构特点。 引导学生往长方体方向去思考外接球半径的求法。 并做完整的板书示范。类型三：双垂直的四面体的外接球问题思考问题 1：长方体或正方体的体对角线和体心与它的外接球有提出问题，引问什么关系？发思考题问题 2： 边长为 2 的正方体的外接球的表面积为多少？问题 3：假如一个正方体的 8 个顶点都在同一个球的球面上，通过问题的那任意选出四个顶点，这四个顶点都在该球的球面上吗？回答，顺利的把三棱锥的问题 4：正

8、四面体有什么特征？在正方体中能否切割出一个外接球问题正四面体？假如能？应该怎么切割？化归成长方问题 5：棱长为 1 的正四面体的外接球的表面积为多少？体的外接球顺势推导正四面体的外接球的半径公式，体会数学问题。的由特殊到一般的思想。由学生回答， 老师利用 FLASH课件结合白板进行展示，点明这节课并引导学生观察三棱锥的结构特点。的重点。探类型一：正四面体的外接球问题例 1：在等腰梯形 ABCD 中， AB=2CD=2 ， DAB=60 °，小总结：把正四E 为 AB 的中点，将 ADE 和 BEC 分别沿着 ED,EC 向上面体补充成一折起，使 A,B 重合于点 P，则三棱锥 P-D

9、CE 的外接球的体个正方体，借助积为.正方体的外接究球来求该四面体的外接球，进而外接球的体积和表面积可解.新（部分学生根据图形特点直接判断出是正四面体，直接让学生初尝套用公式计算，可以表扬并提倡。）胜利的成果。类型二：三垂直的四面体的外接球问题例 2：三棱锥 P-ABC 中，侧棱 AB,AC,AP 两两垂直，ABC ， 小总结：把三垂知2 ， 3 ， 6 ，则该三棱锥的直模型补充成ACP， APB 的面积分别为正方体或者长222方体，借助正方体或者长方体的外接球来求该四面体的外接球，进而外接球的体积和表面积可解 .例 3： 三棱锥 P-ABC 中， PA平面 ABC ，AC CB，AC=CB=

10、1 ， PA=3 ，则该三棱锥的外接球的表面积是多少？为.教师演示课件图形，讲解双垂直模型三棱锥的特点，启发学生联想到长方体的结构，引导学生朝补成长方体方向去思考问题，解决问题。（调板学生完成，并对完成的情况给予点评。）例 4：如图是一个空间几何体的三视图， 求该几何体的外接球的表面积。类型四：一条测棱垂直底面，底面为非直角三角形的四面体的外接球问题例 5 已知点 A,B,C,D, 四点在同一个球面上， DA 平面 ABC,DA=AB=AC= 3 , ABC=60 ° ， 则 球 半 径 是引导学生，发现用长方体来解决此类型的问题。并体验到“补形”的优越性由学生动手作出直观图，并在长

11、方体中找到符合条件的三棱锥，最后由学生板书过程。体验做题过程，体会成功的喜悦感。通过练习进一步加深对可划归三棱锥结构特点的认识。由于忽略了底面没有直角这个条件， 学生自然的会想到化归到长方体来处理该问题。碰壁后，让他们交流讨论。师生互动，最后往直棱柱去化归。（利用正弦定理求三角形外接圆的半径的方法，在解题过程中得到再次的复习。）类型五：正三棱锥的外接球问题例 6：已知正三棱锥底面边长为 1，侧棱长为 2，求外接球半径小总结：把此类模型的三棱锥“补形”成直棱柱来解决问题。利用正三棱锥的特点，由顶点到底面射影及底面任一点，组成直角三角形来解决外接球的问题。（放手让学生去构建直角三角形，去考虑球心的

12、位置，找到合理的解决途径。）小总结：此类问题通过构建直角三角形来处理。体会数学中用化归思想解决问题的思维过程，并激发学生积极思考。总结：?1. 正方体外接球半径公式：R3a?2. 长方体外接球半径公式： R 2a2b2c2课归纳总结题型?3. 三种特殊的三棱锥可通过“补体法”转化为正方体或长堂特点。方体的外接球问题（正四面体，三垂直，双垂直模型）小结?4. 直棱柱外接球半径求法：R2 =r 2( h )22?5. 正棱锥外接球： R 2r 2(h R) 2?6. 其他：折叠问题；一般的棱锥等等求三棱锥外接球的问题，要注意观察三棱锥的特点，有些三棱锥可化归成正方体或长方体， 从而转化为正方体或长

13、方体的外接球的问题， 使问题简化 . 有些可以补形成直棱柱，或者构建直角三角形来求解。 解题时要注意三棱锥的结构特点选择合适的方法来解决问题。练习纸练习是本课知识的巩固与强化。提高练习纸 挑战外接球题是分层教学作提高题（多知道一点） 对棱相等的三棱锥的外接球问题已知四面体 A-BCD，AB=CD=8,BC=AD=6, AC=BD=10,中让学有余力业求四面体外接球的体积？布的同学提升能置力的训练。三棱锥外接球的问题由于白板的作二，讲练例题一，复习公式用，板书量变板少。几个重要公书多媒体屏幕设式，及解法过程计保留在黑板，供学生随时记忆。六、教学反思1. 本节课借助白板与 FLASH 教学软件，弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率。尤其在三棱锥化归成正方体或长方体，图形分解等方面表现出很大的优势。2. 本节课的设计，力求体现“以学生发展为本”的教学理念。教学过程中，以问题为载体，学生活动为主线，为学生提供了探究问题、分析问题、解决问题的活动空间。本节课中很多题都由学生自己动手做图，