立体几何怪难题-理科

1、立体几何提升训练【例1】如图，在四B P ABCD中，底面为直角梯形， AD/BC, BAD 90 , PAB C垂直于底面 ABCD, PA AD AB 2BC 2 , M , N分别为PC , PB的中点。(1)求证：PB DM ; (2)求BD与平面ADMN所成的角；(3)求 截面ADMN的面积。解：(1)证明：因为 N是PB的中点，PA AB,所以AN PB。由PA 底面ABCD ,得PA AD ,又 BAD 90 ,即 BA AD ,AD 平面PAB,所以AD PB , PB 平面 ADMN , PB DM。(2)连结DN ,因为BP 平面ADMN ,即BN 平面ADMN , 所以

2、BDN是BD与平面ADMN所成的角，在 Rt ABD 中，BD VBA2 AD2 2/2 ,在 Rt PAB 中，PB JPA2 AB2 2/2 ,故 BN -PB V2 ,在2BN 1Rt BDN 中，sin BDN 一，又 0 BDN , BD 2故BD与平面ADMN所成的角是 一。611(3)由M ,N分别为PC , PB的中点，得 MN BC ,且MN 1BC -,22又AD / BC，故MN AD ,由(1)得AD 平面PAB，又AN 平面PAB,故AD AN ,四边形ADMN是直角梯形，在Rt PAB中，PB J PA2 AB2 2我，AN 1PB 2 , 2_1 .1 1-5.2

3、截面 ADMN的面积 S(MNAD)AN (2) v2。22 24(1)以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz,如图所示(图略)1由 PA AD AB 2BC 2 ,得 A(0,0,0) , P(0,0,2), B(2,0,0), M (1-,1),D(0,2,0)因为uuu uuumPB DM(2,0, 2)(1,|，1)0,所以PBDM。(2)uuu因为 PBUUITAD (2,0,2) (0,2,0)0 所以PB AD ,又PBDMPB 平面ADMN ,即uuuPB (2, 0,2)是平面ADMN的法向量。BD与平面uuuADMN所成的角为 ，又BD ( 2, 2, 0)。贝U s

4、inuuur uuu| cos BD , PB |uunn uuuu |BD PBI 4uu-uuurI 4|BD|PB| J4 4 、.4 4因此BD与平面ADMN所成的角为一,6又0 ,万，故石，即BD与平面ADMN所成的角是【例2】如图，已知 ABCD AB1clD1是底面为正方形的长方体,ADiA 60, ADi 4,点P是AD上的动点.(1)试判断不论点 P在ADi上的任何位置，是否都有平面BPA1垂直于平面 AADi D并证明你的结论;(2)当P为ADi的中点时，求异面直线 AAi与BiP所成角的余弦值;(3)求PBi与平面AADi所成角的正切值的最大值.解：(i)不论点P在AD1

5、上的任何位置，都有平面 B1PAi垂直于平面 AAiDi.证明如下：由题意知， B1Al AD，B1A AA又 Q AA IA) ABi A 平面人人口 又A Bi 平面BiPAi平面B1PAi平面AA1D1 .(2)解法一：过点 P作PE ADi ,垂足为E ,连结BiE (如图)，则 PE / AA ,BiPE是异面直线AA与BiP所成的角.在 14庆人口1中.ADiAi60o AiADi30oAA1B1A1D1 AD12,A1E AD11,22BE JBA2 AE2 75.又 PE AAi V3.在 RtBiPE 中，B1P J53 2&cos B1PEPE 、,3.6b1p 2/2 T

6、异面异面直线AA1与B1P所成角的余弦值为36A解法二：以A为原点，A0所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示,A1(0Q QPA(0,0,2强,B1(2,0,0), P(0,1j3),uuiruuirA1A(0,0,2V3), B1P( 21,73)A1uuir uur cos AABPuuir uuirA1A B.P uuUZ TUnr_|AA|BF| 2,3 2 24C1一D1，异面异面直线 AA1与BP所成角的余弦值为、.6(3)由(1)知，B1Al 平面 AA1D1 ,BFA是PB1与平面AAD1所成的角,且 tan B1PAB1AAP2AP当AP最小时,tan B1PA 最大，这

