大一高数学习知识重点与例题讲解

1、.大一高数函数与极限第一节函数。函数基础（高中函数部分相关知识）（）。邻域（去心邻域）（）U a,x| x aoU a,x 10 x a第二节数列的极限。数列极限的证明（）【题型示例】已知数列 xn ,证明lim xnax【证明示例】N语言1 .由xn a 化简得n g ,N g2.即对0, N g，当n N时，始终有不等式 xn a 成立,lim xn a x第三节函数的极限O xx0时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数 f x ,证明lim f x Ax x【证明示例】语言2 .由fx A化简得0 x% g,g3 .即对 0, g，当0 x x0 时，始终有不等式f x A 成立,li

2、m f x Ax x0O x 时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数 f x ,证明lim f x Ax【证明示例】X语言1 .由fx A化简得x g ,X g2 .即对 0,X g，当x X时，始终有不等式 f x A 成立，lim f x Ax第四节无穷小与无穷大。无穷小与无穷大的本质（）函数f x无穷小 lim f x 0函数f x无穷大 lim f x。无穷小与无穷大的相关定理与推论（）（定理三）假设f x为有界函数，g x为无穷小，则lim f x g x 0（定理四）在自变量的某个变化过程中，若f x 为无穷大，则f 1 x为无穷小；反之，若f x为无穷小，且f x 0,则f 1

3、 x为无穷大【题型示例】计算:lim f x g x （或 x x xo1. f x W M .函数f x在x x0的任一去心邻域U x0,内是有界的;（ f x W M , .函数f x在x D上有界；）2. lim g x 0即函数g x是x xo时的无穷小； X xo（lim g x 0即函数g x是x时的无穷小；）x3. 由定理可知lim f x g x 0 x x（lim f x g x 0） x第五节极限运算法则。极限的四则运算法则（）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式q x商式的极限运算mm 1p x a°xaxnn 1q x dxbxam bn则有lim

4、M曳X q xb00 f x g x0f x lim x x0 g xn mn mn mg x00g x00, f /0g x°f x00（特别地，当f x limx x0 g x0 （不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可0以用罗比达法则求解）【题型示例】求值lim3【求解示例】解：因为 x 3,从而可得x 3,所以原式limx 3 x 3lim -22- lim x-x 3x 9 x 3 x 3 x 3一， .一，x 3其中x 3为函数f x 等上的可去间断点 x2 9倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）0 x 3 0 x 311解：lim

5、 二 lim limx 3x2 9 L x 3 y2 9 x 3 2x 6x 9。连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（定理五）若函数 f x是定义域上的连续函数，那么,lim f xx xof lim xx x0【题型示例】求值：limx2 3x 3 . x2 9【求解示例】limx, 3x 3 . x2 9lim x2 3x 3 x 9第六节极限存在准则及两个重要极限。夹迫准则（P53） （）第一个重要极限：limx 0sin xx0, , sin x2sin x dtanx . lim 1x 0 x. x limx 0 sin xlimx 0 sin xlimx 0lim1x 0sin

6、 x（特别地,limx x0sin(xxo)1)x Xo。单调有界收敛准则（P57)第二个重要极限:limx（一般地，limlim flim g x,其中lim【题型示例】求值:limx2x2x 1【求解示例】解：limx2x 32x 1limx2x 1 22xlim2x 12xx2 2x 1x 122x 122x 1 罚 x 12lim2x 12x 1lim2x 1lim2x 122x 12x 12lim2x 122x 1lim 2 x2x 1 2x 1e2x 2lim 2x 1 2x 1e第七节1e e无穷小量的阶（无穷小的比较）。等价无穷小() ln(1 U)U sinU tanU ar

7、csinU arctanU eU1.122 U 1 cosU 2（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：lim ln : f 0 a 0 a x2 x1n 1 x x 0 x 3x【求解示例】解：因为x0,即x 0,所以原式lim 1n 1 x2 x1n 1 xx 0 x2 3xlimx 0x In 1x x 3lim一 x 1 lim跳越间断点（不等） 可去间断点（相等）（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）第八节 函数的连续性 。函数连续的定义（）lim f x lim f x f x0x x°x x0。间断点的分类（P67） （）第一类间断点（左右极限存在）第二类间断点

8、无穷间断点（极限为0应该怎样选择数0a ,使得f x成为在R上的连续函数?2xe x【题型示例】设函数 f x e , a x x【求解示例】201f 0 e e elim f xx 0g C 0 (01)2.由连续函数定义lim f xx 0a e第九节 闭区间上连续函数的性质。零点定理（）【题型示例】证明：方程 f x g x C至少有一个根介于 a与b之间 【证明示例】1 .（建立辅助函数）函数 x f x g x C在闭区间 a,b上连续;2 .a b 0 （端点异号）3 . 由零点定理，在开区间a,b内至少有一点，使得 0,即f4 .这等式说明方程 f x g x C在开区间a,b内

