二次函数动点专题教案

1、二次函数与图形综合之动点问题1.三角形题型(存在性问题、最值问题)【例11 (2019黯禺区一模)如图，抛物物 y=ax2过点(-a , 2),点P (h,k)是抛物线上在第一象限内的动点. 连结OP,过点O作OP的垂线交抛物线于 另一点N,连结PN,交y轴于点M,作PA，x轴于点A, NB，x轴于点B.(1)求a的值，写出抛物线的对称轴；(2)如图，当h=J万时，在y轴上找一点C,使AOCN是等腰三角形，求点C的坐标；【解答】解：(1) ;抛物线y=ax2过点(-，W, 2),2=a(-J2)2, a=1,抛物线y=x2对称轴为y轴.(2)当h母时,P (五，2),v PO± ON

2、, .PON=90 ,v PAXx 轴， ./ PAO=90 ,同理/ NBO=90 .由题意可得：PA=2, OA= 2设 N (n, n2), /POA=,贝U/NOM=g0 -/MOP=/POA=,丁. / BNO=90 - / NOB= / NOM =,要使 9c N为等腰三角形，只需 ON=OC或者CN=OC或者ON=CN ,当 ON=OC 时，点 C 的坐标为 C1(0, ), C2(0,- ),22当ON=CN时，由对称性可得，点 C的坐标为C3 (0, 1),当CN=OC时，可得点C的坐标为C4(0,-).4【例2】(2019深圳南山外国语月考)如图1,已知抛物线y=ax2-2

3、ax+4与x轴交 于A、B两点，与y轴交于点C,且OB=OC.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P是线段AB上的一个动点(不与A、B重合),分别以AP、BP为一 边，在直线AB的同侧作等边三角形 APM和BPN,求4PMN的最大面积,并 写出此时点P的坐标；(3)如图2,若抛物线的对称轴与x轴交于点D, F是抛物线上位于对称轴右侧 的一个动点，直线FD与y轴交于点E.是否存在点F,使 DOE与八AOC相似？ 若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.叫n?解：(1)令 x=0 得，y=4, a C (0.4), .OB=OC=4,B (4.0),代入抛物线表达式得：16a-8a+4=

4、0,解得a=-0.5,.二抛物线的函数表达式为y=-0.5x2+x+4(2)如图2,过点M作MGx轴于G,过点N作NH，x轴于H,EWIWcy-+x-l Ai-2:0l t.虺K =1时，善有最大值是地/. -PMN的看大国n星：,it时点尸的坐标是(L0),(3 有在点F 使得-DOE与0C自以.有两种可能情兄；0_DOESaAOC 0DOES=Ct>4 日抛物线y=-* + k + 4渴：A(-L0 ，时箭触为直型 =1 . /. 0A = 2 , 0C = 4 , QD = 1 ,出者-DOES.AOC1 0E "24 1解得OE =2 f八忘E B3(0r2i sJEl

5、O-2),若息E的坐标是*0l.则直线DE ±r: y - -lx+2 r' y - -2x+2好方程组1 , 一y = -i' +x+lI k = 3 -I x. -. = 3 y/1潺：，j-,'厂(不合题意，舍去)|yL -4-2<n%= 7 +此时蓄足条件的点E的坐标为(3+而，-4一：41),若总E的坐标是电一二)r同理可求得满足条件的虚F：的坐标为1十病，-"二阜I ,若.DOESiCOA ,后J37+P冏理也可求噂就足条件的点E的坐标为 一、y,/St I 1._ 1 !|滴是条件的点耳的坐标为："r;广 ，写上所述,存

6、在廉足第件的克F 克户的里标为：均计历一屈)可-1 +店-3+工呵、与1)福与二一牛*'I1JI - 口【例3】如图，二次函数y=ax2+bx+c (a>0)图象的顶点为D,其图象与x轴的 交点A, B的横坐标分别为-1, 3,与y轴负半轴交于点C.(1)下列结论：2a-b=0; a+b+c>0;c=-3a；其中正确的是;(2)若4ABD是等腰直角三角形，求a的值.JL(1)冒9»与丽)交点A rR的催坐标分别为-1,3 .'hAE=4 ,bla即2cb=口、故错误;1当x = l时，尸 0 r 即白+b*s%:标为(A, 0) r，立SuO .而b= h

7、 1S+2a+e=0 . SJd='3a r 故正确 r故谷喜为；(21如图.作DE _ AB于点E rAB k 3 -171 = 4 (v ABC是零腹点用三能开"上 DEAB = 2 就D的坐标是 L-口，5W式是丫=或每一一二，JE(-V0l KA»4a-i=0 .1解蹲3=:，【解析】【例5】物线y=【例4】二次函数y=2x2+4x+m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,若ABC 为直角三角形，则m=.,点A的坐标为(勺，Q ),而由泗S为x2,0 ).虎岛在成国0蚯边.二念(Orm) t=雷邺=或*4x+e =2(j(记产+m-2 jin 工烹匚在渊的负