7、时 A,P AD1,由 APAD1 AAAD12.332.3得 tan B1PA1二,即PB1与平面AA1D1所成角的正切值的最大值3【例3】已知PA 平面ABCD, PA AB AD 2, AC与BD交于E点，BD 2, BC CD ,(1)取PD中点F ,求证：PB 平面AFC。(2)求二面角 A PB E的余弦值。解法 1:(1)联结 EF，: AB AD , BC CD , AC=AC ADC ABC, . E 为 BD 中点，.F 为 PD 中点，PB/EF , PB平面 ACF联结 PE, PA AB AD BD 2,在等边三角形 ABD中，中线AE BD ,又PA底面ABCD ，

8、PA BD , BD 面 PAE ,.平面PAE 平面PBD。过A作AH PE于H,则AH 平面PBD ,取PB中点G,联结AG、GH ,则等腰三角形 PAB中，AG PB ,AH PB, PB 平面 AGH , PB GH , AGH是二面角A PB E的平面角等腰直角三角形 PAB中，AG J2,等边三角形 ABD中，AE J3, Rt PAE 中，AH23由，GHCOS AGHGHAG2_47 1=.，二面角A PB E的余弦值为277解法2:以AC、AP分别为V、z轴，A为原点，建立如图所示空间直角坐标系,. PA AB AD BD 2, BC CDABD是等边三角形，且E是BD中点,

9、. ABC ADC , AC BD则 A(0Q,0)、B(1,73,0)、D(1,质0)、1 .3F( 2亍 1)zE(0,V3,0)、P(0,0,2)、uuu _1 ) PB(1,V3, 2)、uuu FE(岩1)iuuPB1 uuuFE 2PB/EF,PB平面 ACF(2)设平面PAB、PBE的法向量分别为(xi,r 丫1，0) n2(X2,丫2,1)，.ur ur则r、%的夹角的补角就是二面角PBE的平面角;uuu AB_ uuu(1,百,0), PB(i, 3,2)uuuPE(0,五,2),ir由n1uurABuuuuuuuPBuun2 PEnr (行 10)uu%1)，ur ur c

10、os ni,n2iruuJ1 nlu|ni | |% |PB E的余弦值为【例 4】如图，11DE-DE. - DE.22已知 AB，平面AC=2,则B(3,0,1),E,(0,1,2).(x, y, z)为平面BCE的法向量CB 0,n CE 0,即2y 2zy z 0,令 z 0.显然,m (0,0,1)为平面ACD的法向量。E0),(0, 1,1)一C1,贝1J n设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为，则cos|m n |1| m| | n|245 ,即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为 45【例5】如图，在四棱锥 P ABCD中，PA!底面 ABCD/ DAB90AB/ CD AD

11、=CD=2AB=2 E, F 分另是 PC, CD的中点.(I )证明：CDL平面BEF;(n)设 PA k AB,且二面角E BD C为60 ,求k的值.DF解：(I)证明： DF/ABAB矩形 ABFDBF CDDAB 90PAL平面 ABCD ADL CD.由三垂线定理得E是PC中点F是CD中点PD CDEF PDEF CD - CD面 BEF(n)连结 AC且交BF于H,可知H是AC中点，连结EH,由E是PC中点，得EH/ PA, PA，平面 ABCD.得EHL平面 ABC作HML BD于M连结EM由三垂线定理可得EM_ BD.故/EMH二面角 E- BD- F的平面角，故/EMH60

