涉及到角平分线的全等

1、涉及到角平分线的全等内容基本要求略咼要求较高要求全等三角形了解全等三角形的概念，了解相似三 角形和全等三角形之间的关系掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用三角形全等的性质和判定解决简单问题会利用全等三角形 的知识解释或证明 经过图形变换后得 到的图形与原图形 对应元素间的关系例题精讲与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 它们具有互逆性.角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式:1.2.3.由角平分线上的一点向角的两边作垂线，过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形, OA

2、 OB，这种对称的图形应用得也较为普遍，A12-4涉及到角平分线的全等题库学生版page 23 of 13【例11C如图，已知 ABC的周长是21 , OB , OC分别平分 ABC和 ACB , OD BC于D，且OD 3 , 求ABC的面积.【例21在 ABC中，D为BC边上的点，已知 BAD CAD , BD CD，求证： AB AC .【例3】如图所示：AB AC，ADAE , CD、BE相交于点O .求证：OA平分【例4】已知 ABC中，AB AC ,BE、CD分别是 ABC及ACB平分线.求证:CD【例5】（2006年北京中考题）已知 于点0 ,ABC 中， A 60o, BD、试

3、判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.CE分别平分 ABC和 ACB，BD、CE 交【例6】如图，在证：FEABC中， B 60，AD、CE分别平分 BAC、 BCA，且AD与CE的交点为 F .求 FD .C【例7】如图，已知E是AC上的一点，又 134 .求证：ED EB 【例8】B（06北京中考题）如图所示，OP是 AOC和 BOD的平分线，OA OC , OB OD .求证:AB【例9】/C的平分线已知 ABC中，AB=AC GE过A且GE/ BC / B的平分线与 AC和GE分别交于 D, E, 与AB和GE分别交于F, G 求证 DE=FG【例10】（“希望杯”竞赛试题）长方

4、形ABCD中，AB=4, BC=7, / BAD的角平分线交 BC于点E , EF丄ED 交 AB 于 F，贝U EF= .【例11】如图所示，已知 ABC中，AD平分 BAC , E、F分别在BD、AD 上. DE CD , EF AC 求 证：EF/ AB【巩固】如图,于点ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF / AD交CA的延长线于点 F，交EF 若BG CF，求证：AD为 ABC的角平分线.AD , E为垂足，求证：AD DE .【巩固】在 ABC中，AB 3AC , BAC的平分线交 BC于D，过B作BE【例12】如图所示，AD是 ABC的角平分线，DE、DF分别是 AB

5、D和BAC等于.【例13】如图，已知 ABC 中，AD 平分/ BAC , AB=6 , AC=3 , / BAC=120。.求 AD 的长.【例14】（2000年南昌市中考题）如图，在 ABC中，BAC 90 , BD 平分 ABC交AC于D , AE BC于E交BD于G , FG / AC交BC于F ,连接DF .【例15】CACD 的高， DEF200，则（第十届“希望杯”数学竞赛 ）如图，如果一个三角形的两条角平分线又是它的两条高线，试判断这 个三角形的形状.已知 ABC中，AD,BE既是 ABC的角平分线，又是 ABC的高，试判断 的形状.ABC【例16】（北京市西城区2006年抽样

6、测试八年级（上）附加题，黄冈市数学竞赛试题）如图所示，在 ABC中,AD是 BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较 PB PC与AB AC的大小, 并说明理由.【巩固】在 ABC中，AB AC , AD是 BAC的平分线.P是AD上任意一点.求证： AB AC PB PC .【例17】如图，在 ABC中， BBAC的平分线 AD交BC与D .求证:【巩固】（2001年河南省中考题）在【巩固】如图，在 ABC中，ABAB BD AC .ABC 中，AD 平分 BAC , AB BD AC .求B: C的值.BD AC , BAC的平分线 AD交BC与D .求证：B 2 C .【

7、巩固】如图， ABC 中，AB AC , A 108 , BD平分 ABC交 AC 于 D 点求证： BC AC CD .【巩固】（“希望杯”培训题）如图， ABC中，/ A的平分线交BC于D, AB=AC+CD , / B=40°那么/ C 的大小是.【巩固】（“希望杯”试题）如图，在 ABC中，/ BAC= 90 ° / B=2/ C, D 若 AB= 1,则BD的长为【巩固】已知等腰ABC ,A 100 , ABC的平分线交AC 于 D，贝y BD【巩固】已知：在ABC 中,AB CD BD, AD BC ,求证： B 2 C【巩固】）如图，在直角 ABC中，/点在B

8、C上，AD平分/ BAC ,ADBAC= 90 °, AB=AC ,（天津市数学竞赛题作CE丄BD交BD的延长线于E,贝U BD与CE的大小关系是BD平分/ ABC交AC于D，【巩固】如图所示，在ABC中， A=100 0 ,DE=AD .求证：BC=AB+CEABC=40【巩固】（ 1998年“希望杯”第二试）如图，直角 于D，作CE BD交BD延长线于E , 关系是什么？ABC 中,作AH【例18】（2003年莆田市中考题）如图，在正方形ABCD中, 平分 DAE，求证：AE EC CD【例19】【例20】0 , BD是 ABC的平分线，延长 BD至E，使BAC 90 ,AB A