8、半轴p、,二 ¥ .3 rH 看0 t>AEU为亘丽三能格r二位2Tl,尸二8，*«)+仅，*«，如图，抛解得F m=- - . 故智至为-W .-2x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且0A=2, OC=3.(1)求抛物线的解析式；(2)已知抛物线上点D的横坐标为2,在抛物线的对称轴上是否存在点 P,使 得4BDP的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)-0.4=2 r点H的坐标为(-1。).J OC = 3 ,10 = 2 ，6 + c二点C的坐标为电V把(一)。)J&3)代入J=Y十斯，得,J= 3解

9、得- 2 .号 C = J.1 , 1.二抛物线的解析式为1-.TT+-X+S .把？=。代入j =蟀得过=一二r壬=3 ,二点与的坐标先工01 . JSZ)的横线生际为二171二一三乂工二十亍二+3 = 2的坐之之).E 曹设 F 星岫上的一点口庄接 户上.P斡- PA = PB .二SBDP的周快等于BD +尸H + PD .SL*/SD的归息豆值.二点W . F、D 在同一M线上时r NBD产的周氏重小，日 Hfj、-：0|可得直送.3 60解衍式为？=工十1-岫物线的对称西是十=3 .二点产的生标为二标;*41 q在曲枷法的对存轴上有在/存尸 彳彳 ,使得口z尸 的更长信小2.四边形题

10、型(存在性问题、最值问题)【例11如图，直线y=kx+2与x轴交于点A (3, 0),与y轴交于点B,抛物线?= - 4?+ ?经过点 A, B.3(1)求k的值和抛物线的解析式；(2) M (m, 0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛 物线分别交于点P, N .若以O, B, N, P为顶点的四边形是 平行四边形时，求 m的值；【解答】(1)解：把？(3, 0)代入？?= ? 2中得：0 = 3?+ 2, ?= - 2,3;直线？附解析式为：?= - |?H 2, 3：? (0, 2),把？(3, 0)和？(0, 2)代入抛物线？?= - 4?+ ?中， 3则- 4X3

11、2+ 3?+ ?= 0,?= 210解得：?= 5,?= 2;二次函数的表达式为：？?= - 4?+?？?+ 2;(2)解：设？(？?，0),贝1？(？?，- |?+ 2) , ? (?, - g?2 + £?+ 2), 有两种情况：当？花？勺上方时，如图1,:? ?- ?= (- 4+ ,？?+ 2) - (- 2?+ 2)= 333-4?2+ 4?,由于四边形？?W行四边形得：？? ? 2,.- 4?2+ 4?= 2,解得：？=噌一, 322当？花？?勺下方时，同理可得：？= (- 2?+ 2) - (- 4?2 + ?+ 3332) = 3 ?2 - 4?,解得：?=手或三要，

12、综上，?=宁或3K ；【例2】(2019府洲区模拟)如图1,将抛物线Pi： yi =1x-3右移m个单位长 3度得到新抛物线P2: y2=a (x+h) 2+k,抛物线Pi与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,抛物线P2与x轴交于Ai, Bi两点，与y轴交于点Ci.(1)当 m=i 时,a=, h=, k=；(2)在(i)的条件下，当yi<y2V0时，求x的取值范围;(3)如图2,过点Ci作y轴的垂线，分别交抛物线 Pi, P2于D、E两点，当四 边形AiDEB是矩形时，求m的值.【解答】解：(i)二抛物线Pi： y1x2!右移m个单位长度得到新抛物线解3(x-m) 2-3i ,、 22

13、 . i析式为：y2= - (x-m) 2-3 /. y2=a (x+h) 2+k=-33又. m=i . h=-m=-ii故答案为：,；-i, -33i2(2)二,当 y2=- (x-i) -3=0 时，解得：xi= -2, x2=4 3由图象可知，当-2<x<4时,y2<0、r.i i O ii当 yi=y2 时，-x?-3=- (x-i) 2-3 解得：x=-332i 一由图象可知，当x<时，yi<y22i 当yi<y2<0时 x的取值氾围是-2<x< -2i 2(3)当 yi= -x2-3=0 时，解得：x= . .A (-3, 0

14、) , OA=3 3根据平移性质得：AA i=DCi=mV 四边形 AiDEB 是矩形 . / AiDE=/ DAiB=90°四边形 AiDCiO 是矩形.OAi=DCi=m . OA=AA i+OAi=2m=33m= 【例3】(2019水泊区一模)如图，已知二次函数 y=ax2+2x+c的图象经过点C(0, 3),与x轴分别交于点A,点B (3, 0),点P是抛物线上一动点.(1)求二次函数y=ax2+2x+c的表达式.(2)若点P在直线BC上方的抛物线上运动，当 APBC的面积最大时，求出P 点的坐标和最大面积.(3)连接PO, PC,并把POC沿y轴翻折，得到四边形POP C.