12、0. Rt HBMh RtADBF,HM HB故DF BD/口 HM1/日得,得HM15在 RtEHM中,EH tan 60 , HM1得柢J3, k 2d5.25解法2: (I)证明，以A为原点，建立如图空间直角坐标系 A xyz.则 B(0,1,0) , C( 2,2,0) , D( 2,0,0).设 PA = k,则 P(0,0, k),(2,0,0)E( 1, 1,2), F( 2,1,0)uuur uurCD BE 0, 皿有 uuur uur则CD BF 0,uuir 得 CD (0,CD BE,CD BF,uuuuur2,0), BE ( 1,0节,BFCD 平面BEF.(n)Q

13、PA k(k 0),P(0,0, k),BCD的一个法向量uuirAP (0, 0, k),k -BE ( 1, 0, g), BD ( 2,1, 0).rruuu ruuur设平面BDE的一个法向量n(x,y,z),有nBE,且nBD,r uurk则 n Bur0,得 x 2z0,取x 1,得n 0, 2台 n BD 0,2x y 0,kAP nuuu r由 | cos AP n | cos60 ,AP n得一里=1, 得5k2k.5 ：22【例6】如图，在棱长都相等的四面体16. kABC中，点 弱棱AM中点,(1)设侧面ABCi底面BC所成角为a，求tan a .(2)设C臼底面BC而成

14、角为3,求cos 3 .(3)在直线BC是否存在着点F,使直线AF与C斯成角为90 , 若存在，试确定F点位置；若不存在，说明理由。答案：解：(1)连AF、DF,由4ABC及4BDC是正三角形，F为BC中点，得 AU BC, DFL BC, AF=DF / AFD为二面角 A-BC-D的平面角设棱长为 a,在 ABC中，AF=W3a, DF=W3a22在 AAFD 中，cos0 3 222 a a42 2a24tg 2,2(2)法一：. BCX面 ADF,面 ADFL面 BCDBC 面 BCD在面ADF中，过 E作EG! DF,贝U EG1面BCD连CG则/ 又AF=DF E为AD中点，故 E

15、F AD在 RtDEF中,EYa)212(2a)1,DE=- a ,由 EG2DF EF DE得EG在 RtCEG中,. 2fsin，贝U cos32a21、- 2 a a223a2二BC中点为M CD中点为N, y轴建立直角坐;6 A a6法二：设AOL面BCg O,则O为等边三角形，BCD为中心,以O为坐标原点，O所在直线为x轴,标系0-xyz ,设棱长为2a,则0(0,0,0)ON所在直线为y轴，OA所在直线为，A（0,0 ,迹 a）,C（国 a,a,0）,D（-2a,0,0）, 22E(-二 a,0, 3 a)(-2.3 a。a,-a,2.233 2a. cos=一4一2 : 6 a3

16、CE与面BC所成角的余弦值为cos.3(3)法一：设 F( a,y,0)AF/ 3 (wa,y, 32 6 、Ta)2a4 - 3 ay2a2 - 3F( y- a,-2a,0), 即 F 在 CB处长线上，且 FB=1 BC法二：设 AB c,AC a,CD b , . R C、F 三点共线，AFc (1)c又 AF CE*fb c- 1- c (1 )a (b a) 2311 ,3一AFc aAB222211AC CB AB22F在CB延长线上,且FB=- BC2【例7】如图，在四B隹PABCD,且 PA PDABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD底面AD ,若E、F分别为

17、线段点.(1)求证：直线EF PADPDCPAD B PD C (1)证明：连结AC ,在CPA中EF PA PA PAD EFPADEF /平面 PADPADABCD PAD I ABCDAD CD AD CDPADCD PA PA PD 遮 AD2PAD APD 2PA PD CD I PDPD M EMMF EMCD PDPD EFABCD PAPDC EF PDPDCPDPAEFMPADPDPADMFPDCEMFB PD CRtFEM1 EF PA2EM1 -CD2tan EMFEFEM2 a41 a222-AD O OP OF . PA22PD,PO AD侧面PAD底面ABCD,平面

