“垂径定理”的应用5

1、初三数学优质新学案专题（附经典解析）垂径定理”与解题思路分析垂径定理及其推论是 圆”一章最先出现的重要定理，它是证明圆内线段、弧、角相等关系及直线垂直关系的重要依 据，也是学好本章的基础，在学习中要注意以下几点:.圆的辆对称是垂径定理的理论基础同学们在小学就已经知道了把圆沿着它的任意一条直径对折，直径两边的两个半圆就会重合在一起。因此，课本首先通过一张圆形纸片沿着一条直径对折，直径两侧的两个半圆能重合这一事实，指出圆是轴对称图形，经过圆心的每条直线都是它的对称轴，然后利用这一性质给出了垂径定 理，并利用圆的对称性证明。所以，圆的轴对称性是垂径定 理的理论基础。二.垂径定理及其推论的题设与结论之

2、间的内在联系在垂径定理（推论）中是隐含着一条直线；二是该直线具有以下性质：（1）经过圆心，垂直于弦，（3）平分这 条弦，（4）平分这条弦所对的劣弧，（5）平分这条弦所对的优弧。垂径定理可以简记为:由于垂径定理本身的结论有多个，因此在构造逆命题时也会有多个，这就需要掌握构造逆命题的技巧。例如：以（1）、（3）为条件的逆命题为：如果过圆心的一条直线平分该圆内的条弦（不是直径），那么这条直线垂直于弦，且平分弦所 对的弧。类似地，同学们一定会分别写出以 和（4）、和、(2)和(3)、(2)和(4)、(2)和(5)、(3)和(4)、(3)和(5)、(4)和(5)为条件的逆命题。由于一条直线如果具备上述五

3、条性质中的任 何两条时，这条直线唯一确定，所以，上述九个逆命题都是 真命题，它们都是垂径定理的推论。垂径定理连同推论在内共十条定理。对于这十条定理，同学们切不可死记硬背，关键要抓住它们的特点，即一条直 线具有上面所说的五条性质中的任何两性质，就有其余三条 性质（具有性质 、时，所说的弦不是直径，这是因为如 果这里的弦是直径的话，两条直径总是互相平分的，但它们 未必垂直）。三.灵活应用垂径定理及其推论解题 垂径定理及其推论，主要应用于研究直径与同圆中的弦、弧之间的垂直平分关系，其内容虽然简单，但要能灵活 应用却非易事。现举例说明。1、利用垂径平分弦所对的弧构成相等的圆周角例1.已知如图， ABC

4、内接于O O, BD丄AO交AC于 D，求证：ABBC=BD AC。£思路分析：欲证ABBC=BD AC即证血BC , 需证 BAD sCAB，已有公共角/ BAD= / BAC，还需证圆周角/ ABD= / C,则需证明AB= ,显然延长BD交 ABC的外接圆于E,运用垂径垂直平分弦所对的弧即可得证。2、利用垂径垂直平分弦，构成等分线段例2.如图，AB是O O的直径，AE丄CD于E, BF丄CD于F，求证：CE=DF。思路分析：过0作0H丄CD，即得证。例3.已知如图3, AB是O 0的直径，弦CD在AB 一侧，CE丄 CD 于 E, DF 丄 CD 于 F。求证：AE=BF。思路

5、分析：此题是圆和直角梯形，且点0是AB的中点，由此联想梯形基本辅助线， 故作0G丄CD于G,再联系垂径 垂直平分弦有OE=OF，故AE=BF。3、利用垂径垂直弦，构造成特殊四边形例4.如图，半径为10cm的O 0中,弦AB丄CD于E,AB=CD=16cm，求 OE 的长。AJ/JC思路分析：把0E放到三角形或特殊四边形才有利于计算。故作 OF丄AB于F，0G丄CD于G， EGOF为正方形,4、利用垂径垂直弦，构造特殊三角形例5.如图，O 0的弦AB>CD , AB、CD的弦心距分别为0M和ON，求证：OMvON o思路分析：连结0A，0C，在 Rt OAM和Rt OCN中得到= JgP -曲*， ON = Joo* - OT2，因为 aB>CD，贝y 盘必2 >，又 OA=OC，从而 OMvON。5、利用垂径是过圆心的直径，构造成勾股定理例6.如图，O O是 ABC的外接圆，D是公的中点，BD交AC于E, CD = 275 , o到AC的距离为1,求O O的半径。思路分析：欲求半径 R,须过D作O O直径DG ,