《1.3.2辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法》导学案

1、1.3.1辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法导学案学习目标】1理解辗转相除法与更相减损术的含义，了解其执行过程，并会求最大公约数2掌握秦九韶算法的计算过程，了解它提高计算效率的实质，并会求多项式的值3进一步体会算法的基本思想学习重点】算法步骤及程序框图和算法程序课前预习案知识链接】136与60的最大公约数是多少？你是如何得到的？2.观察下列等式 8 251 = 6 105X 1 + 2 146，那么8 251与6 105这两个数的公约数和 6 105与2146的公约数有什么关系？知识梳理】1 .辗转相除法( 1 )辗转相除法. 算法步骤： 程序框图如图所示. 程序：2、更相减损术问题：设两个正

2、整数 m>n(m>n),若m n = k,则m与n的最大公约数和n与k的最大公约数相等,反复利用这个原理,可求得98与63的最大公约数是多少？算法分析：3秦九韶算法多项式的(1)概念：求多项式f(x) = anxn + anixn 1 + aix+ a。的值时，常用秦九韶算法，这种算法的运算次数较少,是多项式求值比较先进的算法,其实质是转化为求 值,共进行 _次乘法运算和 _次加法运算其过程是：( 2) 算法步骤：( 3) 程序框图如图所示( 4) 程序：1、2、A. 顺序结构B. 条件结构C. 循环结构D .以上都有自主小测用更相减损术求294和84的最大公约数时，第一步是设计程

3、序框图，用秦九韶算法求多项式的值，所选用的结构是3. 用更相减损术可求得 78与 36的最大公约数是()A. 24B. 18C. 12课上导学案教师点拨:更相减损术与辗转相除法的区别与联系如表所示.辗转相除法更相减损术区别 以除法为主. 两个整数差值较大时运算次数较少. 相除余数为零时得结果. 以减法为主. 两个整数的差值较大时，运算次数 较多. 相减，差与减数相等得结果. 相减前要做是否都是偶数的判断.联系 都是求最大公约数的方法. 二者的实质都是递归的过程. 二者都要用循环结构来实现 .例题讲解【例题1】(1)用辗转相除法求8251与6105的最大公约数;(2)用更相减损术求98与63的最

4、大公约数.辗转相除法的操作是较大的数分析：本题是关于辗转相除法和更相减损术的直接应用.除以较小的数；更相减损术的操作是以大数减小数.反思： (1) 利用辗转相除法求最大公约数时经常会取错最后一个余数因为辗转相除法有有限个除法式子，而最后一个余数在倒数第二个式子的最后( 2)利用更相减损术求解最大公约数时，最大公约数是直到差等于减数时的那个差，或是该差与约简的数的乘积【例题2】 用秦九韶算法求多项式f( X) = X5 + x4+ X3+ X2 + X+1当x= 5时的值.当堂检测】1用秦九韶算法计算f(x) = 3x6+4x5+ 5x4+ 6x3 + 7x 36勿r 恥，故36与60的最大公约

5、数为3| 915 52 X 2 X 3= 12.2、【提示】8 251的最大约数是2 146的约数，同样6 105与2 146的公约数也是8 251+ 8x +1当x = 0.4时的值，需要进行乘法运算和加法运算的次数分别为()A. 6, 6C. 6, 5D. 6, 122.利用辗转相除法求3 869与6 497的最大公约数时，第二步是 .3 .用秦九韶算法求多项式 f(x) = x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 1在x=- 2时的值为4. 用辗转相除法求242与154的最大公约数.【问题与收获】【知识链接】1、【提示】 先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的

6、商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来即为最大公约数.由于的约数，故 8 251与 6 105的最大公约数也是 6 105与2 146的最大公约数自主小测答案： 1、 用2约简 由于294和84都是偶数,先用 2约简.2、3. D 先用 2约简得 39, 18；然后辗转相减得 39 18 = 21, 21 - 18= 3, 18- 3= 15, 153= 12, 12 3= 9, 9 3 = 6, 6 3 = 3.所以所求的最大公约数为3X 2= 6.当堂检测答案：1. A 改写多项式 f(x) = ( 3x+ 4)x + 5)x + 6)x + 7)x + 8)x + 1,则需进行 6次乘法和 6次加法运算.2. 3 869= 2 628X 1 + 1 241 第一步：6 497= 3 869X 1 + 2 628,第二步：3 869 = 2 628 X 1+ 1 241.3. 1 改写多项式为 f(x) = ( X+ 5)x + 10)x + 10)x + 5)x + 1,当 x= 2 时,v0= 1 ； v1= 1 X ( 2) + 5= 3；v2=3X(2)+10=4；v3= 4X ( 2)+ 10= 2；v4= 2X( 2)+5=1；v5=