18、 PAD 平面 ABCD AD ,PO 平面 ABCD ,而O,F分别为AD,BD的中点，. OF AB,又ABCD是正方形，故OF AD., PA PD 也AD,.PA PD,2OP OA以O为原点，直线OA,OF,OP为 x,y,z轴建立空间直线坐标系，.E为PC的中点，aD(二,0,0), 2/ a a a、E( a,a,-)4 2 4aP(0,0,2,B(2,a0),C(uuir(1)易知平面PAD的法向量为OFuuir(0,a,0)而 EF (-,0,-),2uuur uuuia a aOF EF (050)(4,0, 4)0EFPAD (2)uuuuPAaa uuuruuu uuu

19、1aa(,0,-), CD(0,a,0) PA CD(-,0,-)(0,a,0) 0,2222uuuPAuuurCD，从而 PA CD ,又 PA PD , PDI CD D,PA平面PDC ,而PA 平面PAD ,平面PDC平面PADuuu(3)由(2)知平面PDC的法向量为 PA(|,。,uuur设平面PBD的法向量为n (x, y, z) . . DP2).a a uuur*BD(a,a,0),，由UULrDPr uuur0,n BD0可得(1,1,1), cosr uuun, PA即二面角BPD C的余弦值为【例8】如图，在梯形ABCD中,umPAim un r uuri n PA1,

20、则 y 1,z1,Y6,二面角 B PD3C的正切值为2AB / CD, AD DCCB a,ABC 60 ,平面ACFE 平面ABCD,四边形ACFE是矩形,AEEF上.(1)求证：BC 平面ACFE；(2)当EM为何值时，AM /平面BDF ?证明你白结论；(3)求二面角(I )在梯形B EF D的平面角的余弦值.ABCD 中， AB/CD ,AD DCCB a,ABC 60四边形ABCD是等腰梯形,且 DCADAC30 , DCB120ACBDCBDCA 90AC BC 2 分又平面ACFE 平面BC 平面ACFEABCD ，交线为AC ，a,点M在线段(n)解法一、当 EM3 a时,3

21、AM / 平面 BDF ,5在梯形ABCD中，设AC BD N ,连接FN ,则CN : NA 1:2EM Ja,而 EF AC 3a EM: MF 1:2,7 分3MF/AN , 四边形ANFM是平行四边形，AM / NF 8 分又 NF 平面BDF , AM 平面BDF AM 平面BDF 9 分解法二：当EM 二3a时，AM /平面BDF , 3由（I）知，以点C为原点，CA,CB,CF所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，5则 C(0,0,0), B(0,a,0), A(春a,0,0), D(乌2-a,0), 2F(0,0,a), E(V3a,0,a)AM 平面BDF ,AM / 平面

22、BDFAM与FB、FD共面,也等价于存在实数n ,使 AM mFBEMtEFEM(- 3at,0,0)AMAE EM又FD, 3(Ta，1 a,2a)，FB (0,a,a)从而要使得:3at,0,a)m(0,a,a)nFDEF(-3a,0,0)-3at,0,a)na,2a, a)成立, 2maam3 一an21. an ,斛得t2an当EM工3 a时，AM 平面BDF 3（出）解法一、取EF中点EB中点H ,连结GH , DHDEDF,DG EFBC 平面ACFEBCEF又 EFBE2FCDE2,EFDB2FB,又 GH /FB ,EFGHADGH是二面角B EF D的平面角.在BDE中，DE

23、、2a,DB 、.3a,BEAE2 AB2,5aEDB 90 ,DH 是a.又DG2.5a,GH2.2a .2在 DGH中，由余弦定理得 cos DGH.101010即二面角B EF D的平面角的余弦值为 -10解法二：由(I )知，以点C为原点，CA,CB, CF所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则 C(0,0,0), B(0,a,0) , A(j3a,0,0),3a 1 八、d(V，2a,0)F(0,0,a), E(V3a,0,a)过 D 作 DG垂足为G .令FGFE (.3a,0,0)(-3a,0,0)，EF,CG CF FG ( 3a ,0,a),DGCGCD ( .33a,2-

