“类比推理”课堂实录与评析

1、类比推理”课堂实录与评析2-2(A类比推理”是高中课程标准教科书的新增内容（见人民教育出版社选修数学版）第二章），笔者在执教这部分内容时， 收获良多，曾获北京市青年教师优质课评比一等奖， 第五届“卡西欧”杯全国高中青年数学教师优质课观摩与评比一等奖鉴于此，笔者特将本 节课的教学实录与评析整理如下，供各位同仁参考1. 教学过程简录1.1 创设情境，引入新课师： 请同学们看一组图片 !（ 展示正在热映的 2009 年美国科幻巨作阿凡达海报图片 ）生：阿凡达！师：阿凡达是以外星生命为题材的科幻电影， 目前为止全球票房收入超过 26 亿美元以 外星生命为题材的科幻片还有很多，比如长江七号 、火星宝贝等

2、这些影片的票房收入都很高，它们都是以外星生命为题材的科幻电影，由此得出结论：以外星生命为题材的科 幻电影票房收入都很高这是怎样的推理方法？说明它的的含义生 1 ：归纳推理它是由一类对象的部分具有的特征推测这类对象的全体所具备的特征师： 为什么以外星生命为题材的科幻电影票房收入都很高？为什么人们爱看呢？生（笑）：好奇！没见过师： 究竟存在外星人吗？外星生命是艺术家的凭空幻想还是有依据的推理呢？学生议论纷纷生 2：我认为有，宇宙那么大，地球上有生命存在，别的星球上兴许也会有！师（追问）：为什么地球上有生命存在，别的星球就兴许也会有？生 2: （稍作思考）因为宇宙那么大，完全可能存在一些跟地球类似的

3、星球地球上有生 命存在，那么这些星球上也可能有生命存在！1.2 探索新知，形成概念师： 想法很好！我想也是基于这样的思考，艺术家们才展开了这么多关于外星生命的猜 想！请同学们思考，这种推理方法是归纳推理吗？为了研究清楚这个问题，我们举例说明： 宇宙那么大，可能存在一些星球跟地球类似，你愿意用哪个星球？生： 火星！师： 平时咱们看到某个同学很怪异，会说“你是从火星来的吧！ ”不仅如此，我们还能发 现，在众多的以外星生命为题材的电影中，关于火星的电影最多你知道这是为什么吗？生（三言两语）：因为人们比较了解火星；因为火星和地球有很多相似的地方师：有哪些相似的地方?生（三言两语）：有水！有大气层、有季

4、节变化、有类似的地貌，比如有山、有合适的气温师：通过人们的研究，发现火星和地球有许多类似特征.根据地球上有生命存在，有理 由推测：火星上也有生命存在.数学学习中也经常用到这样的推理方法，比如对不等式的性 质的研究常常依赖于对等式的性质的了解:若 ab,贝y a c b c若 a b,贝y a c b c若 a b, c d，则 a c b d若 a b,c d，则a c b d这样的推理方法生活中也很多，比如：奥地利医生奥恩布鲁格观察到父亲经常用手指敲 击盛酒的木桶，根据声音推测桶内的酒还剩多少，联想到胸腔和酒桶有类似之处，从而发明 了叩诊法一一通过叩击人体胸腔的方法判断其中有无积水或积水的多

5、少请同学们想一想，这样的推理方法是一种什么样的模式？是在怎样进行推理?生3：两个事物先找共同点，已知一个事物的特征，可以推测另一类也有这种特征 师：这样的推理方式就是今天咱们要学习的类比推理.（板书课题及定义）类比推理：由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一 类对象也具有这些特征的推理成为类比推理.简言之，类比推理是由特殊到一般的推理.师：你能举出日常学习和生活中类比推理的例子吗?学生讨论.生4：比如研究欧拉公式的过程中，发现三角形符合欧拉公式，推测四边形也符合欧拉 公式.生5:比如化学中同一种族的元素具备类似的特征.钠遇到水有强烈的反应，可推测钾 遇到水也会有强烈

6、的反应.1.3初步应用，完善认识师：老师这里也有一些例子，请大家一起看看:练习1：类比|x| c（c 0）c x c，可得到 I f(x)| c(c 0)生 6： I f(x)| c(c 0) cf(x) c.练习2： （1）类比以点（a, b）为圆心，r为半径的圆的方程：（X a）2 （y b）2 r2，可得到以点（a, b, c）为球心，r为半径的球的方程应为（2）类比“与圆心距离相等的弦长度相等”可得到球的什么性质?师：回答问题之前，我想先请同学思考：为什么圆和球可以进行类比?生7：因为它们有类似的概念！都是到定点距离等于定长的点的集合.师：很好！它提供了这两类对象可以进行类比的前提！请

