圆幂定理讲义(带答案)

1、圆哥定理STEP 1:进门考理念：1.检测垂径定理的基本知识点与题型2 .垂径定理典型例题的回顾检测。3 .分析学生圆部分的薄弱环节。(1)例题复习。1. (2015恁津县一模)一副量角器与一块含 30。锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN上，顶点A, B恰好都落在量11 / 22cm.C【考点】M3:垂径定理的应用；KQ:勾股定理;角器的圆弧上，且 AB/MN.若AB=8cm,则量角器的直径 MN=T7:解直角三角形.【分析】作CDXAB于点D,取圆心O,连接OA,作OEXAB于点E,首先求得CD的长, 即OE的长，在直角 AOE中，利用勾股定理求得半径 OA的长

2、，则MN即可求解.【解答】 解：作CDXAB于点D,取圆心O,连接OA,作OELAB于点E.在直角 ABC 中，/ A=30° ,则 BC=AB=4cm , 在直角 BCD 中，/ B=90° - Z A=60° , .CD=BC?sinB=4 X等=26(cm) ,OE=CD=2,在AAOE 中，AE=AB=4cm ,则 OA= dAE2 +0E 2=、h阳2 =* (cm)，贝"MN=2OA=4 V? (cm).故答案是：47?.XfO c N【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形.

3、2. （2017料坝州）如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为（A. 2cm B. VScm C, 25cmD . 2/3cm【考点】M2:垂径定理；PB:翻折变换（折叠问题）.【分析】通过作辅助线，过点O作ODLAB交AB于点D,根据折叠的性质可知 OA=2OD , 根据勾股定理可将 AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长.【解答】解：过点。作ODLAB交AB于点D,连接OA,OA=2OD=2cm ,AD= /0&2_0. 2=q22 _ 2=j（cm）,AB=2AD=2,1' 3 cm.,. ODXAB ,【点评】 本题考查了垂径定理和勾

4、股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键.3. （2014砂州）如图，在平面直角坐标系中，O P的圆心坐标是（3, a）（a>3）,半径为3,函数y=x的图象被。P截得的弦AB的长为约叵，则a的值是（）A. 4D.S+V3KQ:勾股定理.PB,由于 OC=3, PC=a,易也为等腰直角三角形.由 PEM2:垂径定理；F8: 一次函数图象上点的坐标特征；11 :计算题；16 :压轴题.PCx轴于 C,交AB于D,作PEXAB于E,连结得D点坐标为（3, 3）,则4OCD为等腰直角三角形， PED±AB，根据垂径定理得 AE=BE=AB=2j±,在RtAPBE中，利用勾股

5、定理可计算出 PE=1 ,贝U PD=V2PE=®所以 a=3+/2.【解答】 解：作PCx轴于C,交AB于D,作PEXAB于E,连结PB,如图，0P 的圆心坐标是（3, a） ,.,.OC=3, PC=a,把 x=3 代入 y=x 得 y=3, D 点坐标为（3, 3） ,，CD=3 ,. OCD为等腰直角三角形，.PED也为等腰直角三角形，. PEXAB , . AE=BE=-Lab=Lx4、Q=2E， 在 RtPBE 中，PB=3 ,PE刃产,.PD=V2PE=/2,a=3+/.故选：B.【点评】本题考查了垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦, 考查了勾股定理和等腰直角三角形的

6、性质.并且平分弦所对的两条弧.也4. (2013油江)在平面直角坐标系xOy中，以原点。为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx-3k+4与。交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为【分析】根据直线y=kx-3k+4必过点D (3, 4),求出最短的弦 CB是过点D且与该圆直 径垂直的弦，再求出 OD的长，再根据以原点 。为圆心的圆过点 A (13, 0),求出OB的 长，再利用勾月定理求出 BD,即可得出答案.【解答】 解：,直线 y=kx - 3k+4=k (x3) +4,，k (x 3) =y4,k 有无数个值，x - 3=0, y - 4=0 ,解得 x=3 , y=4 ,，直线必过点

