圆锥曲线综合题高考常见题型与分析(学生)讲解学习

1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除圆锥曲线综合题高考常见题型与分析本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题,从近几年的高考试题来看,除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外,在选择题或填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高,但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果.(1) 关于圆锥曲线的方程求解 ,一般是由定义法求曲线的方程或由已知条件直接求曲线方程 ,有时也会以求轨迹的形式出现 ,难度中等 .(2) 除了方程的求解 ,还有如下考查内容 ,圆锥曲线的弦长问题、最值问题、定点定值问题、探索性问题等 ,考查的知识点较多 ,能

2、力要求高 ,尤其在考查学生的运算求解变形能力上 , 此类问题体现的淋漓尽致 ,是高考试题中区分度较高的题目 .(3) 预测2015 年的高考 ,对本节知识的考查仍以解答题为主,选择的载体一般是椭圆,主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题,有时会与向量的共线、模和内积等联系起来;对于方程的求解 ,不要忽视轨迹的求解形式,后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查 ,探索类和存在性问题考查的概率也很高. 一、直线和圆锥曲线经典结论椭圆1. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相离 .2.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 .3.若 P0 ( x0x2+y2= 1 上，

3、则过 P0 的椭圆的切线方程是x0 xy0 y, y0 ) 在椭圆2b22 +b2 =1.aa, y0 ) 在椭圆 x224.若 P0 ( x02+y2= 1 外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则ab切点弦 P1P2 的直线方程是x02x + y02y = 1 .ab椭圆 x225.2+y2 = 1(a b 0) 的左右焦点分别为F1， F 2，点 P 为椭圆上任意一点ab12g，则椭圆的焦点角形的面积为SDF PF= b 2 tan g .?F PF122x2y26.椭圆a 2+b2 = 1 （ ab 0）的焦半径公式：| MF1 |= a + ex0 , | MF2 |=

4、 a -ex0 ( F1 (- c,0), F2 (c,0)M ( x0 , y0 ) ).227.AB是椭圆 x2 +y2 = 1 的不平行于对称轴的弦，M (x0 , y0 ) 为 AB的中点，则ab2b2x0kOM?kAB-b2，即 KAB。aa2 y0x2y28. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在 椭 圆a2 + b2= 1 内 ， 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是2x0 x + y0 y = x0 +a2b2a29. 若 P ( x , y )000y02.b2在 椭 圆 x2+ y2= 1 内 ， 则 过 Po的弦中点的轨迹方程是a2b2x2y2x0 x

5、y0 ya2+ b2 =a 2 +b2 .word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除双曲线1. 以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相交 .2. 以焦点半径PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切. （内切： P 在右支；外切： P 在左支）3.若000在双曲线x2-y2= 1（ 0）上，则过0 的双曲线的切线方P ( x , y )a2b2a0,bP程是 x02x - y02y = 1.ab4.若000在双曲线x2-y2= 1（ 0,b ）外 ，则过Po作双曲线的两条P ( x , y )a2b2a0切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1 2 的直线方程是x0 x-y0 y =

6、 1.P2b2a5. 双曲线x2y2= 1（ a 0,bo）的左右焦点分别为F1，F2，点 P 为双曲线上2 -b2acosg任意一点 ? F1PF2g ，则双曲线的焦点角形的面积为SDF PF2= b22 .1sin g2226. 双曲线 x2 -y2= 1（ a 0,b o）的焦半径公式： ( F1 (- c,0),F2 (c,0)ab当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时，| MF1 |= ex0 + a , | MF2 |= ex0 - a .当00)在左支上时，10,20M ( x , y| MF |= - ex + a| MF|= - ex - a7. AB 是双曲线x2y2M

7、 ( x0 , y0 ) 为2 -b2 = 1（ a 0,b0）的不平行于对称轴的弦，ab2 x0 ，即 K ABb2 x0AB 的中点，则 K OMK AB。a2 y0a 2 y08.若000在双曲线 x2-y2= 1（ 0,b0）内，则被Po所平分的中点弦P ( x , y )a2b2a的方程是 x02x -y02y =22x02 -y02 .abab000在双曲线x2-y2Po 的弦中点的轨迹9. 若 P ( x , y )a2b2 = 1 （ a 0,b 0）内，则过方程是x2-y2x0 x y0 ya2b2 =2 -b2 .a抛物线 y2= 2 px1.以焦点弦 AB为直径的圆与准线

