基本初等函数图像及性质

1、实用标准六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C （其中 C 为常数）；常数函数（ yC ）C0yyCy0xO平行于 x 轴的直线定义域 R二、幂函数 y x， x 是自变量，是常数；y11. 幂函数的图像 ：y x2y x2y x1O2. 幂函数的性质 ；性质yxyx2yx3函数定义域RRR值域R0,+ )R奇偶性奇偶奇单调性增0,+ )增增(- ,0减C0yOy 轴本身定义域 Ryxyx3xy1x 20,+ )0,+ )非奇非偶增xyx 1x|x 0y|y 0奇(0,+ )减(- ,0)减公共点（1,1 ）文档实用标准1）当为正整数时，函数的定义域为区间为x ( ,

2、) ，他们的图形都经过原点，并当>1 时在原点处与 x 轴相切。且为奇数时，图形关于原点对称；为偶数时图形关于y 轴对称；2）当为负整数时。函数的定义域为除去x=0 的所有实数；3）当为正有理数m 时， n 为偶数时函数的定义域为（0, + ）， n 为奇数时函数的定义域为（ -n ,+ ），函数的图形均经过原点和（1,1 ）；4）如果 m>n图形于 x 轴相切，如果m<n,图形于 y 轴相切，且 m为偶数时，还跟 y 轴对称； m，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除 x=0 以外的一切实数

3、。三、指数函数 yax ( x 是自变量 , a 是常数且 a0 ， a1 ) ，定义域是 R ； 无界函数 1. 指数函数的图象 ：ya xyyyax(a 1)(0 a1)(0,1)y 1(0,1)y 1OxOx2. 指数函数的性质 ；性质y a x (a 1)y ax (0 a 1)函数定义域R值域(0 ，+)奇偶性非奇非偶公共点过点 (0 ，1) ，即 x0 时， y1单调性在（，）是增函数（，）在是减函数1 ） 当 a1时 函 数 为 单 调 增 , 当 0 a1时函数为单调减；2 ） 不 论 x 为 何 值 ,y 总 是 正 的 , 图 形 在 x 轴 上 方 ；3 ） 当 x0 时

4、 , y1,所以它的图形通过(0,1) 点。文档实用标准3. （选，补充）指数函数值的大小比较a N *；yxx1a. 底数互为倒数的两个指数函数f (x) af (x)af (x) ax1， f ( x)ax(0,1)的函数图像关于y 轴对称。Oxh( x)3xyf (x) 2xb.1. 当 a 1时， a 值越大， y ax(0,1)的图像越靠近 y 轴；Oxg( x)yx131xq(x)2b.2. 当 0a 1时， a 值越大， y ax(0,1)的图像越远离 y 轴。O4. 指数的运算法则（公式）；a. 整数指数幂的运算性质( a0, m, nb. 根式的性质；Q ) ；nn a当 n

5、 为奇数时， n anaamanamn(1)a； (2)(1)当 n 为偶数时， na na(a0)(2)ama nam naa(a0)nc. 分数指数幂；(3)amanmanma nn am(a0, m, n Z * , n1)(1)mnn nm11*aba b(4)(2)a nmnam(a 0, m, nZ, n 1)a n文档实用标准四、对数函数ylog a x ( a 是常数且 a0, a1) ，定义域 x(0,) 无界 1. 对数的概念：如果 a(a 0， a 1) 的 b 次幂等于 N，就是abN ，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 loga Nb , 其中 a 叫做

6、对数的底数，N叫做真数，式子log a N 叫做对数式。对数函数 yloga x 与指数函数 ya x 互为反函数，所以ylog a x 的图象与 ya x 的图象关于直线 yx 对称。2. 常用对数：log10 N 的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数记作lg N 。3. 自然对数： 使用以无理数e2.7182 为底的对数叫做自然对数，为了简便，N 的自然对数 log e N 简记作 ln N 。4. 对数函数的图象：yOx1yylog a x (a1)(1,0)xOx 1(1,0)x5. 对数函数的性质 ；yloga x (0 a 1)性质ylog a xyloga x函数(a 1)

7、(0a 1)定义域(0 ，+)值域R奇偶性非奇非偶公共点过点 (1 ， 0) ，即 x1时， y0单调性在 (0,+ ) 上是增函数在 (0,+ ) 上是减函数1）对数函数的图形为于y 轴的右方，并过点(1,0) ；2）当 a1 时，在区间(0,1) ， y 的值为负，图形位于 x 的下方；在区间 (1,+) ，y 值为正，图形位于x 轴上方，在定义域是单调增函数。a 1 在实际中很少用到。文档实用标准6. （选，补充）对数函数值的大小比较a N *；yyloga xa. 底数互为倒数的两个对数函数y log a x ， y log 1 x(1,0)aOx的函数图像关于x 轴对称。yf ( x

8、)log2xylog 1 xaf ( x)log3 xb.1. 当 a1时， a 值越大， f (x) log a xx 轴；的图像越靠近O(1,0)xyb.2. 当 (0a 1) 时， a 值越大， f ( x) loga x(1,0)xO的图像越远离x 轴。f ( x) log 1x37. 对数的运算法则（公式）；a. 如果 a 0， a1， M 0， N 0，那么：loga MNloga Mlog a NMlog a Nlog a Mloga Nlog a M nn log a Mb. 对数恒等式：alog a NN (a0且a1，N0)f ( x)log 1 x2c. 换底公式：(1)