7、你说说相关的结论!生8： （1）类比以点（a, b）为圆心，r为半径的圆的方程：（x a）2 （yb）2 r2，可得到以点（a, b, c）为球心，r为半径的球的方程应为（X a）2 （y b）2 （z c）2r2（2）类比“与圆心距离相等的弦长度相等”可得到“与球心距离相等的截面圆的面积练习3： 2004年北京高考题中出现了一个新的名词一一等和数列，你会怎样给“等和数列”下定义?生9：从第二项起，每一项与前一项的和是同一个常数，这样的数列叫等和数列.师：你是怎样想到这样定义的?生9：因为等差数列和等比数列有类似的定义.师：从这个过程咱们不难发现，在实际生活和发明创造中，往往需要咱们从已有的知

8、识 入手，通过联想寻找到合适的类比对象.在此基础上进行类比，探寻你所要研究对象的性质.（板书）类比推理的步骤：（1）寻找合适的类比对象；（2）由一类对象的已知特征推测 另一类对象也具备这些特征，得出一个猜想.师：接下来，请大家寻找一个合适的类比对象，告诉我：类比“平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行”，你能得到什么结论？（ PPT展示练习4）10：空间内，平行于同一平面的两个平面相互平行.11：空间内,12：空间内,平行于同一直线的两条直线相互平行.平行于同一平面的两条直线相互平行.垂直于同一直线的两条直线互相平行.13：平面内，14：这个不对！还有上面那个也不对!师：你指的什么不对？不

9、是类比推理吗?生14：是类比推理，不过结论不对!师：哦，我们发现其中有两个由类比推理获得的结论是错误的，这说明什么问题呢?生：类比推理和归纳推理一样，结论有可能是错误的.1.4应用知识,巩固提高师：通过练习4,我们发现平面内的直线可以类比为空间中的直线和平面，而从维度升高的角度，直线则应该类比为平面.点呢？平面图形呢?生:点可类比为线，平面图形应该类比为立体图形.师:平面图形应该类比为立体图形，比如圆可以类比为球.正方形呢?生:正方体!师:为什么？它们有什么类似特征呢?平面空间点直线 平面图形线平面立体图形4生15:因为正方体每个面都是正方形.师：我想这应该是正方体和正方形之间的联系，它们之间

10、有什么相似特征呢?生15:正方形所有边长相等，正方体所有棱长相等.师：从维度升高的角度正方体还有什么类似特征吗?生15:正方体所有面的面积相等.师：除此以外还有吗？正方形除了边相等还有什么特征?生16:邻边相互垂直!师：正方体有类似的特征吗?生16:正方体相邻的面互相垂直!师：所有从这些类似特征作为基础，正方形可以类比为正方体.那么长方形、平行四边 形在立体几何中的类比对象是什么呢?生17:长方体和平行六面体.师：平面内的最简单封闭图形三角形呢?生17:四面体.师：为什么?生17:因为四面体的每个面都是三角形.师：这是联系还是类似特征呢？怎么样理解“类似特征”？学生思考.师（启发）：为什么老师

11、刚才会说，三角形是平面里最简单的封闭图形?生18:平面里要围成封闭图形至少需要三条线段.而空间内要未成封闭几何体至少需要四个面，所有三角形可以类比为四面体.师：很好，从构成图形的基本元素的数目的角度想到了四面体.其实从图形的构成来看,三角形可以理解为连接直线上两点和直线外一点的封闭图形，由此从维度升高的角度：连接平面外一点和平面内几个点，可以得到什么呢?生：棱锥.师：所以从这个角度来看，三角形还可以类比为任意椎体.通过这个过程，咱们能够发现对相似性构成的理解不同，可以有不同的类比对象.而在咱们研究问题时，最关键的是根据当前问题的需要，选择恰当的类比对象.请同学们看下面的例题：例：类比平面内直角

12、三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.师：请大家思考尝试解决.P学生自主探究，就C b LJ W请他表述该四面体与直角三角形的类似特征.在此基础上，将平面内线段的测度（长度）类 a b c比为空间平面图形的测度（面积）得出相应四面体性质的猜想，从而解决例题提出的问题.邈究结果与周围同学交流.请一位同学将自 惘形画到黑板上，并师：这个结论正确吗?生：证一证就知道!师：怎样证明?师：立体几何里的许多问题的解决都依赖于对相关平面几何问题的了解.要证明这个命题，不妨看看勾股定理的证明方法.勾股定理证明的方法非常多，其中之一是：过C点作斜边AB的垂线，之后利用相似比或射影定理证明（PPT展示）

