《矩阵与变换》平面变换、逆变换与逆矩阵

1、全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编（附详解）矩阵与变换平面变换、变换的复合与矩阵的乘法【考情分析】考试要求 1.矩阵的概念，A级要求；2.二阶矩阵与平面向量,B级要求；3.常见的平面变换，A级要求；4.变换的复合与矩阵的乘 法，B级要求.了解矩阵的相关知识，如行、列、元素、零矩阵的意义和表示掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则. 理解矩阵对应着向量集 合到向量集合的映射.了解常见的线性变换的几何表示及其几何意义.掌握两个矩阵的乘法法则,并且理解连续两次变换所对应二阶矩阵相乘的顺序.【知识清单1.二阶矩阵与平面向量（1）矩阵的概念1, 3,41这样的矩形数字（或1_2, 0,- 1字母

2、）阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数在数学中把形如31耳（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素.（2）二阶矩阵与平面列向量的乘法1ai2|b2iF1杯+ai2旳刃；jXo【laii/ o+ ai2 约0fen a12.21 a221yoLa21+ a22 勿。2.几种常见的平面变换全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编(附详解)10 1(1) 当M = 0 1时，则对应的变换是恒等变换.k 0110由矩阵M =1 io或M = 0 k jk0)确定的变换Tm称为 (垂直)伸压变换.(

3、3) 反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称.cos 0 sin A (4) 当M =1时，对应的变换叫旋转变换，即把平L sin 0 cos0面图形(或点)逆时针旋转0角度.(5)将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换.1 k 1 r 1(6)由矩阵M = 0 1严k1扁定的变换称为切变变换.3. 矩阵的乘法般地，对于矩阵M=5a11La21ai2a22 Jbi2lb22-,规定乘法法则如下:MN = F11 a12戸1b12 (21111土12匕21一 11b12 + 322a21a22b21b22Ia?1b11 + a?b?1 1b1?+ a?b? j4. 矩阵乘法的

4、几何意义(1) 变换的复合：在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵.(2) 矩阵乘法MN的几何意义为：对向量 a=y连续实施的两次 几何变换(先Tn后Tm)的复合变换.(3)当连续对向量实施n(n 1且n N*)次变换Tm时，对应地我们记 Mn= M M M.5. 矩阵乘法的运算性质(1)矩阵乘法不满足交换律对于二阶矩阵A、B来说，尽管AB、BA均有意义，但可能ABBA.(2) 矩阵乘法满足结合律设A、B、C为二阶矩阵，则一定有(AB)C = A(BC).(3) 矩阵乘法不满足

5、消去律设A、B、C为二阶矩阵，当AB= AC时，可能BP.【课前预习】1 811.(选修4-2P10习题2.1第5题改编)已知矩阵A b 3矩阵B3若A= B,求x + y的值.解析:因为A= B,则x 8，所以X+ y的值为10.Ly= 2.2. (选修4-2P11习题2.1第11题改编)已知变换炸卧：畀， 求它所对应的变换矩阵.解析：将它写成矩阵的乘法形式炸3皿所以它所对应 的变换矩阵为0 1 13. 求点B(0, 1)在矩阵1 0对应的变换作用下得到的点的坐标.解析：矩阵S 1 0 表示将图形变换为与之关于直线 y= x对称的反射L 1 0 一变换，故点B(0, 1)变换得到点坐标B ,

6、10).4. (选修 4-2 P39 例 1 改编)已知 A 0 0 BJ。101 一1 0 10计算AB、AC.解析:AB0 0101 10H-01010AC 5000-10 0 10 1000.im 0 T(-2,-5. 点(1 , k)在伸压变换矩阵0 1之下的对应点的坐标为4),求m、k的值.解得m=2 4Lk= 4.rm 0 l-lL 2 (- m= 2 , 0 1 1 k J L 4)lk= 4.【典型例题】目标1二阶矩阵的运算1例1(1)已知A= 000/,B=【001 仁,计算AB.1(2)已知A= b(0,升1-10.,计算 AB, BA.1|2(3)已知 A= 11L221

7、2| B411 , B 2r 11L 11,计算 A2、B2.1解析：(1)AB= 01(2)AB - b01X0 + 0X01X0+ 0X11 01 厂 L0X0 + 0X0 0X0+ 0X1 厂 L01X0 + 0 X1 lx 1L0X0 + 2X1 Ox 10卩2 2L10.+ 0X0+ 2X0.0 2L20.全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编（附详解）0BA = ；1-110 L0m0X1+ -1 xO 0x0+ 1 x21 2L1X + 0X01X0+ 022心11L21112ii211112L211121 I211L211211211 2【借题发挥】变式1已知1解析：设

