大学概率论与数理统计公式定理全套汇编

1、大学概率论与数理统计公式全集一、随机事件和概率1、随机事件及其概率运算律名称表达式交换律ABBAAB BA结合律(AB)CA(BC) ABC(AB)C A(BC) ABC分配律A(B C) AB ACA (BC) (A B)(A C)德摩根律A B ABAB A B2、概率的定义及其计算公式名称公式表达式求逆公式P(A) 1 P(A)加法公式P(A B) P(A) P(B) P(AB)条件概率公式P(B|A) 91P(A)乘法公式P(AB) P(A)P(BA)P(AB) P(B)P(AB)全概率公式nP(B)P(Ai)P(BAi)i 1贝叶斯公式（逆概率公式）P(Aj)P(BAj)P(Aj|B

2、)1P(Aj)P(BA) i 1伯努利概型公式Pn(k)Ckpk(1 p)nk,k 0,1, n两件事件相互独立相应公式P(AB) P(A)P(B) ； P(B|A) P(B) ； P(BA) P(BA) ；P(b|a) P(B A) 1；P(BA) P(B A) 1、随机变量及其分布1、分布函数性质P(X b) F(b) P(a X b) F(b) F(a)2、离散型随机变量分布名称分布律0- 1 分布 B(1,p)P(X k) pk(1 p)1k, k 0,1二项分布B(n,p)P(X k)Ckpk(1p)n k, k 0,1, ,n泊松分布P()kP(X k) e , k 0,1,2,

3、k!几何分布G(p)P(X k) (1 p)k1p, k 0,1,2,超几何分布H(N,M,n)P k P n kP(X k) M F M ,k l,l 1, ,min(n,M) Cn3、连续型随机变量分布名称密度函数分布函数均匀分布u (a, b)1,a x b f(x) b a0,其他0, x a x a F(x) , a x bb a 1,x b指数分布E()e x, x 0 f(x)Q 其他0,x 0F(xxn1 e , x 0正态分布N( , 2)(x )212 2f (x). exV2(t)21x2-F (x):e 2 d tJ 2标准正态分布N(0,1)2 x(、1T(x)方=e

4、x(t)21x2 2F (x)士ed tJ2三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布PiP(X Xi)P(X Xi,Y yj)pjPj p(y yj)P(XXi,Y yj)Pij2、离散型二维随机变量条件分布pijP(X XiY yj)P(X Xi,Y yj)曳,ip(丫 yj)Pj1,2Pjip(丫 yj x xoP(X Xi,Y yj)PijZ7T：,JP(X Xi)Pi1,23、连续型二维随机变量(X,Y )的联合分布函数F(X,y)yf (u, v)dvdu4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数边缘分布函数:XFx (x)f (u, v)dvdu边缘密度函数:f

5、x (X)f(x,v)dv5、yFy(y)f(u,v)dudv二维随机变量的条件分布fYx(yX)半决fx(X)fxY(Xy) 3fY(y)fY(y)f (u,y)du四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：E(X)XkPk连续型随机变量：E(X) xf(x)dxk 12、数学期望的性质(1) E(C) C,C为常数 EE(X) E(X) E(CX) CE(X)(2) E(X Y) E(X) E(Y) E(aX b) aE(X) bE(CiXiCnXn) CiE(Xi)CnE(Xn)若XY相互独立则：E(XY) E(X)E(Y)(4) E(XY)2 E2(X)E2(Y)3、方差：D(

6、X) E(X2) E2(X)4、方差的性质(1) D(C) 0DD(X) 0 D(aX b) a2D(X) D(X) E(X C)2 D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)若 XY相互独立则：D(X Y) D(X) D(Y)5、协方差：Cov(X,Y) E(X,Y) E(X)E(Y) 若 XY相互独立则：Cov(X,Y) 06、相关系数：XY (X,Y)4X2若XY相互独立则：XY。即XY不相关.D(X) , D(Y)7、协方差和相关系数的性质(1) Cov(X,X) D(X) Cov(X,Y) Cov(Y,X)(2) Cov(X1 X2，Y) Cov(X1，Y) Cov(X2，