9、 log b Nlog a N0,a 1，一般常常（ alog a b换为 e或 10 为底的对数 , 即 logb Nln N或ln blog b Nlg N）lg b(2) 由公式和运算性质推倒的结论：nnloga m bloga bd. 对数运算性质(1)1 的对数是零，即log a 10 ；同理 ln 10或 lg 1 0(2) 底数的对数等于1，即log aa 1；同理 ln e 1 或 lg 10 1文档实用标准五、三角函数1. 正弦函数 ysin x , 有界函数，定义域x ( , ) ，值域 y 1, 1图象：五点作图法：0， 3， 2222. 余弦函数 y cos x，有界函

10、数，定义域x ( , ) ，值域 y 1, 1图象：五点作图法：0， 3， 2223. 正、余弦函数的性质；性质y sin x ( k Z )ycos x (kZ )函数定义域R值域-1,1-1,1奇偶性奇函数偶函数周期性T2T2对称中心( k,0)(k,0)2对称轴xk2(k,0)2在 x2k,2k2上是增函数在 x2k,2k 上是增函数2单调性在 x2k,2k3上是减函数在 x2k,2k上是减函数22x2k2时， ymax1x2k 时， ymax1最值x2k时， ymin1x2k时， ymin12文档实用标准4. 正切函数 ytan x ，无界函数，定义域 x x k,( k Z) ，值域

11、 y ( , )y2x523O325222222ytan x 的图像5. 余切函数ycot x ，无界函数，定义域x xk , kZ , y(,)yx3523O3253222222ycot x 的图像6. 正、余切函数的性质；性质ytan x ( k Z )ycot x (k Z )函数定义域x k2xk值域RR奇偶性奇函数奇函数周期性TT单调性在 (k ,k) 上都是增函数在 (k ,( k1) 上都是减函数22对称中心( k,0)( k,0)22零点(k,0)(k,0)2文档实用标准7. 正割函数 ysecx ，无界函数，定义域 x x k, (k Z ) ，值域 secx 1y21223

12、53O35x222-1222ysecx 的图像8. 余割函数 y cscx1x x k , (k Z ) ，值域 cscx 1，无界函数，定义域sin xy513222323O25x2-122ycsc x 的图像9. 正、余割函数的性质；性质ysec x (kZ )ycsc x ( kZ )函数定义域x xkx xk2值域(， 1 1,)(， 11,)奇偶性偶函数奇函数周期性T2T2(2k,2k)(2k,2k3 )(2k ,2k)(2k3,2k2 ) 减22223单调性减(2k,2k)( 2k,2k)(2k,2k)( 2k,2k) 增22增22文档实用标准续表：性质ysec x (k Z )y

13、 csc x (k Z )函数对称中心(k,0)(k,0)2对称轴xkxk2渐近线xkxk2六、反三角函数1. 反正弦函数yarcsin x ，无界函数，定义域-1,1，值域 0,A. 反正弦函数的概念：正弦函数ysin x 在区间,上的反函数称为反正弦函数，记为22yarcsin x2. 反余弦弦函数 yarccos x ，无界函数，定义域 -1,1，值域 0, B. 反余弦函数的概念：余弦函数ycos x 在区间0,上的反函数称为反余弦函数，记为yarccos xyy2-12O1x2O1x-1y arcsin x 的图像y arccos x 的图像3. 反正、余弦函数的性质；性质函数yar

14、csin xyarccos x定义域-1,1-1,1值域0, 0, 奇偶性奇函数非奇非偶函数单调性增函数减函数文档实用标准4. 反正切函数yarctan x ，有界函数，定义域x(,) , 值域,22C. 反正切函数的概念：正切函数ytan x 在区间,上的反函数称为反正切函数，记为22yarctan x5. 反余切函数yarc cot x ，有界函数，定义域x(,) , 值域0,D. 反余切函数的概念：余切函数ycot x 在区间0,上的反函数称为反余切函数，记为yarc cot xyy2Ox22Oxy arctan x 的图像y arc cot x 的图像6. 反正、余弦函数的性质；函数性

15、质yarctan xyarc cot x定义域R值域,0,22奇偶性奇函数非奇非偶单调性增函数减函数文档实用标准三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角正弦：正切：正割：的终边上任取 一点 P( x, y) ，记： rx2y2 。yxsin余弦： cosrryxtan余切： cotxyrrsec余割： cscxy二、同角三角函数的基本关系式倒数关系： sincsc1 ， cossec1， tancot1商数关系： tansincoscos， cotsin平方关系： sin 2cos21， 1 tan2sec2， 1 cot2csc2三、诱导公式x 轴上的角，口诀：函数名不变，符号看象限；y 轴

16、上的角，口诀：函数名改变，符号看象限。四、和角公式和差角公式sin()sincoscossin)tantantan(tantansin()sincoscossin1cos()coscossinsin)tantantan(cos()coscossinsin1tantan五、二倍角公式sin 22sin costan 22 tan1tan2cos2cos2sin 22cos211 2sin2二倍角的余弦公式常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）1cos22 cos21cos22sin 21sin 2(sincos)21sin 2(sincos )2文档实用标准cos21 cos2， sin 21sin 2， tan1cos21sin 222sin 2cos 2六、三倍角公式sin 33sin4 sin34 sinsin()sin()33cos34 cos3 3 cos4 coscos(3) cos()tan33tan 33 tantantan() tan()13 tan233七、和差化积公式sinsin2sincoscoscos2coscos2222sinsin2 cossincoscos2sinsin2222八、辅助角公式a sin x b cos xa 2b 2 sin( x)其中：角的终边所在的象限与