8、B=Lcn ro 01 1lo 0.-01一 42,求矩阵B.b1d 则hI aL a+ 2cb 1 b + 2d ，a=-4,故 b= 3,I a+ 2c= 4,L b+ 2d=- 1, aj- 4,解得b = 3, I CJ 4, L d= 2. 43L 4 2变式2已知矩阵A=- 1L 1bJ1qL2 1j,向量 a= y, x, y 为实数，若Aa = Ba求x + y的值.解析：由已知，得AaJ- 1I 1L 2+ 2y 1厂 L2+ xy JBaJ1 -碍!4+y一 2+ 2yl2 + y 因为ATa所以2+ xyj- Ly全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编(附详解)1

9、x= 2，仁厂；2+ +解得y= 4.所以X+ y= 2.【规律方法】这些计算只需利用矩阵的乘法公式即可,但对揭示矩阵乘法的性质却有着重要的意义.（1）中尽管A、B均为非零矩阵，但它们的乘积却是零矩阵；中AB书A;（3）中 A2 = A, B2= 0,这里 0 是一个二阶零矩阵.【同步拓展】已知矩阵A=L101B =2L- 44-3且a=3 ,试判断(AB) a与 A(Ba)的关系.解析：AB=-4I 431-1所以(AB) a=- 4I 4A( B)=即-4)L121 4010=【0i所以(AB) a= A(Ba).目标2平面变换的应用例2已知曲线C: xy= 1,若矩阵M = I厂 厂丨对

10、应的变换将曲L 22线C变为曲线C；求曲线C的方程.解析：设曲线C上一点（X； y 对应于曲线C上一点（x, y）,昱电 土22 ix X所以亚县b :=山L 22所以罟X y= X,爭x + y = y.所以X=行2,y=嚣,所以xy=锡号1,所以曲线C的方程为y2 X2 = 2.【借题发挥】 变式1已知变换T:平面上的点P(2, 1),0(- 1,2)分别变换成Pi(5, 6), 01(2, 0),求二阶变换矩阵A.a bl解析：设所求的变换矩阵 A=J J,Lc d Jc d-1=-6J Lc dX 2L0J2a b = 5, 2c d= 6, 所以“ cI a + 2b = 2,L c

11、+ 2d = 0,ra bT 21 r 51 ra 呱n pl 依题意，可得c J1=6lc d 2=loIa=4,b = 3,故所求的变换矩阵c= 4,d= 2.A=432L 4 2变式2(2017镇江一模)已知实数a,b,矩阵A=:环对应的变换将直线Xy 1 = 0变换为自身，求a, b的值.解析：设直线X-y-1=0上任意一点P(x,y)在变换T A的作用下变成由：3：比得吃爲因为Px: y）在直线x-y-1 = 0上,所以 x ii y - 1= 0，即(-1 _b)x +(a 3)y -1 = 0 , 又因为P(x, y)在直线X y 1 = 0上，所以X - y 1 = 0 .解得

12、：a =2b = 2.【规律方法】利用平面变换解决问题的类型及方法:（1）已知曲线得到的曲线C与变换矩阵，求曲线C在变换矩阵对应的变换作用下C的表达式，常先转化为点的对应变换再用代入法 （相关 点法）求解.（2）已知曲线C是曲线C在平面变换作用下得到的，求与平面变换对应的变换矩阵，常根据变换前后曲线方程的特点设出变换矩阵， 构建 方程（组）求解.【同步拓展】已知圆C: X2 + y2= 1在矩阵A= a0 a0, b0）对应的变换作用下变为椭圆9 + 4 -勺，求a、b的值.解析：设另一个点又因为点P(x, y)为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为x = axLy J L 0 by/

13、即 ly = by.x2 y2a2x2 b2y2Px(, y J 在椭圆9+ 4= 1 上，所以9- + 4 = 1.,刃a 0収 Px(,y ,则 j, = .l - _.1由已知条件可知，X2 + y2= 1,所以a2= 9, b2= 4.因为a0, b0,所 以 a= 3, b= 2.目标3变换的复合与矩阵的乘法 例3在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0), B(-2,0), C(-2,1).设k为非零实数，矩阵M二F 0N = |0 q，点A、B、C在矩阵MN fo 11 0对应的变换下得到点分别为 A1、B1、&, A1B1C1的面积是 ABC面积的2倍，求k的值.解析:由题设