7、 D (3, 4) ,最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，点 D 的坐标是(3, 4) , OD=5 ,以原点。为圆心的圆过点 A （13, 0）,，圆的半径为13,，OB=13,，BD=12,，BC的长的最小值为 24; 故答案为：24.【点评】此题考查了一次函数的综合， 用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置.STEP 2:新课讲解教学目标，1、熟练掌握圆幕定理的基本概念。2、熟悉有关圆幕定理的相关题型，出题形式与解题思路。3、能够用自己的话叙述圆幕定理的概念。4、通过课上例题，结合课下练习。掌握此部分的知识。学习内容一、相交弦定理相交弦定理（1）

8、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）.4/七7几何语言：若弦 AB、CD交于点P,则PA?PB=PC?PD （相交弦定理）/ / 乱（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成CIJ的两条线段的比例中项.1几何语言：若 AB是直径，CD垂直AB于点P,则PC2=PA?PB （相交弦定理推论）.? 基本题型：【例1】（2014秋?工阴市期中）如图，。的弦AB、CD相交于点P,若AP=3,BP=4, CP=2, WJ CD 长为（）'"*i）A. 6 B. 12 C. 8 D.不能确

9、定【考点】M7:相交弦定理.【专题】11 :计算题.【分析】 由相交线定理可得出 AP?BP=CP?DP,再卞据AP=3, BP=4, CP=2,可得出PD的 长，从而得出CD即可.【解答】 解：AP?BP=CP?DP,. pd=AP-BP CP. AP=3, BP=4, CP=2, PD=6 , .CD=PC+PD=2+6=8.故选C.【点评】 本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等.【练习1】（2015浦长区一模）BC=3,点E为BC上一点, 的长为（）如图，矩形ABCD为。O的内接四边形，AB=2 , 且BE=1,延长AE交。O于点F,则线段AFAE,再由相交

10、弦定理求出 EF,即可得出AF的长.A.B, 5 C.巫+1【考点】M7:相交弦定理.【分析】由矩形的性质和勾股定理求出 【解答】 解：二四边形 ABCD是矩形,AE=而后=Ti再的， BC=3 , BE=1 , CE=2 ,由相交弦定理得： AE?EF=BE?CE,匚匚BE-CB式2| 5V5|EF=杷=近=k' .AF=AE +EF=“；|5故选：A.【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相交弦定理；熟练掌握矩形的性质和相交弦定理，并能进行推理计算是解决问题的关键.? 综合题型【例2】（2004?哥州）如图，AB是。的直径，M是。上一点，MN XAB ,垂足为N. P、Q分别是菽

11、、氤上一点（不与端点重合），如果/ MNP=/MNQ ,下面结论：/ 1 = /2;/ P+Z Q=180° ;/Q=/PMN ;PM=QM ;mn2=pn?qn.其中正确的是（）A.B,C. D.【考点】M7:相交弦定理；M2:垂径定理；M4:圆心角、弧、弦的关系； M5:圆周角定 理；S9:相似三角形的判定与性质.【专题】16 :压轴题.【分析】根据圆周角定理及已知对各个结论进行分析，从而得到答案.【解答】解：延长MN交圆于点 W,延长QN交圆于点E,延长PN交圆于点F,连接PE, QF. / PNM= / QNM , MN XAB,1 = /2 （故正确）， / 2与/ ANE

12、是对顶角， ./ 1 = Z ANE , AB是直径， .可得 PN=EN ,同理NQ=NF , 点 N 是 MW 的中点，MN?NW=MN 2=PN?NF=EN?NQ=PN?QN （故正确）, .MN : NQ=PN : MN , . / PNM= / QNM , . NPMA NMQ , ，/Q=/PMN （故正确）.故选B.【点评】 本题利用了相交弦定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理求解.? 与代数结合的综合题【例3】（2016钟山市模拟）如图，正方形ABCD内接于。，点P在劣弧AB上，连接DP,交AC于点Q.若QP=QO,则譬的值为（A. |2V3-1| B. 2V3 C.距m D