9、C,BD 平分 ABC交 AC BC于H，交BD于M，则BM与CE的大小F是CD的中点,E是BC边上的一点，且AF如图所示，在 ABC中，AD是 BAC的平分线，M是BC的中点，MECE 2 CD，求证 ACB 2 B.AD且交AC的延长线于E如图所示，在 ABC中，AC AB，M为BC的中点，AD是 BAC的平分线，若CF AD且交AD【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】的延长线于F，求证MF如图，已知在 ABC中,（04年山东中考题）AD是证：AF-AC AB .2ABC 3 C ,1ABC的角平分线，BE如图所示，且DE 12AD是 ABC中 BAC的外角平分线,(AB AC).（2

10、002全国初中竞赛）如图13-17, 上，并且AP ,BQ分别是 BAC ,如图所示，在ABC中，AD平分ABCF2 , BE AE .求证：AC AB 2BE AD交AD的延长线于 E , EF II AC交AB于F .求CCD AD于D , E是BC的中点，求证DE II ABBAC 60ABC 内，ABC的平分线.求证:ACB 40， BQ AQ ABP,Q分别在BC,CA BP .P'BAC , AD AB , CMAD 于 M，求证 AB AC 2AM C【例21】【例22】已知：AD和BE分别是 ABC的/ CAB和/ CBA的外角平分线， CDAD , CEBE，求证：如

11、图，ABC中，AB AC , BD、CE分别为两底角的外角平分线，AD BD于D , AE CE于E .求证：AD AE .DE / AB; DE 1 AB BC CA .2【例23】在ABC中,MB、NC分别是三角形的外角足分别是N .求证：MN / BC , MNABE、1 AB2【例24】在ABC中,MB、NC分别是三角形的内角足分别是N .求证：MN / BC , MNABC、1 AB2【例25】如图，在四边形 线时，有ADABCD中，AD / BC , A的平分线 BC AB.ACF的角平分线， AM BM , AN CN垂AC BCACB的角平分线，AMBM , ANCN垂AC B

12、CAMNAE交DC于E .求证：当BE是 B的角平分【例26】【例27】（北京市中考模拟题）如图，在四边形1AE （AB2AD），贝U ABC【例28】如图， A 探讨线段 探讨线段ABCD中，AC平分 BAD，过C作CEADC等于多少?D 180 , BE 平分AB、CD和BC之间的等量关系.BE与CE之间的位置关系.AB于E，并且ABC，CE平分 BCD，点E在AD上.1在 ABC中，CD、AE分别为AB、BC边上的高，/ B 60°，求证：de -AC .2【巩固】如图所示，AD 平行于 BC, DAE= EAB , ABE= EBC , AD= 4, BC=2,那么 AB=【

13、巩固】如图所示，在四边形ABCD中，AD II BC ,A的平分线AE交DC于E，求证：当BE是 B的平分线时，有AD BC AB.【例29】如图所示，在 ABC中,于E, FG平行于BACBC交AB于G.【巩固】如图所示，在 RtBC于G,在BC【例30】【例31】【例32】D900 , AD BC于D, BCA的角平分线交 AD与F，交AB AE=4 , AB=14，贝U BG=.C三角形ABC中，上取BE=CG，连接ED，证明:C 900,CH AB 于 H , AG 平分 BAC，交 CH 于 D，交CDE是直角三角形.（ 1999年镇江市竞赛题）如图，在 ABC中，分别作两角 B,

14、C的平分线BE,CF ,AG CF,AH BE，求证：ABC中，D为BC中点，DE证：BF CG .如图所示，BAC DAE 90GH /BC交CG,M是BE的中点，AB AC ,ADAE，求证 AM CD .【例33】如图，点M为正方形分线交于点N，此时【例34】【例35】【例36】EABCD的边AB （或BA）延长线上任意一点,MD与MN有何数量关系？并加以证明.MNDM且与/ ABC外角的平N）在 ABC , BAC 5.25 , AD是 BAC的平分线，过 A作DA的垂线交直 线BC于点M .若BM AB AC，试求 ABC和 ACB的度数.（北京市数学竞赛试题CiC1延长BC到A1,

15、 ABC与ACD的角平分线交于A，依次类推 A5大小.（理工附中0607学年下学期期中考试）在 ABC中， A 96°, 的角平分线相交于点 角平分线交于A5，求（初二第5届希望杯 交于 G，若 BDC 140°,ABC与 ACDA4BC 与 A4CD 的A21试）如右上图,BGCBF是 ABD的角平分线，CE是 ACD角的平分线, 110°，求 A的度数.BE 与 CF（06北京课改第23题）如图（1）所示,OP是/ MON的平行线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图（2）,在 ABC中，/ ACB是直角，/ B=60° AD、CE分别是/ BAC、/ BCA的平分线， AD、CE相交于点F .请你判断并写出 FE