13、.类比这个方法，你觉得要证明以上猜想，可以构造什么样的辅助图形?学生思考.师（启发）：从维度升高角度，点可类比线.C点是线线交点，它该类比什么呢? 生：面面交线.两个“直角面”的交线！生19：可以过PD、DE、DF中任意一条做斜面 PEF的垂面.师：很好！有了这样的思路，后面该怎么证明请同学们课下研究!通过这一层次的类比使学生认识到，合理的类比推理不仅能够帮助我们分析问题提出创 造性的猜想，还能提供解决问题的思路和方法，感受类比推理在数学发现和研究中的价值.1.5梳理知识，布置作业(1)课堂小结:知识小结：类比推理的含义、特点、步骤和作用，并将之与归纳推理对比，指出合情推 理的含义，完成对合情

14、推理内容的学习.方法小结：体会类比推理是一种建立在相似性基础上的思维方法.需要通过相似性把两 类不同的事物联系起来，用一类对象的特征推测另一类对象也具备这种特征，从而达到发现 或解决问题、创造发明的目的.(2)布置作业:必做作业:作业练习手册第4748页.选做作业:2 .2 可得到写b2 c c(课堂例题的延伸)平面直角三角形的勾股定理 a2 b2 c2两边同除以c2Si2£ s3 S2证明你的猜想.1，即cos2 a cos2 B 1 ,类比这个结论给出空间中四面体性质的猜想.并类 比结论cos2 A cos2B 1得出的过程，利用例题的结论2.点评“推理与证明”是数学的基本思维过

15、程，也是人们日常学习和生活中常用的思维方式. 类 比推理是在归纳推理基础上对合情推理学习的继续，是合情推理常用的思维方法.课标教材 中单独提出合情推理这一内容，把过去渗透在具体数学问题中的思维方法，以集中、显性的 形式呈现出来是由于合情推理具有发现的作用，是一种创造性思维活动，所以它的学习是新 课标教材的一个亮点.本课通过对类比推理的教学完成高中阶段对合情推理内容的学习，为 之后学习演绎推理并体会合情推理与演绎推理的联系与差异打下了基础.2.1恰到好处地创设问题情境，激发学生的学习兴趣因为归纳推理和类比推理是两种完全不同的推理形式，所以，在过去的教学中，很少有 人在同一个问题情境中，建立起两者

16、之间的联系 .而高老师通过美国3D科幻大片阿凡达等涉及外星生命的科幻电影的热映，及时归纳出与外星人有关的电影票房收入都很高的结论，这不仅重温了归纳推理的概念、特点，又自然引出“是否存在外星人”的讨论，通过讨论, 使学生初步感受到类比的思维，激发了学生的学习兴趣和探索欲望.2.2在引导学生探索中建构知识课程标准的核心理念是强调为学生提供更开阔的思维空间和发展空间，这就要求我们在 教学生时给予学生适度的思考时间和表现自己思维过程和思维内容的机会.本节课的内容看 似简单，操作起来却困难很大.学生要了解类比推理的含义、特点，还要求学生能利用类比进 行简单的推理，做出猜想(这正是本节课的教学难点).在教

17、学中要让学生逐步渗透类比的思 想方法，体会类比推理在数学发现中的作用， 增强学生的创新意识 . 高老师通过以下几个关键 点引导学生进行了探索：1）对外星生命的猜想、 奥恩布鲁格的叩诊法及不等式性质的探究三个例子所反映出的思维过程的分析，引导同学提炼、概括类比推理的含义、特点，使学生对类比推理形成一定 的理性认识，并为学生规范的应用类比解决问题做出示范（2）精心设计 . 通过四个练习，分别从结构、概念、表述方式和维度升高的角度进行类 比，使学生对类比推理有较为完善的认识，并实现了初步应用，既突出了本节课的重点，也 为突破难点打下坚实的基础 . 特别是问题 4，让学生充分进行思考，探究，极好地训练

18、了学生 的发散思维 .3）应用类比推理的难点就是找到恰当的类比对象，得到相应的类比猜想. 请学生从相似性出发，寻找平面图形（圆、正方形、长方形、平行四边形）在立体几何中的类比对象，引导学生分析两类对象的类似特征，培养其理性思维习惯，使学生明确确定类比对象的基本 原则，进而应用类比推理解决实际问题 .4）精心布置课后作业 . 根据学生的不同程度，分层布置作业，照顾到了各类学生，使学生在原有的基础上各有发展 .2.3 用教材教，而不是教教材教材中有例题： 类比平面内直角三角形的勾股定理 , 试给出空间中四面体性质的猜想 高 老师根据她的学生学习基础较好的实际情况，进行了适当的修改，从三个层次进行了探究：1）类比图形构成，寻找合适的类比对象； 2）类比勾股定理代数结构，得到四面体性质的猜想；3）类比勾股定理证明方法之一，探求以上猜想的证明途径这样设计，使学生体验了数学探究活动从具体问题出发，观察分析、提出猜想、证明猜 想的完整过程，这也是用类比思想进行研究问题的基本流程它不仅