24、a,a)2由 DG EF 得，DG EF 0,DG_ 1_ _(0a,a),即 GD(0, (a, a)BC AC,AC/EF, BCEF ,BFEF面角B EFD的大小就是向量角.FB (0,a,a)cos GD,FBGD FBGD FB.1010即二面角B EF DGD与向量FB所夹的的平面角的余弦值为1010【例9】如图，已知BCD 中,BCD90 , BC CD 1 , AB，平面 BCD , ADB 60 ,E、F分别是AC、AD上的动点，且(1)求证：不论为何值，总有平面AE AFAC ADBEF，平面(01) (2)若平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为ABC ;60 ,求

25、的值。解法一：(向量法) 过点C作Cz / AB Cz，平面 BCD:.BC CD如图，以C为原点,. AB,平面 BCD又在 BCD中， BCD 90又在BCD 中,建立空间直角坐标系 C xyz.BCD 90 , BC CD 1 BDvQ 又在 Rt ABD 中， ADB 60 AB髭 则 C(0,0,0), B(1,0,0), A(1,0, V6),D(0,1,0)(1)证明： C(0,0,0),B(1,0,0),A(1,0,逐)，D(0,1,0) BA (0,0, 6),CB (1,0,0),CD (0,1,0)，平面BA CD 0,CB CD 0 BA CD,CB CD又ABBC B

26、CDABC又在 ACD中，E、F分别是AC、AD上的动点,，不论 为何值，者B有 EF/CD ，EF，平面ABC 不论 为何值，总有平面 BEF，平面ABC且任AC又EF”(0AD平面BEF1)-AE 一,(2) AC，达臣二兄 JLC , AC (1,0,画，AEAC,0,又 Ab 0,0,灰， BE AE AB,0,16(1),(x, y, z)是平面BEF的法向量，则nBE,nEF 又EF /CD ,CD，; CD =(0,1,0),x , 6(1 )z06(1),y0 n (V6(1),0,),(0,0,1)是平面BCD的法向量，平面BEF与平面BCD所成的二面角为60“ n m co

27、s60|n |m|2 0,2 72或 2友 (不合题意，舍去)故当平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60一， AE解法二：，.- AE=2AC ,设 E (a,b,c),则(aAC1,b,c6)1,0, V6),a=1+ ,b=0,c= .,6(1),E (1+ ,0,n6(1),. BE(,0,76(1)。其余同解法(x, y, z)是平面BEF的法向量n BE,n BFAEAC.CEACAFAD(01)EMAbCEAc又在BCD 中,BCD90CD 1 BD又在RtABD 中,ADB60 AB,6 EM. 6(1又BMBCAEAcBC 1BMCME(1,0,.6(1)CNBCF(1

28、, , .6(1) BE,0, .6(1),BF)6(1 )zy .6(1.6(1),y(.6(1),0,)其余同解法)z 0【例10如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）被平面DEF所截而得.AB=2, BD=1, CE=3AF=a ,。为AB的中点.OCa 4 a/4 .3 DE ,3DF n(x,y,z)DE2zDF2x 3z3 2Z,(0,Q1),n(2DEml nDF a DP1210103. 3z6DE OP OD DP (1,0,1)(1, , 3,2) (1, 3 ,21)CP OP OC (1,3 ,21) (0, - 3,0) (1, .

29、3(1),21)CP DECP DF1 3(1) 2(21) 02(1) (a 1)(21) 0:a 2 aABCDAB 2, AD 1,E CD AE DAE D D D AEABCE AD EB AC ABDRt BCEBEBCCE2Rt ADEAE.DA2DP .2AB222BE2 AE2AEBEAEDABCE AE BE AED ADAEDADBEAC BE FADBEADED AD EBD AD AEDABDEBDBDFGBDFGABDAG FAGAC ABD 空 FBEC 1AB 2EF1EB3Rt AEF22,529AF AE2 EF2Rt EBDFGFBFG26 sin FAG