8、l相切；2.x1 x2 =p2;43. y1 y2 = - p 2 ;4.?A'FB'90 ;p 2 p5. AB = x1 + x2 + p = 2( x3 + 2 ) = sin2 a ;word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除6. 1+1=2;AFBFP7. A、 O、 B三点共线；8. B、 O、 A 三点共线；P29.SDAOB =；2sin a10. SD2 AOB = ( P )3 （定值）；AB2P11.AF =1- cosa12. AB 3 2P；13. KAB= P ； y314.y 2;tan a =px 2-2；BF=P；1+ cosa15

9、.2= 4AF?BF ;A'B'16. 过抛物线 y 2= 2 px 上一点 M(x0,y 0) 的切线方程为y0 y m x0 x注意：过抛物线2= 2 px 上一点 M(x0,y0) 的切线的方程为：y0 y = -p( x+ x0 )y过抛物线 x2= 2 py 上一点 M(x0,y0) 的切线的方程为：x0 x = p( y+ y0 )过抛物线 x2= - 2 py 上一点 M(x0,y 0) 的切线的方程为：x0 x = -p( y + y0 )17. 过抛物线焦点弦的两端点的抛物线的切线的交点在准线上；过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点二、

10、20072014 广东高考圆锥曲线综合题回顾年份载 体求解2014椭 圆（1）求椭圆标准方程； （ 2）求点的轨迹方程2013抛物线（1）求抛物线方程； （2）求直线方程（ 3）求最值2012椭 圆（1）求椭圆方程； （ 2）存在性问题求最值2011圆（1）求点的轨迹方程； （ 2）求最值2010双曲线（1）求点的轨迹方程； （ 2）求值2009抛物线（1）求点的轨迹方程； （ 2）求最值2008椭 圆（1）求椭圆方程和抛物线方程； （ 2）存在性问题2007椭 圆（1）求圆方程；（ 2）存在性问题求最值三、圆锥曲线常考题型与解题策略题型 1：求轨迹方程解题策略：（ 1）熟练各种圆锥曲线的有关

11、定义、标准方程、性质；（ 2）认真审题；（ 3）列式求解；（ 4）查漏补缺下结论。特别注意：若所求的方程后面要用到，必须验算！word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除C : x2y2例 1. （ 2014广东）已知椭圆221(ab 0) 的一个焦点为 (5, 0) ，离心ab率为5 。3（ 1）求椭圆 C 的标准方程；（ 2）若动点 P(x0 , y0 ) 为椭圆外一点，且点P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程 .解 : (1)c =5, e = c =5 =5 ,a = 3,b2= a2 - c2 = 9- 5= 4,aa3椭圆 的标准方程为 :x2+y2= 1

12、.C9 4(2) 若一切线垂直 x轴,则另一切线垂直于 y轴,则这样的点 P共4个,它们的坐标分别为 (- 3,北2),(3, 2).若两切线不垂直于坐标轴 , 设切线方程为 y - y0 = k( x - x0 ),即y = k(x -x0 ) + y0 ,将之代入椭圆方程 x2+y2= 1中并整理得 :轾94222(9k+ 18k( y0- kx0 )x + 9 犏(y0-4 = 0,依题意,D = 0,+ 4) x- kx0 )臌即 :(18k)22轾22( y0-36犏(y0 - kx0 )- 4 (9k+ 4)= 0,- kx0 )臌即 4( y0 -kx0 )2 -4(9k2 +

13、4) = 0,( x02 - 9)k2 - 2x0 y0 k + y0 2 - 4= 0两切线相互垂直, k1 k2即y02 -4=-1, :2 -=-1,x0922= 13,显然(-3,北2),(3,这四点也满足以上方程,x0+ y02)点 P的轨迹方程为 x2 + y2 = 13.变式练习：1.(2014 辽宁 ) 圆 x2y24 的切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线 C :x2y21过点 P 且离心率为3.221ab（ 1）求 C1 的方程；（ 2）椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点，直线l 过 C 2 的右焦点

14、且与 C2 交于 A ，B两点，若以线段 AB 为直径的圆过点 P，求 l 的方程word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除2.2014 陕·西 如图，曲线 C 由上半椭圆 C1： y2 x222 1(a>b>0 ，y 0)和部分抛物线abC2： y x2 1(y 0)连接而成， C1 与 C2 的公共点为 A，B，其中 C1 的离心率为3.2(1) 求 a， b 的值；(2) 过点 B 的直线 l 与 C1， C2 分别交于点P，Q(均异于点A， B)，若 AP AQ，求直线l 的方程yPABOxQ题型 2：与圆锥曲线相关的最值问题解题策略： (1) 常用方

