2013李永乐复习全书(数一)例题(无答案)(第九章)

1、2013李永乐复习全书（数一）例题（无答案）（第九章）1、2、计算现x2+y2 ds，其中，L是圆周x2+y2=4x （见图9.1）. 计算积分 x2dx+（y-x）dy，其中L : （I）是半径为 a的上半圆周，起点A（a,0）,bl，0 ）（见图9.2）； （n） x轴上由3、4、5、6、7、A（a,0）到B（a,0）的直线段.将JJ f （x,y ）dxdy化为累次积分，其中 D为x2+y2 < 2ax与 D2 2x +y <2ay的公共部分（a>0 ）.图9.1x设D是由曲线a=1a>0,b>0 ）与x轴，y轴围成的区域，求I = ydxdy.D=川xdV

2、 , Q由三个坐标面及平面 x+y+2z=2围成.ffz2dS，其中是曲面 z=Jx2+y2 (0 < z <1 ). ffxyzdxdy,其中邑是 x >0,y >0,x2+y2+z2=1 的外侧.I1设 O二(x,y,z Jx2+y2+z2 <x+y+z+，求 I = JJJ(x+y+z )dxdydz.,4j计算计算x9、在极坐标变换下将JJ f （x,y ）db化为累次积分，其中D为x2+y2 < 2ax与x2+y2兰2ayD的公共部分（a>0 ）.10、求积分 I 二 JJ Jx2+y2dxdy，其中 D y=x与 y=x4 围成.D11、

3、利用柱坐标变换求三重积分：I = JJJzdxdydz, O : x2+y2兰z,12、将三重积分 JJJ f （x,y,z ）dV在三种坐标系下化为累次积分，其。是由 x2+y2+z2 兰 R2,+y2兰Z2, z>0所围成的区域.13、利用球坐标变换求三重积分 5I = UJ( Jx2+y2+z2 ) dV，其中Q222. cx +y +z <2.图 9.220 是由 x2+y2+z2 兰2z.14、15、I二Jjfdxdy，其中D为y=(存，y=x及x=0围成区域.DxI二JJeydxdy，其中D是由抛物线y2=x，直线x=0,y=1所围成.D16、I = fffxydV，其

4、中 C 由 z=xy，z=0，x+y=1 围成. Q17、2 2 2x y zI = HJy'dV，其中 0 由 p +每+ p=1(0<y <b、及 y=0 围成. Qa b c18D是Oxy平面上以A(1, ), B(-1,1 )和C(-1,-1 )为顶点的三角形区域，则I 二 Jjj1+2x2+3y2 sin (xy )+4 dxdy =19、2 2 2 2设空间区域1: x +y +z <R，2 2 2 2z>0 及。2 : x +y +z <R, x>0,y>0,z>0,则下列等式成立的是(A)川 xdV =4 川 xdV ；Q

5、Q(C)川 zdV=4 川 zdV ；QQ(B)川 ydV=4 川 ydV ；QQ(D)川 xydV =4 川 xydV .Q h20、求 I = ( X ds，其中 L 为 x + y =1.21、计算曲面积分l= (ax+by+cz+Y'dS，其中工是球面：x2+y2+z2=R2.I22、求 I=JjJD2y-xdxdy，其中 D : X <1,0<y <2.23、设D由抛物线y=x2,y=4x2及直线y=1围成用先x后y的顺序，将I = JJ f (x,y)dxdyD配置积分限化成累次积分.24、求 I = JJxydxdy， D 由曲线 x2+y2=2x+2

6、y-1 所围成.D25、计算三重积分 I = JJJ(x2+y2+z2 )dV ,其中。二(x,y,z k2+y2+z2 兰4,x2+y2+z2 兰4z. Q2 226、2 2 2= 2设 L 为曲线 <x +y +z a，常数 a>0，则 I =K ( xy+yz+zx )ds=I x+y+z=0,让27、求1 = 口ax dydz，其中工为下半球 z=a2-x2-y2的上侧，a>0 .mx2+y2+z228(I)设 S 为球面 x2+y2+z2=9，取外侧，则 JJzdxdy二.S(n)设 D 为平面区域：x2+y2 <4则 JJJx2+y2dxdy二D2 2 2