30、 9FGAF_3015ACABD,3015AAi- 3BAACBA ACBBi(1,0, 3),BC ( 1,、3,0)BCBC 平面 BCC1B10, BBi n 0n ( . 3,1,1) cos m, n 1202 02( 3)2 12 121.55 0(I)求侧棱AA1与平面AB,C所成角的正弦值的大小;uuirBC ,在直线AA1上是否存在点P,请确定点P的位置；若不存在，请说uuir由 cos=AA n _3_.6AA1 ?n 2 24uuur uur(n )已知点D满足BD BA使DP/平面ARC?若存在， 明理由.解：(I ).侧面AACC1底面ABC彳AO, AC于点O, 二

31、AO,平面ABC.又/ABChA1AC=60 ,且各棱长都相等, .AO=1, OA=OB=/3 , BOL AC.故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则(0,1,73).A(0, -1 , 0) , B( 73 , 0, 0) , Ai(0 , 0, V3), A0 , 1, 0) , AA ABJ3,2,J3,AC0,2,0 .设平面 ABC的法向量为 n=(x,y,1)则n空超x 2丫底解得n=(-1,0,1).n AC 2y 0iuur而侧棱AA与平面ABC所成角，即是向量 AA与平面ABC的法向量所成锐角的余角,，侧棱AA与平面ABC所成角的正弦值的大小为uuur

32、 _BD ( 2 . 3,0,0)uuiruuu uuur uur ,一 uur 一(II)/ BD BA BC,而 BA V3, 1,0 , BCV3,1,0 .又B(J3, 0, 0), 点D的坐标为D(- J3 , 0, 0).假设存在点P符合题意,则点P的坐标可设为P(0,uuurV, z). DP J3, y,z. DP/平面 ABC, n=(-1 ,0,1)为平面ABC的法向量,uuu.由 APuuur yAA，得一 .33, y 0.又DP平面ABC,故存在点P,使DP/平面ABC,其从标为(0,0, J3),即恰好为 A点【例14如图，棱柱 ABCABCD的所有棱长都等于 2,

33、 /ABB60。平面 AACQ平面 ABCD /AiAG60 。(I )证明：BDLAA;(n)求二面角 D AiA C的平面角的余弦值;( 山) 在 直 线CC 上 是 否存 在 点 P, 使& AA、0 n1 (1,0,0) &. .设&(x, y, z)n2ADBP .3.33AA1 BD 0 ( 2.3) 1 03 0y 、3z 0 取 1(1J3, 1).3x y 0BD ( 2.3,0,0)AA1 (0,1, . 3)n1n 2、55cos n1,n2-|n1 | |n2 |55CPCC1,P(x,y,z) (x,y 1,z)(0,1,、, 3) P(0,13 )BP ( . 3,

34、1, 3 )n!平面 DA1C1n3 A1C1 一_ 一 % (x3,y3,Z3)n3 DA12y30：/3x3 . 3z3不妨取n30(1,0, 1)BP/ n3 BP 0即,3 、30得1 AC1 E F A1D1 A1B1 AE BF BDD1 BFC1P ABCD EP/11 一E(2,0,1) B(1,1,0) F(1,-,1) AE1(2 ,0,1)一 1BF (0,2,1)BFC1 EP A(1,0,0)11 ,、MA (-, -,0) n (x,y,z) 2 2uur r cos MA, n一-1n BF y z 02n BC (x,y,z) ( 1,0,1) x z 0uur

35、 rMA n-uutr-r-|MA|n|x z一cz 1 n (1,2,1)y 2z3 P(x, y,0)0 x 1,0 y 16uurEP(x12,y, 1)uuu rEP n 01(x 2) 2y 1 0x 2y32Q031, 0 2y 2AiCluuu|EP|(x2）、(2y 1)21 5y2 4y 25EAB3BABuuuJ30I EP Imin- y5EPmaxABCD A1B1C1D1 EkAA ( I )求证:AE /平面 PBC ；（n）当k应时，求直线pa与平面PBC所成角的大小;（出）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心？解法一：（I）过 P作MN/ B1

