直线、平面平行与垂直地判定及其性质

1、直线、平面平行与垂直的判定及其性质7.在四棱锥P ABCD中，四边形 ABCD是梯形,AD / BC，/ ABC=90，平面PAB丄平面ABCD ,AB（第 16 题）平面PAD丄平面ABCD.(1) 求证：PA丄平面 ABCD ;(2) 若平面 PAB 平面PCD = I，问：直线I能否与平面 ABCD平行?请说明理由.【解析】(1)因为/ ABC=90 ° AD / BC,所以AD丄AB.而平面 PAB丄平面 ABCD，且平面 PAB 平面 ABCD=AB,所以AD丄平面PAB, 所以AD丄PA.同理可得AB丄PA.由于 AB、AD 平面 ABCD，且 AB AD=A,所以PA丄

2、平面 ABCD.(2)(方法一)不平行.证明：假定直线I /平面ABCD,由于I 平面PCD，且平面 PCDli平面 ABCD=CD, 所以I / CD.同理可得I / AB,所以AB / CD.这与AB和CD是直角梯形 ABCD的两腰不平行相矛盾 故假设错误，所以直线 I与平面ABCD不平行.(方法二)因为梯形 ABCD中AD / BC,所以直线AB与直线CD相交，设AB CD=T.由CD , CD 平面PCD得 T 平面PCD.同理T 平面PAB.即T为平面PCD与平面PAB的公共点，于是 PT为平面PCD与平面PAB的交线.所以直线I与平面ABCD不平行.B18.如图，在三棱柱 ABC

3、- ABG 中，AB _BC,BC _BCi,AB=BG , E,F,G 分别为线段 ACi,ACi,BBi 的 中点，求证：(1) 平面ABC _平面ABG ;(2) EF / 面 BCC1B1 ；(3) GF 平面 ABA【解析】 TBCABBC _ BC1ABflBG =B-BC _ 平面 ABC17 BC 平面ABC.平面ABC _平面ABC1(2) ：AE =EG，AF =FG, EF/AA:BR/AAEF / BB1：EF 二面 BCCQ . EF / 面 BCC1B1 ；(3) 连接EB，则四边形EFGB为平行四边形:EB _ ACFG _ AC1:BC _ 面ABG B1C1

4、_ 面 ABGBQ _BE FG _ BG'T BQ1 P| A G = GGF _ 平面 AB1C1 o9.在四棱锥 0 ABCD中，底面 ABCD为菱形，0A丄平面 ABCD , E为OA的中点，F为BC的中点, 求证：（1）平面 BDO丄平面 ACO ；（2）EF 平面 OCD.【解析】 证明：I OA _平面ABCD , BD二平面 ABCD，所以OA _ BD ,/ 四边形 ABCD 是菱形， AC _BD，又 OA AC =A , BD _平面 OAC ,又 BD：_平面OBD , 平面BDO _平面ACO .1取OD中点M，连接EM ,CM，则ME | AD,ME =丄A

5、D ,2/ 四边形 ABCD 是菱形， AD/BC,AD =BC ,1 F 为 BC 的中点， CF | AD,CF AD ,2 ME | CF,ME =CF . 四边形EFCM是平行四边形， EF / CM ,又EF 二平面 OCD , CM 平面 OCD . EF | 平面 OCD .10.如图I，等腰梯形 ABCD中，AD / BC, AB=AD，/ ABC=60°, E是BC的中点如图2,将厶ABE沿AE折起，使二面角 BAE C成直二面角，连结 BC, BD , F是CD的中点，P是棱BC的中点.求证：AE丄BD ;(2) 求证：平面 PEF丄平面 AECD ;(3) 判断

6、DE能否垂直于平面 ABC?并说明理由.【解析】(1)连接BE，取AE中点M ,连接BM ,DM .图1C图2ABE与.ADE都是等边三角形.BM _AE,DM _AE丁在等腰梯形 ABCD中，AD / BC , AB=AD , - ABC = 60 , E是BC的中点叮 BMflDM ,BM ,DM 二平面 BDMAE _平面 BDM ：BD 平面 BDM AE_ BD(2)连接CM交EF于点N，连接PN7 ME / FC，且ME = FC 四边形MECF是平行四边形 N是线段CM的中点?P是线段BC的中点PN / BM：BM _ 平面 AECD . PN _ 平面 AECD . + PN