7、2(m)设 C 是球体：(x-a)+(y-b)+(z-c)< RU JJJ(xHy+z(VQ29、求 I 二 JJ(x -y )dydz+(y -z )dzdx+(z -x )dxdy， S 是上半椭圆面S2 2；2 + ：22 .+z =1(z >0 )取上侧.30、计算曲面积分 JJx2zcosYdS，其中曲面积分 工是球面x2+y2 +z2=a2的下部分,向上的法向量与 z轴正向的夹角.31、设0为曲面x2+y2=az与z=2a-Jx2 + y2所围成的空间区域，求它的体积，其中a>0 .2 2 12 232、求曲面x +(y-1 ) =1介于xOy平面与曲面z=-(x

8、2+y2 )之间的部分的面积.33、记Il为物体对I轴的转动惯量，h为对平行于I轴并通过物体质心的轴I的转动惯量,34、d为两轴之间的距离,设一均匀物体有两曲面M为物体的质量，证明：Il=Ii+Md2.X2 +y2=az，z=2a-Jx2+y2(a>0)所围成，求此物体质心.35、D2二(x,y jx2+y2 兰2 R2, D3二(x,y|X <R, y <r.则Ji,J2,J3之间的大小顺序为比较下列积分值的大小：(I) Iyi n2(x+y)dxdy, I2二 JHx+yjdxdy , I3二 jjsi n(x+y)TdxdyDD1由x=0,y=0x+y=,x+y=1围成

9、，则h, L 打之间的大小顺序为2(A) 11 <I2 <I 3(B) 13<I 2<11(C) 11 <I3<12( D) I 3<11 <I2(n) JJe" y dxdy,i=1,2,3,其中 D1 = (x,y jx2+y2 < R2,Di(A)J产J2<J3(B)J2<J3<J1( C)J1<J3<J2( D) J3<J2<J1 .36、设D是有界闭区域，下列命题中错误.的是的是(A) 若f (x,y )在D连续，对D的任何子区域D0均有JJ f ( x y) d =0，则Df

10、(x,y)三 0W Xy- D(B) 若f (x,y )在D可积，f (x,y )30但不等于0，则(x,y戶D)，则JJf (x,y )dcr>0.D(C)(D)37、设若 f (x,y )在 D 连续，JJ f 2(x,y )db=0，则 f (x,y )三 0 (x,y 戶 D )D若 f(x,y )在 D 连续，f (x,y )>0(x,y)迂 D )，则 JJ f(x,y)dcr>0.Df(x,y,z )在0R=(x,y,z 弦2+y2+z2 < R2连续，又 f(0,0,0)H0，则 Rt 0时,川 f (x,y,z )dV 是 R 的 Q38阶无穷小.求

11、I 二 JJJ (x+y+z ( dxdydz，其中 O ： x2+y2 <1,1.fi39、2222设S与S)分别为球面(x-a) +(y-b) +(z-c) <R，又f(x,y,z)在S上连续，求40、证：JJ f (x,y,z )dS二 JJ f(X +a, y + b,z +c )dS . 求 I = JJ(x2+y2+z2 pS，其中S(I) S : x2+y2+z2=2Rx；2 2 2 2(n) 8 : (x-a) +(y-b) +(z-c) =R设L为平面上分段光滑的定向曲线,P(x,y ),Q(x,y )连续.(I) L关于y轴对称，则i 0,若p关于X为奇函数,

12、r Pdx= <L 2 f Pdx,若p关于X为偶函数,I Liyj 0,若Q关于x为偶函数, L y prQdy,若Q关于X为奇函数,其中Li是L在右半平面部分.(n) L关于x轴对称，则=1 0，若P关于y为偶函数, Pdx= 2 L Pdx,若P关于y为奇函数,i 0，若Q关于y为奇函数,Qdy= Fl Qdy,若Q关于y为偶函数,其中L,是L在上半平面部分.42、设L为x + y =1,取逆时针方向，则曲线积分dx+dy 2x + y +x43、设分块光滑定向曲面S关于xy平面对称，S在xy平面上方部分记为 8,(方程为z=z(x,y )(x,y卢Dxy)下方部分记为S2，又设R

13、(x,y,z '在 S连续，求证:i0,若R关于Z为偶函数,严拠尸BjJRgz)dxdy,若R关于Z为奇函数,I S12 2 2 2 244、计算fl(x +y )ds,其中L为x +y +z =1与x+y+z=1的交线.45、交换累次积分的积分顺序:46、将极坐标变换后的二重积分1 取4jxI = J0 dx 点 f (xy )dy + ；1 dx J f (x,y )dy.ff f (r cos9 ,r sin 9)rdrd 9的如下累次积分交换积分顺序:D2a cF (r,日)dr，其中 F (r,0 尸f (r co史,rsinQ )r.47、481x+12x+133Idx y