13、.如+2【考点】M7:相交弦定理；KQ:勾股定理.【专题】11 :计算题.【分析】 设。的半径为r, QO=m ,则QP=m , QC=r+m, QA=r - m.利用相交弦定理，求 出m与r的关系，即用r表示出m,即可表示出所求比值.【解答】 解：如图，设。的半径为r, QO=m ,则QP=m, QC=r+m, QA=r m.在。O中，根据相交弦定理，得 QA?QC=QP?QD.22T -TT| 即（r-m） （ r+m） =m?QD,所以 QD=.连接DO,由勾股定理，得 QD2=DO2+QO2,ID即（ 解得所以，-二QA 嘲3一1故选D.【点评】本题考查了相交弦定理，即 圆内两弦相交于

14、圆内一点，各弦被这点所分得的两线 段的长的乘积相等熟记并灵活应用定理是解题的关键.需要做辅助线的综合题【例4】（2008秋明州期末）如图，O O过M点，。乂交。0于人，延长。O 的直径AB交。M于C ,若AB=8 , BC=1 ,则AM=.【考点】M7:相交弦定理；KQ:勾股定理；M5:圆周角定理.【分析】 根据相交弦定理可证 AB?BC=EB?BF= ( EM +MB ) ( MF - MB ) =AM 2 - MB 2=8 , 又由直径对的圆周角是直角，用勾股定理即可求解AM=6 .【解答】 解：作过点M、B的直径EF,交圆于点E、F,贝U EM=MA=MF ,由相交弦定理知， AB?BC

15、=EB?BF= (EM+MB) ( MF - MB ) =AM 2 - MB 2=8,.AB是圆O的直径，/ AMB=90 ,由勾股定理得， AM 2+MB 2=AB 2=64 ,.AM=6 .【点评】 本题利用了相交弦定理，直径对的圆周角是直角，勾股定理求解.二、割线定理割线定理割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积 相等.几何语言： PBA , PDC是。的割线PD?PC=PA?PB (害U线定理)由上可知：PT2=PA?PB=PC?PD.? 基本题型【例5】(19980召兴)如图，过点P作OO的两条割线分别交。O于点A、B和点C、D,已知PA=3,

16、 AB=PC=2,贝U PD的长是()A. 3 B. 7.5 C. 5 D. 5.5【考点】MH :切割线定理.【分析】由已知可得PB的长，再根据割线定理得【解答】解： PA=3, AB=PC=2 ,PA?PB=PC?PD即可求得PD的长.PB=5,. PA?PB=PC?PD,.PD=7.5,故选B.【点评】主要是考查了割线定理的运用.【练习2】（2003次津）如图，RtAABC中，/ C=90 , AC=3, BC=4,以点C为圆心、CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E.求AB、AD的长.【考点】MH ：切割线定理；KQ：勾股定理.AB的长;【分析】RtA ABC中，由勾股定理可直接求

17、得延长BC交。C于点F,根据割线定理，得 BE?BF=BD?BA ,由此可求出 BD的长，进而可 求得AD的长.【解答】 解：法1:在RtAABC中，AC=3, BC=4 ;根据勾股定理，得 AB=5 .延长BC交。C于点F,则有：EC=CF=AC=3 （0C 的半径），BE=BC - EC=1 , BF=BC+CF=7; 由害U线定理得，BE?BF=BD?BA ,于是BD=所以 AD=AB - BD=萼;法2:过C作CM ±AB ,交AB于点M ,如图所示,由垂径定理可得 M为AD的中点，.Sabc=LaC?BC，AB?CM ,且 AC=3, BC=4 , AB=5 ,22.3二笔