15、若四边形POP C 为菱形，求出此时点P的坐标.【解答】解：(仔：j解得：c=3一二次函数的表达式为y=-x2+2x+3.(2)过点P作PD，x轴于点D,如图1所示.设点P的坐标为(x, -X2+2X+3) (0<x<3),则点D的坐标为二 SZPBC=S 梯形 ODPC+SzPBD-SzOBC ,(X, 0),=1 ( OC+PD OD-PDBD-GC*OB r 222=yX3-|- ( F+lr+m ) *x+ ( i2+2r+3 ) ( 1r ) 。士工3-尸 4 _# = 222当x=3 ,即点P的坐标为(3,15 ) , APBC的面积取得最大值,22 4PD B 却XA

16、f 0最大值为召。833当y二彳时,-父+ 2m+3=,.2+v/To 3-2- f 2图2 B(3) :四边形POP C为菱形，.二PPL OC,且PP, OC互相平分.3 ，一 又丁点C的坐标为(0, 3) , 直线PP的表达式为y=,如图2所小.2二点尸的坐标为(【例4.如图，已知二次函数y=x2+bx的图形经过点A ( 4, 0),顶点为B,1一次函数y=- x+2的图像父y轴与点M, P是抛物线上一点，点M关于直线AP的对称点N恰好落在抛物线的对称轴直线 BH上(对称轴直线BH与x轴交于点 H).(1)求二次函数的表达式；(2)求点P的坐标；(3)若点G是第二象限内抛物线上一点，G关

17、于抛物线的对称轴的对称点是 E, 连接OG,点F是线段OG上一点，点D是坐标平面内一点，若四边形BDEF是 正方形，求点G的坐标.【解析】(1)把点？(一4, 0)代入？?= 2?+ ?解：？?= ?+ 2?(2)解：M (0, 2)设 N (-2, t),由题意可知 AN=AM ,则 AN 2=AM2 16+t2=16+4,则 t= % 当 t=4 时 Ni (-2, 4)，设 Pi (m, 0.5m2+2m),根据 PiN2=PiM2, 求出P1当 t=-4 时，N2 (-2, -4),设 P2 (m, 0.5m2+2m),根据 P2N2=P2M2,求出 P2 ? (2, 6) , ? (

18、- I，- .);(3)解：设点 G(m, 0.5m2+2m),点 E(-4-m, 0.5m2+2m) Iog： y= (0.5m + 2)x,把点 F (- 4, 0.5m2 + 2m - 2)代入得-2 或-6, , ?( 6, 6);【例5】(2018甘肃中考)如图，已知二次函数=ax2+2x+c的图象经过点C (0, 3), 与x轴分别交于点A,点B (3, 0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点.(1)求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；(2)连接PO, PC,并把POC沿y轴翻折，得到四边形POP A若四边形POP'C为菱形，请求出此时点P的坐标；(3)当点P运动到什

19、么位置时，四边形 ACPB的面积最大？求出此时P点的坐 标和四边形ACPB的最大面积.(1)持点为和点c的坐标代入曲甥峰忻式.僵9口十6十c = 0' c - 3ra-3 = 3=二次的数的好忻式为产- - 293 ；(2 )石四织POP亡为费形，则点P在税段CC的垂直平分线上 如阁,连接PP ,则PEJX。，垂是为E .七(。13 ).f I 二E一 T, U ' 7 IL J，点P的孰坐标:,33当J二：时，国，一2工+3=( ."产一】一晒 干_ :一f工冬药白 金1Mrhw 1” = 1 a H： =a (. SJ J t F回 3二点p的坐标为 一：r ff

20、 I .上，升(e. - rr?+2m+3 ).设宣线K的解析式为尸kx,b r将点B和点匚拒坐标ft入函哂析式涔3*+3 =0b = 3t；走=-1解得b 3.直统BC的碍析为y= 7+3 .设点 为(m , - m+3 ) rPQ= = m + 2m+3 - f - m+3 ) = = m工+3m .当y=0时,-2*3=0 F解湿肛=- 1 t X2=J OA=1 rH 也可 XSPC = 5-ABC 0 yzp RQ= -AB OC¥-PQ OF ¥-PQ FHl *=ix 4 x3 + A(-7* -3w |x 3,当E三；时，四边形禽BPC的面用最大. 一S 一

21、 口 15当m=；时，-也.十：桁十3二1.即P总的坐叱(3 15J75当点P的坐标力 千了 时，四边形MPB的最大面职值力5 .【例6】(2013中考)如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、31C分别是一次函数y=4X+3的图象与轴的父点，点B在二次函数y=F2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点 D使四边形ABCD能构成平行四边形。(1)试求b, c的值，并写出该二次函数表达式；(2)动点P从A到D,同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：当P!动到何处时，有PQ±AC?当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少?