14、得MN = F 0010 11=0 k”11 0j10J由0L1kl0 -200 021卩1和00-2k 1,可知 A1 (0, 0)、B1 (0,-2)、C1一2计算得 ABC面积的面积是-2).， AiBiCi的面积是|k|，贝y由题设知:I k 1 = 2X1 =2 .所以k的值为2或-2.【借题发挥】 变式1 已知 ABC中，A(- 1, 0)、B(3, 0)、C(2, 1)，对它先作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90(1) 分别求两次变换所对应的矩阵 Mi、M2；(2) 求点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标.0 (0 -11 -1 J 2 L 10(2)因为

15、 M = M2M1= 01 11 0 10 1 1已(2=|，所以m J0 10 -1 -L 1 0 -rLU0 11P irnL1 011 r 2J故点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标是(1, 2).变式2压变换,已知圆C: X2 + y2= 1,先将圆C作关于矩阵P= 0 再将所得图形绕原点逆时针旋转 90。求所得曲线的方程.的伸0 11 解析：绕原点逆时针旋转90的变换矩阵Q =1L100 1丁1 01 0 21则 M = QP= 10I0 2=10设A（x0,yo）为圆C上的任意一点，在Tm变换下变为另一点Ax（,X0Lo -平 oJyo则：X0L12y0，所以；弋0 y 0=

16、x0,170=亍又因为点A（X0, y。）在曲线X2 + y2= 1上，所以（y。）2 + 乎1.故所得曲线的方程为X4+y2= 1.【规律方法】矩阵的乘法对应着变换的复合,而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的,不能颠倒.二阶矩阵的运算关键是记熟运算法则.【同步拓展】已知曲线y2= 4x依次经过矩阵A=0oro 11 lB= ；10的作用变解析：由已知BA=0L10 11=JLt0 J换得到的曲线方程x2= 2y,求实数t.Ji任取曲线y2= 4x上一点P（xo, y0）,它在矩阵BA对应的变换作用下变为Px(, y,)Co 1则有t0f- y0= xfy0= ( - X

17、)2)即有丫 ,?1,Itxo = yl2tX0= 2y )T P 在曲线 X2 = 2y 上) X 2 = 2y 即 y0= 2tXo.又 yO = 4xo)比较得2t = 4? t = 2.【归纳分析】1. 通常，二阶非零矩阵对应变换把直线变为直线，把直线变为直线 的变换叫做线性变换，本节中所研究的6种变换均为线性变换，因此,在研究平面上多边形或直线在矩阵的变换作用后的图形时，只需考察 顶点(或端点)的变化结果即可.2. 矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换， 且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒.若干个简单变换可以复 合成较为复杂的变换；反过来较为复杂的变换可以分解

18、成若干个简单 的变换.xl3. 矩阵乘法MN的几何意义为：对向量a= yJ连续实施的两次几何变 换(先Tn后Tm)的复合变换.当连续对向量实施n(n 1且n N*)次变 换Tm时，对应地我们记 Mn = M M !.矩阵乘法不满足交换律和消去律，满足结合律.1|21.求点A(4,3)在矩阵H【课后作业】 3 I对应的变换作用下得到的点.1 I6全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编（附详解）I2 论 r31【解析】因为!11L4r1点A在矩阵；L!、一一 2113 I1 ；对应的变换作用下为点3, 26换成另一图形F；试求变换矩阵M及图形F的方程.【解析】因为2】21因为圆上1 i2.

19、设圆F： X2 + y2= 1在(X, y)宀阳，y=(x + 2y, y)对应的变换下变任意一点(X,仪=X + 2y,y)变换为(x； y=(x + 2y, y)，即j ,所以ly = y,ix = X- 2y； ly=八因为X2+ y2= 1,所以(X-2y2 + y2= 1,即图形F的方程为(x 2y)2 + y2= 1.对应的3.已知点M(3,1)绕原点逆时针旋转90后，且在矩阵2 bL2 b 一变换作用下，得到点N(3, 5)，求a、b的值.ro 1【解析】绕原点逆时针旋转90寸应的变换矩阵为L1.计 i0 -1L0L2 bL10Lb33ILb 21- 1 J=5,5a叫。则由得=

20、3，3b + 2= 5,二 a= 3, b= 1.4.若矩阵M =鳥所得到的曲线方程.,求直线X+ y+ 2=0在M对应的变换作用下用下变换成点（X；八）则0 1【解析】设点（X）y）是直线X+ y+ 2 = 0上任意一点）在矩阵 M的作 ly My所以：=y+y，因为点（x） y）在直线x+ y= 2上，所以x= x+ y= 2）故得到的直线方程为x+ 2 = 0.a 015若矩阵M =1 , C把直线I: X+ y 2= 0变换为另一条直线I: X L 12 一+ y4= 0）试求实数a的值.X ； a 0 仪1为（X； y；则 lyH-1 2盯将点 Px（, y 代入直线 1； X+ y