18、，, 一ccc一c在RtAACM中，根据勾股定理得：AC2=AM 2+CM2,即9=AM 2+ （华52,解得：AM=.AD=2AM=【点评】此题主要考查学生对勾股定理及割线定理的理解及运用.? 综合题型【例6】(2015弑汉校级模拟)如图，两同心圆间的圆环的面积为圆上任意一点P作大圆的弦AB,则PA?PB的值是()16九，过小A. 16 B. 16 兀 C. 4 D. 4 几【考点】MH :切割线定理.【分析】过P点作大圆的直径 CD,如图，设大圆半径为 R,小圆半径为r, 理得到 PA?PB= (OC-OP) ? (OP+OD) =R2- r2,再利用 兀 B2 - nt 2=16 兀得到

19、 以 PA?PB=16.【解答】 解：过P点作大圆的直径 CD,如图，设大圆半径为 R,小圆半径为 pa?pb=pc?pd,根据相交弦定R2- r2=16,所r,PA?PB= (OC - OP) ? (OP+OD)=(R r) ( R+r)=R2 - r2,两同心圆间的圆环(即图中阴影部分)的面积为16兀,. 兀 R2 nt2=16 Tt,R2- r2=16, .PA?PB=16.故选A .【点评】本题考查了垂径定理： 平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了相交弦定理.【思考】观察讲义课后练习最后一道题，是否有思路？三、切割线定理切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的两条割线

20、，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的 积相等.几何语言：户q.PBA, PDC 是。的割线PD?PC=PA?PB （害U线定理）由上可知：pt2=pa?pb=pc?pd.田【例7】（2013所泊区二模）如图，PA为。的切线，A为切点，。0的割线PBC过点。与。分别交于B、C, PA=8cm, PB=4cm,求。的半径.【考点】MH :切割线定理.【专题】11 :计算题.【分析】 连接OA,设。的半径为rcm,由勾股定理，列式计算即可.【解答】解：连接OA,设。O的半径为rcm, （2分）贝U r2+82= （r+4） 2, （ 4 分）12/22解得r=6,，。O的半径为6cm. ( 2

21、分)25 / 22【点评】 本题考查的是切割线定理，勾股定理，是基础知识要熟练掌握.【练习3】(2013秋防台市期中)如图，点P是。直径AB的延长线上一点,PC切。于点C,已知OB=3, PB=2.则PC等于()A. 2 B. 3C. 4 D. 5【考点】MH :切割线定理.【专题】11 :计算题.【分析】根据题意可得出PC2=PB?PA,再由OB=3, PB=2,则PA=8,代入可求出PC.【解答】解：.PC、PB分别为。的切线和割线，. PC2=PB?PA,. OB=3, PB=2,PA=8,PC2=PB?PA=2X 8=16, . . PC=4.故选C.【点评】本题考查了切割线定理，熟记

22、切割线定理的公式pc2=pb?pa.四、切线长定理切割线定理(1)圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这 点到圆的切线长.(2)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角.(3)注意：切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.(4)切线长定理包含着一些隐含结论：垂直关系三处；全等关系三对；弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到.【例8】（2015臻皇岛校级模拟）如图，一圆内切四边形 ABCD,且BC=10,AD=7,则四边形的

23、周长为（）A. 32 B. 34 C. 36 D. 38【考点】MG:切线长定理.【分析】根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长.【解答】 解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长 =2X （7+10） =34.故选：B.【点评】此题主要考查了切线长定理，熟悉圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等是解题关键.【练习4】（2015?&池县模拟）如图，PA, PB切。于A, B两点，CD切。O 于点E交PA, PB于C, D,若。的半径为r, PCD的周长为3r,连接 OA, OP,则器的值是（）D.【