9、至少有一个根 第一章导数与微分第一节导数概念。高等数学中导数的定义及几何意义（P83） （）ex 1x 0【题型示例】已知函数 f x e , 在x 0处可导，求a, bax bx 0【求解示例】.1 e02.由函数可导定义-a【题型示例】1,b求a处的切线与法线方程（或：过y【求解示例】图像上点a, f a处的切线与法线方程）1 . y f x2 .切线方程：y |x ay f afax法线方程:第二节函数的和（差）、积与商的求导法则。函数和（差）、积与商的求导法则（）1 .线性组合（定理一）：（u特别地，当1时,有（u2 .函数积的求导法则（定理二）v) uv) u：(uv)uv3.函数商

10、的求导法则（定理三）v第三节反函数和复合函数的求导法则 。反函数的求导法则（）uv""2 v【题型示例】求函数 f 1x的导数x2a2，求解：y arcsin. -x2 12 2arcsin e1arcsin x2 12e. xarcsinx2 1 ex2 11x22a2- a1arcsin -x 122e- x aearcsin ：x2 12x2 _x2_12-x22x2.x21arcsin x2 12 22e. x aarcsin - x2 1 ex.x2a2第四节高阶导数f n1n（或di dxn,n id yn-dx【题型示例】求函数 yIn 1 x的n阶导数【求解

11、示例】y 1 x1 x12y 1 x11 x y n （ 1）n1 （n 1）! （1 x） n第五节隐函数及参数方程型函数的导数。隐函数的求导（等式两边对x求导）（）y x在点1 e,1的切线方程与法线方程【题型示例】试求：方程 y x ey所给定的曲线C ： y【求解示例】由y x ey两边对x求导即y xey化简得y 1 ey y11y11 e 1 e1切线万程：y 1 x 1 e1 e法线方程：y 11 e x 1 e。参数方程型函数的求导xtd 2v【题型示例】设参数方程，求d-yytdxdy,2【求解示例】t d y dx2.2t dx t第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求

12、）第七节函数的微分。基本初等函数微分公式与微分运算法则（）dy f x dx第二章中值定理与导数的应用第一节中值定理。引理（费马引理）（）。罗尔定理（）【题型示例】现假设函数 f x在0, 上连续，在 0,上可导，试证明：0,使得f cos f sin0成立【证明示例】1 .（建立辅助函数）令 x f x sinx显然函数x在闭区间0,上连续，在开区间 0,上可导;2 .又0 f 0 sin0 0f sin 03 .，由罗尔定理知0,使得 f cos fsin 0成立。拉格朗日中值定理（） 【题型示例】证明不等式：当 x 1时，ex ex【证明示例】1.（建立辅助函数）令函数f xex,则对

13、x 1,显然函数f x在闭区间1,x上连续，在开区间1,x上可导,并且f x ex；2.由拉格朗日中值定理可得，1,x使得等式ex e x 1 e成立,又 ee1,ex e1x 1 e1 e x e,化简得ex e x ,即证得：当x 1时，ex e x【题型示例】证明不等式：当 x 0时，ln 1 x x【证明示例】1.（建立辅助函数）令函数 f xln 1 x ,则对x 0,函数f x在闭区间0,x上连续，在开区间0,可导，并且 f x ;1 x 一 1一2 .由拉格朗日中值定理可得，0,x使得等式ln 1 x ln 1 0 x 0成立，1 一1 一一化间得ln 1 x x ,又= 0,x

14、 ,1一1f 1, ln 1 x 1 x x,1即证得：当x 1时，ex e x第二节罗比达法则。运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（）1 , 等价无穷小的替换（以简化运算）2 .判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件0f x f xA.属于两大基本不定型（ 一，一）且满足条件，则进仃运算：lim lim0x a g x x a g x（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B. 不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）0 型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：lim x ln xx 0【求解示例】解：lxm0xln xln x ln x lim lim -lxm0

15、x1 x-2 x1lim xa x 0(一般地，lim x ln x 0,其中x 0R) 型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：lim x 0 sin x【求解示例】解:lim1 1lim -sinxx 0 sinx xx 0 x sinxx sinx000x sin x1cosx0,.1cosxsinxlimlimlim lim 一L x 02xx 02x L x 02xx 022 xlimx 000（对数求极限法）【题型示例】求值：lim xxx 0【求解示例】解：设y xx,两边取对数得：In y Inxxxln xIn x"Tx对对数取x 0时的极限：眄1n ylim

