向量的数量积——寻找合适的基底10

1、高考数学复习经典学案专题 附详解向量的数量积一一寻找合适的基底在高考中经常会遇到几何图形中计算某两个向量a,b数量积的问题，如果无法寻找到计算数量积的要素（4a,b模长，夹角）那么可考虑用合适的两个向量（称为基底）将a,b两个向量表示出来，进而进行运 算。这也是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法、基础知识:（一）所涉及的平面向量定理及数量积运算法则:1、平面向量基本定理：若向量e,e2为两个不共线的向量，那么对于平LIj面上任意的一个向量a，均存在唯对实数 2，使得 a = Aei + 2e2。其中e,e2成为平面向量的一组基底。（简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向量）2、向量数量

2、积运算da3 s o c 仙其中0为向量a,b的夹角3、向量夹角的确定：向量a,b的夹角日指的是将a,b的起点重合所成的角，日-10,兀其中日=0 :同向日=兀：反向心：丄:24、数量积运算法则:、.S .4 44 4(1 )父换律：a = b £(2)系数结合律：A (a b) = (入aba点 R)（3）分配律：（a+bHahb'C因为向量数量积存在交换律与分配律，才使得有些向量数量积运算的展开式与实数因式相乘的展开式规律相同:4 b+4 a彳2 片T斗2=a ±2a中b(a +b ) (a -b ) = 0L 卄屮 叫 ”片 弓 *1-r t5、：若 a =

3、Z G + 嘉 e2, b =片 e+#2，贝 0T4 镯 耐斗 呻2斗2时-a 'b =（打弓+扎202卜（卩心+ 4202 ）=打片e, +/2卩202 +（扎|卩2 +入2岀血 ©,b用基底表示出来,由此可见，只要知道基底的模与数量积，以及将 则可计算a b(二)选择合适基底解题的步骤与技巧:1、如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知，数量积可求呢？如果有，那就是它们了。所以在此类题目中首先可先确定 那些向量的数量积与模长已知。 常见的可以边所成向量作基底的图形 有：等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等。2、向量的表示：尝试所求数量积的两

4、个向量是否能被你所选中的基底进行表示，常用的方法有:(1) 向量的加减运算(2) “爪”字型图：在L ABC中，D是BC上的C点，如果BD : CD=m:n，贝JAD=AC+AB ,其中 AD,忒AC 知二可求一。特别的，如果ADm +nm +n是BC边上的中线，贝J AD=AC+-AB2 23、计算数量积：将所求向量用基地表示后，代入到所求表达式计算即可，但在计算过程中要注意基底的夹角 二、例题精炼例 1：如图，在 L ABC 中，N BAC =120aB =2,AC =1,D 是边 BC 上一点, rrrrT思路：AD, BC模长未知(BCCDC =2BD，贝J AD BC =夹角未知，所

5、以很难直接求出数量积。考虑是否有合适基底，ZBAC =120 AB =2, AC =1，可计算出 abtC =|ab| |Aqcos120' = 1 ,进而对 于 AB, AC , 模长均已知，数量积已求，条件齐备，适合作为基底。用 ab,aC 表示AD.BC: BC=ACABADJ7C +27B,T T T T f 1 T 2 T 二 AD -BC =(AC -AB )1 AC +ABI33答案：Ad.BC=-83例2：如图，已知在LABC中，AD丄AB,B =V3bD, ad'33_ 831 T21 T T 2T 2，则=1c求=AC + AB -AC AB 333AC -

6、AD =思路：观察条件，AC,AD很难直接利用公式解.考虑选择两个向量表示AC,AD ,条件中AD丄AB二AD ”AB = 0 （数量积有了），lAD卜1 （模长有了），所以考虑用AB,AD作为基底。下一步 只需将 7C 表示出来，bc=73bd= BD ： cd =1: （V3-1 ）（底边比值联想到“爪”字型图),解得：aC = 737d-(73-1 后V373所以 AC AD-Ad(731)AB)AD = 737d2 = V3答案：AC AD = 73对例3：在边长为1的正三角形ABC中，设BC =2BD,CA = 3CE，则思路：如图，等边三角形三边已知，夹角已知，由此于三边所成的向量