24、考点】MG:切线长定理；MC:切线的性质.【分析】利用切线长定理得出 CA=CF , DF=DB , PA=PB ,进而得出PA二r,求出即可.2【解答】 解：PA, PB切。于A, B两点，CD切。O于点E交PA, PB于C, D,.CA=CF, DF=DB , PA=PB, .PC+CF+DF+PD=PA=PB=2PA=3r ,，,I 乱r 9则罚的值是：=-1.2 故选：D.PA的长是解题关键.【点评】此题主要考查了切线长定理，得出【例9】（2014秋?夏津县校级期末）如图，P为。外一点，PA, PB分别切。O于A, B, CD切。O于点E,分别交PA, PB于点C, D.若PA=5,则

25、4 PCD的周长和/ COD分别为（）A. 5, y (90。+/ P)B. 7, 90T【考点】MG:切线长定理.C. 10, 90-Z P D. 10, 904/P【分析】根据切线长定理,即可得至|J PA=PB , ED=AD , CE=BC ,从而求得三角形的周长 =2PA ;连接OA、OE、OB根据切线性质，/ P+/AOB=180 ,再根据CD为切线可知/ CODAOB .【解答】 解：: PA、PB切。O于A、B, CD切。O于 巳 .PA=PB=10, ED=AD , CE=BC; . PCD 的周长=PD+DE+PC+CE=2PA,即 PCD 的周长=2PA=10,;如图，连

26、接OA、OE、OB.由切线性质得， OAPA, OBXPB, OEXCD, DB=DE , AC=CE , ,. AO=OE=OB ,易证AOCEOC (SAS) , EODABOD (SAS),/ AOC= / EOC, / EOD= / BOD ,/ COD= ，/AOB=180 -/P,，/COD=90 - -ZP.2【点评】本题考查了切线的性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题，是基础题型.五、圆哥定理请尝试解出下列例题:【例10】（2005联州）如图，在直彳全为6的半圆A&上有两动点M、N,弦AM、BN相交于点P

27、,则AP?AM+BP?BN的值为.【考点】M7：相交弦定理；KQ：勾股定理；M5：圆周角定理.【专题】16 :压轴题；25 :动点型.【分析】连接AN、BM ,根据圆周角定理，由 AB是直径，可证/ AMB=90 ,由勾股定理 知，BP2=MP2+BM2,由相交弦定理知， AP?PM=BP?PN,原式=AP (AP+PM) +BP (BP+PN) =AP2+AP?PM+BP2+BP?PN=AP2+BP2+2AP?PM=AP2+MP2+BM 2+2AP?PM=AP2+ ( AP +PM ) 2=ap2+am 2=AB2=36.【解答】解：连接AN、BM, AB是直径， / AMB=90 . .B

28、P2=MP2+BM2 .AP?PM=BP?PN原式=AP (AP+PM) +BP (BP+PN) =AP2+AP?PM+BP2+BP?PN=AP2+BP2+2AP?PM=AP2+MP2+BM 2+2AP?PM=BM 2+ (AP+PM) 2=BM 2+AM 2=AB 2=36 .【点评】 本题利用了圆周角定理和相交弦定理，勾股定理求解.以上四条定理统称为圆幕定理。（部分参考书以前三条为圆幕定理）圆幕定理：过平面内任一点P （P与圆心。不重合）做。O的（切）割线，交。与点A、B,则恒有PA PB OP2 r2。（ “ OP2 r2 ”被称为点P到。O的幕。）PracticeSTEP 3:落实巩固

29、一一查漏补缺理念：找到自己本节课的薄弱环节。STEP 4:总结理念：本结课复习了什么？学到了什么?方法：学生口述+笔记记录。STEP 5:课后练习一.选择题（共5小题）1.如图所示，已知。中，弦AB, CD相交于点P, AP=6, BP=2, CP=4,则PD的长是（）A. 6 B. 5 C. 4 D. 3【分析】 可运用相交弦定理求解，圆内的弦AB, CD相交于P,因此AP?PB=CP?PD,代入已知数值计算即可.【解答】 解：由相交弦定理得 AP?PB=CP?PD,. AP=6, BP=2, CP=4,PD=AP?PB + CP=6 X 2 + 4=3 .故选D.【点评】本题主要考查的是相