22、所以京C (4f 0).>+鲜二(1)= h + 5 -冬=。，所以3(0,3)；和=。，酿=4FABC是以其为庙边的噂膝三角形一也点坐标为1 - 4 ,。)*又；四通形ABC 口是平行四边用，"口点坐标方(8,3),行京B-419 L 京D 8 , 3 J代入二次图跖=x: +bx + c,可得(2 -+h-K = fl3十电十f = 3 1 L = _竺读二欠题初淅式为：¥ = # -3一九(2 ) ®nMP 运动了 tfeW r PQ±AC ,的AP7,CQ-t , AQ=5 -t rVPQXAC, AKj"iCAOP AS=S .

23、醒=T.解IS ：=芍，0DW点P运动到距离削唁作岫长度处,有PQ_LAG©'.坛6：9 * *£由二5皿口 .且粗但三:方乂占-山,.' *、APQ的面身八时(四叶PD匚Q的面用量小,n切点FWSfltt!/ r 或P=1 r CQ-T , AQ-S-1 rifi-RPC底二AP上伯哥为十.作QH_LAJd京H史小QMCAQ可号r ：h = |15-1J .Y 专一小+匍= 一)-1+.；a=！豺，占:AP：达于JBW：5t ,摩也.皿内士一六笆 bps动到由点耳十单j史旺丁,四边力pikqk总岷小,e-aV.1) 丽一仪mFtfr式印出由A ,总睦标,再

24、用-人人黑黑二彩彤可求世点懒睡，WtrESliEU 字弄金至口,米包匕a岸.以桁问n二;丁独歌去谪式.【2 )爸P再比了用打 PQ±C . limAP-1 . CQir .被二5 t . HEfi-APQ-CAO Jl用加就加 P的M.0口加=屈加)而事晕大.虱馨胃鹿盹崎口CQ43面藤睡小.盘川飞看也阳上g知r gH，A( 对应迪刚甫阀出3中但C .从而表示dJMPQBQ航程侬式 利用际法事出Q也.即可蹲出四边 P明司孟，3.圆形题型【例1】(2018%迁)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y (x a)(x 3)(0 a 3)的图象与x轴交于点A、 B （点A在点B的左侧），与y轴

25、交于点D ,过其顶点C 作直线CP x轴，垂足为点P ,连接AD、BC .（1）求点A、B、D的坐标;(2)若AOD与BPC相似，求a的值;（3）点 D、O、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由.【解】：（1） Q y(x a)(x 3)(0 a3) ，A(a,0) , B(3,0)当x 0时,D(0,3a) ； (2) Q A(a,0) , B(3,0),对称轴直线方程为:当x 3/时，y（3底）2，c（3/，（u2），PB3 ax .2:pc(f，若 AODs BPC 时，贝(J AO DO,即a BP CP 2 3 a 32(3a3 a 2)2解得a 3 （舍去）；若

26、AODs CPB时，则AOCPDOPB即- (a3 a )22解得a 3 a 233 a 2 23232（2 丁（2a（丁）（23）（-a 0），整理，得a4 14a2 45 0,所以（a2 5）（a2 9） 0,解得a 娓,a2 &（舍），a3 3 （舍），a3 （舍）， （舍去）或a 7 .所以a的值是7.（3）能.理由如下：联结BD ,取中点MQD、O、B在同一个圆上，且圆心 M33为（万 ，-a）. 若点 C 也在圆上， 则 MC MB . 即【例2】(2018无锡模拟)如图，二次函数 y=ax2+bx+c的图像交x轴于A (-1, 0), B (2, 0),交 y 轴于 C (0,-2),过 A.C 画直线.(1)求二次函数的解析式；(2)点P在x轴正半轴上，且 PA=PC,求OP的长；(3)点M在二次函数图像上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H. 点M在y轴右侧，且 CHMAAOC (点C与点A对应)，求点M的坐标； 若。M的半径为4,5,求点M的坐标。5麻：m ;二的敬上三or2中我一。的图像童工 渐于 O雷为；F =L分又二；火函数二公：十云十亡的图像交丁建于jfx=0ty=-2=MQ 4或。-2)解图.小2分五为一1. gp> = r-x-2$分(2)设。尸= *则4兄.上RrPOC 中,OP - tPC = V-1, OC