14、dy+J0dxJx ydy+ J2 dx Jx ydy.11-xxy交换累次积分的积分顺序：IrJodxJo dyJo f(x,y,z)dz，改换成先x最后y的顺序.计算累次积分:49、50、求 I = 0 dxdyfyAA+zd乙将极坐标系中的累次积分转换成直角坐标系中的累次积分或相反：兀 sin 6(I) J兀d日J f(rcosQrsi n日)rdr写成直角坐标系下先对 y后x对积分的累次积分; L02P2R 2y 2R2JR2 2(n)计算 e-y dyj。gx dx+L2Re-y dy e-x dx251、计算JJr=(a>0 )，其中D是由圆心在点(a,a卜半径为a且与坐标轴

15、相切的圆周的D v2a-x52、53、较短一段弧和坐标轴所围成的区域.计算二重积分 JJ| x+y -2 dxdy，其中 D : 0<x<2,-2<y<2.D计算下列二重积分：(I) JJxydb ,D其中D是由曲线r=sin 2日0<日 < 围成的区域;V 2丿54、(n) JJxydb,D求下列二重积分：其中D是由曲线y= J1-x2,x2 + ( y-1 )2 =1与y轴围成的在右上方的部分1)I = ?(1+x2+y23D为正方形域：0<x<1,0<y<1 ；D(n) I = jj|3x+4ydxdy，其中 D : x2+y2

16、 兰 1 ；61、求下列曲面积分：(m)l = JJydxdy，其中 D 由直线 x=-1,y=0,y=2 及曲线 x二-J2y-y2 所围成.D55、求下列三重积分：(l) l = JJJxy2z3dV，其中 O 是由曲面 z=xy,y=x,z=0,x=1 所围成；(n)I 二川 y sin XdV ,其中 0 由 y= jx,y=0,z=0,x+z二一围成；Q x2(m)I=m(1+x4)dV,其中 0 由曲面 x2=y2+z2,x=1,x=2 围成.Q56、求下列三重积分：(I)1= JJJ(x2+y2 )dV，其中 O 由 z = 16(x2+y2 ),z=4(x2+y2 ),z=16

17、 围成；Q_ 5(n) l=UJ(Jx2+y2+z2 ) dV , 其中0由x2+y2+z2 <2z所确定;Q(m)l = UJxyzdV，其中C ： x2+y2+z2兰1位于第一卦限的部分.Q57、求下列三重积分：1(l) I 二川 dV，其中 0 是球体 x2+y2+z2 <R2(h>R)；Q Jx +y +(z-h )(n)I二川 zey'dV，其中 0： 1 < x+y <2,x > 0,y > 0,0 < z <3 ；fi(m)I = JJJ(x3+y3+z3 )dV，其中 0 是半球面 x2+y2+z2=2z(z 二1)

18、与锥面 zx2+y2 围成.Q58、求下列曲线积分：(I) I =Nl xy ds，其中 L :X2 y2+b = 1a>b>0)；”2! X = a(t -sin t )“斗(n) I二ry2ds,其中平面曲线L为旋轮线<, (0<t<2兀)的一拱;Ly =a(1-cost )(m) l=(x+y)ds，其中L为双纽线r2二a2cos2日(极坐标方程)的右面一瓣.59、求曲线积分 I = * (x+y )dx+(3x+y )dy+zdz，其中 C 为闭曲线 x=a s in 2t, y=2a costs in t2z= acost(0兰t兰兀),C的方向安t从0

19、到兀的方向.60、求下列曲面积分：(I) l = UydS，其中工是平面x+y+z=1被圆柱面x2 +y2=1截出的有限部分; I(n) l = JJzdS，其中II是锥面zx2+y2在柱体x2+y2兰2x内的部分.I2 2 2 2(I) I = JJxyzdxdy+xzdydz+z dzdx，其中工是 x +y =a 在 x>0 的一半被 y=0 和y=h(h>0)所截下部分的外侧；(n) l=JJxydzdx，其中S是由曲线x二ey2(0<y<a )绕x轴旋转成的旋转面，取外侧S71、62、求区域Q的体积V，其中0 ：由z=xy , x2 +y2 =a2, z=0围成.63、求区域O的体积V，其中O是班球面Z二J3a2-x2-y2及旋转抛物面x2 +y2 =2az所围成.64、求区域O 的体积，其中 O 是由曲面 z=y2(y >0),z=4y2(y >0),z二x.z=2x,z=4 所围成.65、求下列曲面的面积：(I)半球面z= J3a2-x2-y2及旋转抛物面2az=x2+y2所围立体的表面 S ；(n)锥面zx2+y2