30、交弦定理圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等2 .。的两条弦 AB与 CD相交于点 P, PA=3cm PB=4cm PC=2cm 贝U CD=(A. 12cm B. 6cm C. 8cmD. 7cm【分析】根据相交弦定理进行计算.【解答】 解：由相交弦定理得： PA?PB=PC?PD,. DP=PA,FB = u> 4=6cm CD=PC+PD=2+6=8cm .故选 C. PC 2【点评】本题主要是根据相交弦定理圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算.3 .如图，。O中，弦AB与直径CD相交于点P,且PA=4, PB=6,

31、PD=2,则OO的半径为（A. 9 B. 8 C. 7 D. 6【分析】 根据相交弦定理得出 APXBP=CPXDP,求出CP,求出CD即可.【解答】 解：由相交弦定理得：APXBP=CPXDP,PA=4 , PB=6 , PD=2 ,1 .CP=12,2 .DC=12+2=14,.CD是。O直径，3 .O O半径是7.故选C.【点评】 本题考查了相交弦定理的应用，关键是能根据定理得出AP x BP=CP X DP.4.如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2, AB是。的切线，B是切点, 弦BC / OA ,连接AC ,则阴影部分的面积等于（）【分析】连接OB, OC,易证： BOC是等边

32、三角形，且阴影部分的面积 =ABOC的面积, 据此即可求解.【解答】解：连接OB, OC,. AB是圆的切线，/ ABO=90 ,在直角 ABO 中，OB=1 , OA=2 ,/ OAB=30 , / AOB=60 ,1. OA / BC, . / COB= / AOB=60 ,且 S=Saboc , . BOC是等边三角形，边长是 1 ,S阴影部分【点评】本题主要考查了三角形面积的计算，以及切割线定理，正确证明 角形是解题的关键.BOC是等边三5.如图，PA, PB分别是。的切线，A, B分别为切点，点E是。O上一点,且 / AEB=60 ,则 / P 为（A. 120° B. 6

33、0° C. 30° D. 45°【分析】 连接OA, BO,由圆周角定理知可知/ AOB=2 ZE=120° , PA、PB分别切。O于点 A、B,利用切线的性质可知/ OAP= Z OBP=90° ,根据四边形内角和可求得/ P=180°- Z AOB=60° .【解答】解：连接OA, BO; . / AOB=2 / E=120° ,/ OAP= / OBP=90 , ./ P=180° - / AOB=60 . 故选B.【点评】 本题考查了切线的性质，切线长定理以及圆周角定理，利用了四边形的内角和为

34、360度求解.二.解答题（共3小题）6.如图，P为弦AB上一点，CPLOP交。于点C, AB=8 ,国-乌，求PC的PB |3|长.PB=4aB=6 .再根据相交弦定理得出4于D,由垂径定理可知 CP=DP,由AB=8=y ,得至ij AP= AB=2 ,PC?PD=AP?PB,代入数值计算即可求解.【解答】解：如图，延长CP交。于D.1 .CPXOP,AB、CD是。O的两条相交弦，交点为 P,2 .PC?PD=AP?PB,3 .PC2=2X6,PC=2 代.【点评】本题考查了相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.同时考查了垂径定理，准确作出辅助线是解题的关键.7.如图，AB, BC, CD 分别与。相切于 E, F, G,且 AB /CD, BO=6cm, CO=8cm.求 BC 的长.【分析】根据切线长定理和平行线的性质定理得到BOC是直角三角形.再根据勾股定理求出BC的长.【解答】解：.AB, BC, CD分别与。O相切于E, F, G; / CBOJ / ABC , / BCO=L / DCB ,221. AB / CD, ./ABC+/ DCB=180 , ./CBO+/ BCO= Z ABC + Z DCB= （/ABC + /DCB） =90