21、 4 = 0）得（a- 1）x + 2y-4= 0.【解析】设直线I上任意一点P（x）y）在矩阵M作用下的点P的坐标a 01M 斜xax,=-I ）所以，Cy = X + 2y.a一 1即直线I的方程为厂X+y 2= 0.所以a= 3.6.已知矩阵M = 0 1 ：1 0 J0 1 1）N = I C I在平面直角坐标系中，设直L10 J线2x+3y+ 1 = 0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线 F，求曲线F的方程.I解析】由题设得MN = 1 1K01 1=10 L10 .=L 01 .W 即 L - y-y；则有丿1：L 0 - 1设（X, y）是直线2x+3y+ 1 = 0上任意一点

22、，点（X, y）在矩阵MN对应的变换作用下变为（X； y,）=鬥比i、x = x， 所以f ,ly= y .因为点(x, y)在直线 2x+3y+ 1 = 0 上，从而 2x + 3( y + 1= 0, 即 2x 3y + 1= 0.所以曲线F的方程为2x 3y+ 1 = 0.对应的变换下7.在平面直角坐标系xOy中，直线y= kx在矩阵；得到的直线过点P(4,1),求实数k的值.rxi X 【解析】设变换tM ,贝= LyLyl 则 LyJ 1F耳0炸,MN对应的变换作用下得到的曲线代入直线y= kx,得x = ky将点P(4,1)代入上式，得k= 4.r 1,N=1【解析】MN = P

23、q 10L1 01方程，其中M = 0 2 :8.求曲线2x2 2xy+ 1 = 0在矩阵1 015 to 2-11-2 2J设P(x , y是曲线2x2 2xy + 1 = 0上任意一点，点P在矩阵MN 对应的变换下变为点 P x( y),x -y厂2 2jLy 厂2x + 2y :亠xT r 1 0取r则有=-，=.1于是 x = x, y = x+ 2-代入 2x 2xy+ 1= 0 得 xy= 1,所以曲线2x2 2xy+ 1 = 0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程 为 xy=1.9.在直角坐标系中， OAB的顶点坐标0(0,0), A(2,0), B(1, /2),求OAB在矩阵

24、MN的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵M全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编(附详解)0=0 11,N=|L0J;1【解析】MN =1L0 11豎昇01L0亞12厂I 竝21史1返 lor W，22 I1 12, 竝bFI-1 2可知0, A, B三点在矩阵MN作用下变换所得的点分别为0B(0,0)A (2,0)10.已知直线I: ax+ y= 1在矩阵A= :寸应的变换作用下变为直1,1).可知 OAB的面积为1.线 I ： X+ by= 1.(1)求实数a、b的值;若点P(xo, yo)在直线I上，且,求点P的坐标.【解析】(1)设直线I上一点(X, y)在矩阵A对应的变换

25、下得点(x, y ，)X切x= 2x+ 3y代入直线 I)得 2x+ (b+ 3)y= 1,.a=2)b= ly = y,-2. V 点 P(xo, yo)在直线 I 上， 2X0+ yo= 1.P怎,L2 3沏=严-Io 1JLyJ = bo-，仪0= 2xo + 3y0 , 得1tyo= yo,|xo= I，yo=-i，1、5丿11.变换T1是逆时针旋转n的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T2对应的变换矩阵是M2=5 1 1o 1求:(1) 点P(2, 1)在T1作用下的点P的坐标；(2) 函数y = x2的图象依次在T1、T2变换作用下所得的曲线的方o 1【解析】(1) M1 1 o-T2q,所以点(2,程.,M = 1 o1L2 j1)在T1作用下的点P的坐标是(1, 2).r 1 1(2) M = M2MP i 0变换后图象上任意一点，与之对应的变换前的点是M，则M M Jxi，也就是Jxo妒x,则Lyo以0Ly.xo=y, xo=y,Iy0=y x,所以所求曲线的方程是yx= y2.【提优训练】 1.设矩阵A对应的变换把点 A(1,2)变成点A (2,3)把点B( 1,3)变 成点B (2,1)那么把点C( 2, 3)变成了什么？【解析】设Ac d ,3c dQhr Lc dl3.，“口屮日店一曰ra 叫11b可一11 则根据题意得j =.,