7、，两两数量积均可计算，所以考AD BE =虑AD, BE用三边向量进行表示，表示的方法很多，例如观察“爪”字卄/ET T4 T TT2T“T形图可得 AD = （AB+AC ）, BE = BC +BA233/. aD”bE=i(ab+AC)/2bc +-ba1=-(注意向量夹角)ccc4133丿2答案： AD 穿一 14小炼有话说：这道题由于是等边三角形，故可以建系去做，以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴。D,E坐标完成之时, 就是Ad忑计算的完成之日，且此法在计算上更为简便。例4：如图，在L ABC中，已知AB =4,AC =6,NBAC =60，点D,E分别在 边 A

8、B,AC 上，且 AB = 2Ad,ac = 37E， 为DE中点，则BF .DE的值是（A. 2 B.3 C.D. 5C7B|,|AC及两个向量的夹角，所以考虑将为一组基底。则考虑将Bf,de用aB,aC进行表示，再做数量积即可思路：在本题中已知aB,aC 作&力TTTiTiTiT1 TIiT1 fiTiT)解：BF=BD+DF 才A-DE=iBA-(AEAD)rAB-HAC 一齐町i r 3r= -AC -AB64ii 4且 DE = AE - AD =-AC - AB，所以有：323T)fiT L) if iT T 32 AB M AC-一AB = AC - AB -AC +AB

9、 4 八32 丿i8F T T TAB =i6,AC =36,ABAC =BTDEjiAC由已知可得:38T|TAB|accosBAC =i2/. BF ”DE =4答案：C例5：已知向量AB,AC的夹角是120，且=2, AC =3，若A? = aAB+AC ,且7丄，则实数A的值是思路：题中AB,AC模长夹角已知，所以选择它们作为基底，表示aP,BC ,再根据AP丄BC求出A即可解:BC =ACAB 7AP 丄 BCT TT T T T二 AP ”BC =0= (aAB + AC )(AC - AB )=0 即一zAB2 + AC2+( i_1tC = 0 7 AB2 =4, AC2 =

10、9, AB ”AC =AB7CcosBAC = 312二式变为：4几+ 9 - 3( A -1戸0解得A =牙答案：12例6：在边长为1的正三角形ABC中，BD = xBA, CE = yCA, X > 0,y > 0,x + y = 1，贝J CD BE的最大值为答案：-38思路：所给LABC为等边三角形，则三边所成向C量两两数量积可解。所以用三边向量将CD,BE表示出来，再作数量积运算并利用x + y =1消元即可求出最值解：CD=CB+BD=CB+xBABE=BC+CE=Bc+yCAT T T T T T T2 T T T 十 T T 二 CD -BE = (CB + xBA

11、 ) (BC + yCA )= BC + yCB CA + xBA -BC + xyBA CA=-1 +1y+lx + lxy = -1+ +1xy = -1+1xy2 2 2 2 2 2 2:x+y=1.y=1-x 且 0cx<1.CD 忑一ZJxd-x)l(x2-x+1)2 2 22【(x21x =-2等号成立条件：(CD £)= -3'max8答案：-38本题在最后求最值时还可以利用均值不等式迅速把小炼有话说：(1) 问题解决:= _1+l(y+x)+-xy<1 + l(y2'丿22'丿21 2丿(2) 在消元时要注意，如果所消去的元本身有范

12、围，贝y这个范围由主元来承担，比如本题中用x把y消掉，则x所满足的条件除了已知的x>0 之外，还有 y >0二 y=1-x>0，即 x<1例7:如图，在四边形ABCD中，AB丄BC,AB =3,BC =4LI ACD是等边三角形，则AC 的值为 思路：从条件中可分析LABC, L ADC的边所成的所要向量两两之间数量积可求，其公共边为 AC ,以以AC作为突破口，所求数量积中只有BD需转换，可得 BD=BC +CD, 所以 A?B?=A?(B?+cd)=AC 毘 +7C CD , 进而可解解: BD=BC + CD二 AC ED =AC (BC +CD )= AC BC