7、平面 PEF .平面 PEF _ 平面 AECD(3) DE与平面ABC不垂直.证明：假设DE _平面ABC , 则DE _ AB:BM _平面 AECD . BM_ DETABpIBM =B， AB,BM 二平面 ABE. DE _平面 ABE.DE _AE，这与.AED =60：矛盾.DE与平面ABC不垂直.11.如图，在四棱锥 P - ABCD中，底面ABCD中为菱形， BAD =60 , Q为AD的中点。(1)若PA二PD，求证：平面 PQB _平面PAD ；(2)点M在线段PC上，PM二tPC，试确定实数t的值，使得MQB。【解析】(1)连 BD , 四边形 ABCD 菱形 AD =

8、 AB , . BAD =60CABD为正三角形丁 Q为AD中点AD _ BQPA=PD Q 为 AD 的中点，.AD _ PQ又BQ门PQ二QCAD _平面PQB , AD 平面PAD平面PQB 平面PAD(2)当t二1时，使得PA I平面MQB，连接AC交BQ于N，交BD于0，则0为BD的中点，又；3为 ABD边AD上中线，.N为正三角形AC - 3a。/ PA II平面MQBPA 平面fABD的中心，令菱形 ABCD的边长为a，则ANP AC平面PAC 平面MQE.PA |MNPMPCANAC.3a3,3a即：PM J PC3BQa ,12.如图，四边形 ABCD是菱形，PA丄平面ABC

9、D , M为PA的中点.(I)求证：PC/平面BDM ;(H)若 PA=AC = 2 , BD = 2 3，求直线 BM 与平面PAC所成的角.【解析】(I )设AC与BD的交点为0,连结0M.因为四边形 ABCD是菱形，则 0为AC中点.又M为PA的中点，所以 0M / PC.因为 0M 在平面 BDM 内，所以 PC /平面BDM.(H )因为四边形 ABCD是菱形，则 BD丄AC.又PA丄平面ABCD，贝U PA丄BD.所以BD丄平面PAC.所以/ BMO是直线BM与平面PAC所成的角.i因为PA丄平面 ABCD，所以PA丄AC.在Rt PAC中，因为 PA= AC = 2，贝y PC

10、= 2.1又点M与点0分别是PA与AC的中点，贝U MO = 2 pc = 1.1竺=73又 BO = 2 BD =3，在 Rt BOM 中，tan/ BMO = MO，所以 / BMO = 60 °a的等腰三故直线BM与平面PAC所成的角是60 :13. 一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长为a的正方形，左视图是直角边长为角形）如图所示，其中 M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点.（I）求证：GN AC;（n）求三棱锥F - MCE的体积；（川）当FG =GD时，证明AG/平面FMC .俯视图DF _BCEVE _FMCS BCECDFD S3AMCD-3ec

11、 Sm3BC【解析】(I )由三视图可知，多面体是直三棱柱，两底面是直角边长为 a的等腰直角三角形，侧面ABCD ,CDFE是边长为a的正方形.连结 DN，因为 FD_CD,FDAD ,所以，FD 一 面 ABCD FD 一 AC又 AC _ DN ,所以，AC面 GND , GN 面 GND所以GN 一 ACAMCD _Ve JMBC1 11.1 1 a1 3二一a a a _ _ ( a) a a _ a a a2 3 2 23 2 2= 6另解:1111 3VE _FMC =VM _CEFAD S CEFa a aa3'326(川)连结DE交FC于Q,连结QG因为G,Q,M分别是FD,FC,AB的中点，所以GQ/1CD1CDAM / 2，所以,AM /GQ ,AMGQ是平行四边形AG / QM AG 広面 FMC MQ u 面 FMC所以，AG 平面FMC14.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点。(1)求证：AC丄SD;(2)若SD丄平面PAC，在SC上取一点E，使 過 EC