36、C1,分别交 AB、DG于 M N,则 M N分别为A1B、DiG的中点，连 MB NC则四边形BCNM1平行四边形 E、M分别为 AR AB 中点，AE/ MB又MB 平面PBC，A1E/平面 PBG(n) 过 A作 AF，MB 垂足为 F,连 PF, ,BCL平面 ABBA, AF 平面 ABBA,AFXBC, BCA MB=B，AF,平面 PBC/ APF就是直线 AP与平面 PBC所成的角,设 AA=a,贝U AB=V2a, AF=2/3a , AP=V2a , 3sin Z APF=AF o所以，直线 AP与平面PBC所成的角是arcsin 0AP 33（山）连 OP OB OC则O

37、PL BC由三垂线定理易得 OBL PC, OCL PB,所以O在平面PBC中的射影是 PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是 PBC的重心，则4 PBC为正三角形。即 PB=PC=BC 所以 k 42。反之，当k二&时，PA=AB=PB=PC=B的以三棱锥 O PBC为正三棱锥, .O在平面PBC内的射影为 PBC的重心.解法二：以点。为原点，直线 OA、OB、OP所在直线分别为x、v、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB 2亚，则得 A(2,0,迪)、E(1,1,0)、P(0,0,彦)、B(0,2,0)、 kkC( 2,0,0)uuu(I )由上得A E(uur BC(2, 2

38、,0)、uuu 2 2PB (0,2,)TAE x BC y kuuuPB得(J平)2, 2,0)y (0,2,解得xuiuA E1 uuu BC2uuuPBQ BCPBAE平面PBCA1E /平面PBCJ2时，由P(0,0,2)、A(2,0,0)得uurPA(2,0, 2)、uurBCuuu(2, 2,0)、 PB (0,2, 2)设平面PBC的法向量为rn (1,uurBC uuu PB0 /曰 ,得0, 0rn (1, 1, 1)uuu ruu r PA ncos PA, n-uuurPA n直线PA与平面PBC所成角的大小为arcsinT.(m)由(I )知 PBC的重心G为3 3,

39、3kuJLT则OG (2 2 2,233 3k若O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心,uur则有OSOGuur BC uuu PBk .2)1，当k 应时，O在平面PBC内的射影恰好为 PBC的重心.【例17如图，侧棱垂直底面的三棱柱 ABC ABC1的底面ABC位于平行四边形 ACDE中，AE 2, AC AA1 4, E 60 ,点 B 为 DE 中点.(I)求证：平面A1BC 平面AABB1.(n )设二面角 A BC A的大小为 ，直线AC与平面A1BC所成的角为 ，求sin()的值.解：(I)方法一、在平行四边形 ACDE中， AE 2, AC 中点.ABE 60 , CBD 3

40、0 ,从而 ABC 90 ,即 AB BC又 AA1 面 ABC, BC 面 ABC AA1 BC,而 AAIAB A, . BC 平面 A1ABB1 BC 平面 A1BC.平面 ABC 平面 AABB1方法二、; AE 2, AC 4, E 60,点 B为 DE 中点. AB 2, BC 2石，AB2 BC2 16 AC2 ,AB BC又 AA 面 ABC , BC 面 ABC , AA BC ,而 AA I AB A ,，BC 平面 BC 平面 A1BC.平面 ABC 平面 AABB1(n)方法一、由(I)可知A1BBC , AB BC A1BA为二面角 A1 BC A的平面角，即 A1BA在 RtAAB 中，AB 2, AA1 4,A1B 2展,AA2.5AB5sin sin ABA, cosAB 5AB5以A为原点，建立空间直角坐标系 A xyz如图所示， _uur其中 A(0,0,4), B(、,3,1,0) , C(0,4,0) , AC (0,4,0),uur _uuir_AB ( .3,1, 4)，BC ( ,3,3,0), r uuur5 rn AB设n (x, y,z)为平面 ABC的一个法向量，则r uur0 ,