16、ln xlimln x1x(4) 1 型（对数求极限法）1一lim ln ylim xlim x0,从而有 lim ylim enyex0 e 1x 01x 0x 0x 0x1【题型示例】求值：lim cosx sin x x x 0【求解示例】ln cosx sinx解：令 y cosx sinx 1x,两边取对数得 ln y 1n cosx sinx , x又此丫求*0时的极限,0o ln cosx sin x lim L x 0xlimln y limx 0x 0xlim c0sx sinx31,从而可得x 0 cosx sin x 1 0lim ln ylim y= lim eny e

17、x 0 e ex 0 x 00型(对数求极限法)tanx1【题型小例】求值：lim -x 0 v【求解示例】解：令ytan x1-,两边取对数得ln y,1tanx In 一 x对In y求x0时的极限，网1ny1 tan x In -xIn lim x 01In x lim x 011x2- sec xtan xtan xtan20sin2 x 0一.一 2sin xlim limx 0 x Lx 0 xlxm2sin x cosx0,.lim In y从而可得 lim y= lim e yex 0 e 1x 0 x 0。运用罗比达法则进行极限运算的基本思路00通分获得分式（通常伴有等价无穷

18、小的替换）取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节函数的单调性和曲线的凹凸性。连续函数单调性（单调区间）（）【题型示例】试确定函数 f x 2x3 9x2 12x 3的单调区间【求解示例】1. .函数f x在其定义域R上连续，且可导2f x 6x2 18x 122.令 fx 6x1x20,解得：x1 1,x2 23.(三行表)x,111,222,f x00f xZ -极大值极小值Z4. .函数f x的单调递增区间为 ,1 , 2,单调递减区间为 1,2【题型示例】证明：当 x 0时，ex x 1【证明示例】1 .（

19、构建辅助函数）设 x ex x 1, （x 0）2. x ex 1 0, （x 0） . x 003. 既证：当x 0时，ex x 1【题型示例】证明：当 x 0时，ln 1 x x【证明示例】1 .(构建辅助函数)设 x ln 1 x x, (x 0)12 . x 1 0 , ( x 0)1 xx 003.既证：当x 0时，ln 1 x x。连续函数凹凸性()【题型示例】试讨论函数 y 1 3x23x的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】2y 3x 6x 3x x 21 .y 6x 66 x 1y 3x x 20x1 0,x2 22 .令解得：1y 6x10x 13.(四行表)x(,0)0

20、(0,1)1(1,2)2(2,)y0/0y/My1J(1,3)r5234.函数y 1 3x2 x3单调递增区间为(0,1) ,(1,2)单调递增区间为(，0),(2,)；函数y 1 3x2 x3的极小值在x 0时取到，为f 01,极大值在x 2时取到，为f 25;函数y 1 3x2 x3在区间(，0) ,(0,1)上凹，在区间(1,2), (2,)上凸；函数y 1 3x2 x3的拐点坐标为1,3第五节函数的极值和最大、最小值。函数的极值与最值的关系()o,都适合不等式,都适合不等式设函数 f x的定义域为D ,如果xm的某个邻域 U xmD ,使得对 x U xmf x f xm ,我们则称函

21、数f x在点xM, f xM 处有极大值f xM ;令 xMxM 1 ,xM2 , xM 3,xMn则函数f x在闭区间a,b上的最大值 M满足：max f a 可即，xm3,，M，f bo设函数f x的定义域为D ,如果xm的某个邻域U xmD ,使得对 x U xmf xm我们则称函数f x在点xm f xm 处有极小值f xm ;令xmxml , xm2 , xm3 ,., xm则函数f x在闭区间a,b上的最小值m满足:mina , xml, xm2 , xm3，.,xmn , f b【题型示例】求函数f x 3x3x在1,3上的最值【求解示例】1 . .函数f x在其定义域1,3上连

22、续，且可导f x3x2 32 .令 f x 3 x 1 x 10,解得：x11,x2 1x11,111,3f x00f x极小值Z极大值3 .（三行表）4 .又.f 12, f 12, f 318f x max f 12,f xminf 318第六节函数图形的描绘（不作要求）第七节曲率（不作要求）第八节方程的近似解（不作要求）第三章不定积分第一节不定积分的概念与性质。原函数与不定积分的概念（）原函数的概念：假设在定义区间I上，可导函数 F x的导函数为 F x ,即当自变量 x I时，有F x f x或dF x f x dx成立，则称F x为f x的一个原函数 原函数存在定理：（）如果函数f