7、Y) Cov(aX c,bY d) abCov(X,Y)8、常见数学分布的期望和方差分布数学期望方差0-1 分布 B(1, p)Pp(1 p)二行分布B(n,p)npnp(1 p)泊松分布P()几何分布G(p)1p1 p2 p超几何分布H(N,M,n)Mn 一NMM N mn N (1N ) N 1均匀分布U(a,b)a b2(b a)212止态分布N( , 2)2指数分布E()11五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若 E(X) ,D(X)2,对于任意0 有 PX E(X) DX) 或 PX E(X) 1 又口4 n4 n2、大数定律：若Xi Xn相互独立且n 时，-Xi D - E

8、(Xi) n i in i in n(1)右 Xi Xn 相互独X,E(Xi)i,D(Xi) i 且 i M 则： Xi E(X)(n)n-ni ii in _右Xi Xn相互独立同分布，且E(Xi)i则当n 时：-Xin i i3、中心极限定理(i)独立同分布的中心极限定理：均值为 ，方差为2。的独立同分布时，当n充分 大时有：N(0,i)n Xk n v k i Ynn(2)拉普拉斯定理：随机变量t2lim P n np x不Le 2 dtx .np(i p).2(n i,2(X)B(n,p)则对任意X有:n(3)近似计算：P(a Xk b) P(一 k ir nnXk nk ibn) (

9、b n )(a n )nn )( n )( . n )六、数理统计1、总体和样本总体X的分布函数F(x)样本(Xi，X2 Xn)的联合分布为F(Xi,X2 Xn)" F(Xk)k 12、统计量nnn 样本平均值：X 1 Xi (2)样本方差：s2 (Xi X)2 (Xi2 nX )n i 1n 1 i 1n 1 i 1(3)样本标准差:ns信“方样本k阶原点距:nAk1 Xik,k 1,2n i 1n_样本k阶中心距：Bk Mk - (XiX)k,k 2,3n i 1(6)次序统计量：设样本(X1，X2 Xn)的观察值(X1,X2Xn),将X1,X2 Xn按照由小到大的次序重新排列，

10、得到xXq)x(n),记取值为x(i)的样本分量为X6，则称X(1) Xj)X(n)为样本(X1,X2 Xn)的次序统计量。X(1) min(X1,X2 Xn)为最小次序统计量； X(n) max(X1,X2 Xn)为最大次序统计量。3、三大抽样分布(1) 2分布：设随机变量X1,X2Xn相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1),则随机变量2 X12 X2X2所服从的分布称为自由度为n的2分布，记为2 2(n)T房所服从性质：E 2(n) n,D 2(n) 2n设X2(m),Y2(n)且相互独立,则X Y 2(m n)t分布：设随机变量XN(0,1),Y2(n),且X与Y独立，则随机变量:的

11、分布称为自由度的n的t分布，记为Tt(n)(X )2性质： Et(n) 0,Dt(n) ,(n 2) limt(n) N(0,1)e 2 2n 2n2F分布：设随机变量U2(n1),V 2(n2),且U与V独立，则随机变量F(”2) "1所V r)2服从的分布称为自由度(r)1,n2)的F分布，记为FF(n1,n2)性质：设 XF(m,n),贝！J2F(n,m)X七、参数估计1、参数估计 定义：用(Xi，X2，Xn)估计总体参数，称(Xi,X2, Xn)为 的估计量，相应的(X3X2, Xn)为总体 的估计值。(2)当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值2、点估计中的矩估计法：(总体矩=样本矩)n离目攵型样本均值：X E(X) - Xi连续型样本均值：X E(X) xf(x, )dx n i 1/ n离散型参数：E(X2) Xi2n i 13、点估计中的最大似然估计最大似然估计法：Xi,X2, Xn取自X的样本，设X f(x,)或P(X