13、 +AC QD在 Rt ABC 中，AC = Jab2 +BC2 = 5二在等边三角形 ADC中，DC = AC = 5AClBCiBClAC2=16AC BccosACB =25cos(兀-ACD )=AC CDAC 咼.AC.BD=72答案：72小炼有话说：（1）在求AC -CD时要注意夹角不是ZACD，而是它的补角！（2）在求AC .BC也可以用投影定义来解，即AC在BC上的投影为BC，例8如图，四边形BC的中点，ABCD 满足 AB”AC=DB”DC = O,AB =2 =2，若 M 则 AB .AM _ dM .DC =A.B.-1C.3 D.2C所以Ac=岡232思路'/A

14、B ” AC =DB 'DC =0,囱 =2| 品 =2/. I Dc|本题要抓住ABTC=0这个条件，所求表达式中主要解决aM,dM。从图中可发现AM,DM分别是LI ABCLIBDC的中线，从而 aM,dM可用条件中的向量进行表示：1 T T1 T TAM =-(AB+AC ),DM =-(DB+DC )，从而求得表达式的值2 2小1 T T1 T T解：AM = (AB+AC ),DM = (DB+DC )2 2T H T 1T T T 1T T T/. AB -AM -DM 'DC =AB (AB + AC )-丄 DC ( DB + DC )2 21T21TT 1T

15、T 1T2=AB +AB-AC- DC -DB-DC2 2 .2 2=11 2123AB”AM-DM DC= AB -DC =-2 2 2答案：D3-，则二 + 卩=()例9：菱形 ABCD边长为2 , ZBAD =120，点E,F分别在BC,CD上，且BE = aBC,D? = pDC，若 AEA?=i,CE CF =B.A. 1B.-2 2D.C. 5D.412思路：本题已知菱形边长和两边夹角，所 以菱形四条边所成向量两两数量积可求，所以可以考虑将题目中所给的 AtAFjCEcFh -所涉及的向量用菱2形的边和几上进行表示，进而列出关于A*的方程，解出方程便可求出解: AE=AB+BE =

16、AB+ 几 BC,AF=*AD+DF=7d +爲CcE=(1 - Z)cb,cF=(1 -卩 jCDT T T T T T/. AE ”AF =(AB + aBC ) (AD + ADC )T T T T T T T *=AB ”AD +aBC ad +4DC ”AB +aABC ”DC = -2+4a + 4卩 +2a4T TT TA + 卩=123CE CF =(1 - A n -4 )CB CD = 2(川一(A + A )+1 )一2 +4(a + 卩)+2几卩=1j2(A + 4 )+)川=-|-2 + ”音7 + »亍 答案：D 例10：已知向量OA,ob,oC满足条件：

17、OA+OB+OC=0，且OA =|OB =|OC| =2，点 P 是LABC 内一动点，贝JAB AP + BC 也P +CA CP =思路：本题已知OA,oB,oC模长，可对OA+OB+OC=3进行变形得到更 多条件：OA+OB+OC=0= OA+OB=W= （OA+OB）2 =0C2二 OA OB =-2，同理OBOCOCOA =-2,从而可将所求式子中的向量均用 OA,OB,OC 表示再 进行计算即可。OA=岡=|OC| =2解: 0A+0B+0C=o= OA+S = K= (OA+OB f =(-0C) 二 OA2 +0B2 +2OA OB =0C2，代入可得：0A 0b = _2，同

18、理 OB.OC=OC OA =0A .OB = -2T T T T F T二 AB 木P +BC 七P +CA CP = (OB -OA 卜(OP -OA ) + (OC -OB 卜(OP -OB )+(OA-OC ) (0P -0C )TTT TTT TrT TTT= (OB -OA )OP - (OB -OA ) OA +(0C -OB ) OP -(OC -OB )QBr T T TTT+(OA -OC ) OP - (OA -OC ) OC厂 TT TT TTT TTTTTT2+ 0CJyOB -OA )+(OC -OB )+(0A -OC )十OP - (OB ”0A +OC OB +0A QC ) r b+0A +0B= -(-6)+12=18答案：18 小炼有话说：（