23、x在定义区间I上连续，则在I上必存在可导函数 F x使得F x f x ,也就是说：连续 函数一定存在原函数（可导必连续） 不定积分的概念（）在定义区间I上，函数f x的带有任意常数项 C的原函数称为f x在定义区间I上的不定积分，即表示为：f x dx F x C（ 称为积分号，f x称为被积函数，f x dx称为积分表达式，x则称为积分变量）。基本积分表（）。不定积分的线性性质（分项积分公式）（）k1f x k2g x dx k1 f x dx k2 g x dx第二节换元积分法。第一类换元法（凑微分）（）（dy f x dx的逆向应用）f x x dx f x d x1【题型小例】求 J

24、dx a x【求解示例】1斛：-2dxa x-2dx xa2d1 arctanx0【题型示例】求Cdx【求解示例】解：1 d.2x 12x d 2x 12,2x 12x1 C。第二类换元法（去根式）（dy f x dx的正向应用）对于一次根式（a 0,b R）：,ax b ：令 t. ax b ,于t2 ba则原式可化为t对于根号下平方和的形式（a0)：2x ：令 x atant (一2X xarctan ,则原式可化为 aasect对于根号下平方差的形式（a0)：a. 7a x2 ：令 x asint (一),2x是t arcsin 一,则原式可化为aa costb. Jx2 a2 ：令 x

25、 asect (0 t ), 2一口a于是t arccos-,则原式可化为 atant ； x ,1一，【题型小例】求.1 dx (一次根式)2x 1【求解示例】解： 1 dx t 12n1 tdt dt t C，2x 1 x 2t 2 tdx tdt【求解示例】 222 . x asint( 2 t 2)22a解： a x dx 2 x 2 a cos tdt 一t arcsin OaJdx a costV2x1 C【题型示例】求aa x2dx （三角换元）1 cos2t dt1t sin 2t22Ca- t2sint cost C第三节分部积分法 。分部积分法（）udv uv vdu设函数

26、u f x , v g x具有连续导数，则其分部积分公式可表示为:分部积分法函数排序次序：“反、对、哥、三、指”。运用分部积分法计算不定积分的基本步骤： 遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序;就近凑微分：（v dx dv）使用分部积分公式:udv uv vdub.若 v积分;【题型示例】求【求解示例】解：ex x2dx2 x .2 . xx e dx x de展开尾项 vdu v u dx ,判断a.若 v udx是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）udx依旧是相当复杂，无法通过 a中方法求解的不定积分，则重复、，直至出现

27、容易求解的不定若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数x 2e x dx2 Xx2 -Xx e 2 x e dx x e 2 x dx2ex 2xex 2x2 xe dx x e2xex 2ex【题型示例】求ex sin xdx【求解示例】解：ex sin xdxxe d cosxxe cosxcosxd exxe cosxxxe cosxdx e cosxsin xxe cosxxxe sin x sin xd exe cosxxxe sinx e sin xdxsin xd即：ex sin xdxex cosx ex sin xx1 xe sin xdx e sin x

28、 cosx 2第四节有理函数的不定积分。有理函数（）b°xnm 1a1xn 1bxam4P x 对于有理函数，当P x的次数小于Q x的次数时，有理函数是真分式；当P x的次数大于Q xQ xP x 的次数时，有理函数是假分式Q x。有理函数（真分式）不定积分的求解思路（）P x 将有理函数的分母Q x分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表不为一次因式Q x即：Q般地:k;而另一个多项式可以表示为二次质因式xQ1 x Q2 xmx n m x2l ,2x px q , ( p 4q 0);ax2 bx则参数p.一 P x则设有理函数Q x的分拆和式为：P2 x2x

29、px其中P xA22 x aAkkx aP2 x2lx px qM1x N1-2x px qM2x Npx qMlx Nl2lx px qM1 M2参数 A，A2，A，z，zN1 N2得到分拆式后分项积分即可求解MlNi由待定系数法（比较法）求出【题型示例】-dx (构造法)1【求解示例】-dx 11 x x 11dxdx x 1xdxdx - dx x 1in x 1第五节积分表的使用（不作要求）第四章定积分极其应用第一节定积分的概念与性质。定积分的定义（）bnf x dx lim f i xi Ia0 i 1（f x称为被积函数，f x dx称为被积表达式，x则称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，a,b称为积分区间） 。定积分的性质bx dxu dux dx(4)kf x dxa（线性性质）bf x dxakif xak2g x dxk1 a f x dx k2 a g x dx（积分区间的可加性）bcf x dx f x dxaabf x dxcb若函数f x在积分区间 a,b上满足f x 0,则 f xdx 0；a（推论一）b若函数f x、函数g x在积分区间 a, b上满足f x g x ,则 f x dxabb（推论二）f x dx f x dxaa。积分中值定理（不作要求）第二节微积分基本公式。牛顿-莱布尼兹公式