15、法有配方法、判别式法、导数法、函数单调性等;(2) 参数方程法 （三角代换法） , 把问题转化为三角函数问题， 利用三角函数的有界性 ;(3) 不等式法 , 通过基本不等式求最值 ;(4) 数形结合法 .解决最值问题一定要分清哪些量为变量 , 哪些量为常量 ; 解决此类问题要综合应用多种知识 , 注意问题切入点的突破 .x2y2例 2. 2014 ·四川 已知椭圆C：a2 b2 1(a>b>0) 的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形(1) 求椭圆 C 的标准方程(2) 设 F 为椭圆 C 的左焦点， T 为直线 x 3 上任意一点， 过 F 作 TF

16、 的垂线交椭圆 C 于点 P， Q.证明： OT 平分线段PQ(其中 O 为坐标原点 )；当 |TF|最小时，求点T 的坐标|PQ|a2 b2 2b，解： (1)由已知可得解得 a2 6， b2 2，2c 2 a2 b2 4，x2y2所以椭圆 C 的标准方程是 6 21.(2) 证法一：由 (1) 可得， F 的坐标是 ( 2，0) ，设 T 点的坐标为 ( 3， m)，m 0则直线TF 的斜率 kTF 3（ 2） m.word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除当 m0时，直线 PQ 的斜率 kPQ 1 .直线 PQ 的方程是 xmy2.m当 m0时，直线 PQ 的方程是 x 2，

17、也符合 x my 2 的形式设 P(x1， y1)，Q(x2， y2)，将直线 PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得x my 2，x2y2得 (m2 3)y2 4my 2 0，6 2 1.其判别式 16m2 8(m2 3)>0.所以4m 2y1 y2m2 3， y1y2 m2 3， 12x1 x2 m(y1 y2)4 m2 3.设 M 为 PQ 的中点，则 M 点的坐标为 6，2m2.所以直线 OM 的斜率 kOM m，23m 3m 3又直线 OT 的斜率 k m，所以点 M 在直线 OT 上，因此 OT 平分线段 PQ .OT3证法二：设T 点的坐标为 ( 3，m)， P( x1， y

18、1)， Q( x2， y2)， PQ 中点 M （ x0， y0），则x12y12x22y22=1y12y22x12x226=1，22626若 m=0，则 PQ 中点为 F，满足 OT 平分线段 PQ；若 m0 ，则 kFTm, kOTmy1y2x1x2x0, kPQx1x23( y1y2 )3 y03由 PQFT ，得m (x0)1my0kOTkOMO,M,T 花线3y03x0综上： OT 平分线段 PQ。 方一：由可得，|TF|m2 1，|PQ|（ x1 x2） 2（ y1 y2） 2（ m2 1） （y1 y2） 24y1y2 24m2 224（ m21）（ m 1）24· 2

19、2.m 3m 3m 3所以 |TF|1（m2 3） 21m2 14 42|PQ|24· m2 124m11 （ 44） 3243 .当且仅当 m2 1 24，即 m±1 时，等号成立，此时|TF|取得最小值m1|PQ |故当|TF|最小时， T 点的坐标是 ( 3， 1)或 (3， 1)|PQ|方二：由（1），得 x3是椭圆的左准线，离心ec2，由及椭圆第二定义，a6得word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除PQPF FQ2x26)2 6( m21)2( x1m2， TFm 162余略。变式练习：223.2014浙·江卷 如图，设椭圆C：x2y2 1

20、(a>b>0)，动直线 l 与椭圆 C只有一个公共ab点 P，且点 P 在第一象限(1) 已知直线 l 的斜率为 k，用 a， b， k 表示点 P 的坐标；(2) 若过原点O 的直线 l 1 与 l 垂直，证明：点P 到直线 l1 的距离的最大值为a b.·山东卷已知抛物线：2 2px(p 0)的焦点为，A为C上异于原点的任意4.2014FC y一点，过点A 的直线 l 交 C于另一点 B，交 x 轴的正半轴于点D，且有 | FA| | FD|. 当点 A的横坐标为3 时， ADF为正三角形(1) 求 C 的方程(2) 若直线 l1l ，且 l 1 和 C 有且只有一个

21、公共点E.证明直线AE 过定点，并求出定点坐标 ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除题型 3：与圆锥曲线相关的存在性问题求解策略： (1) 思路 :先假设存在 ,推证满足条件的结论 ,若结论正确则存在 ;若结论不正确则不存在 .(2) 策略 :当条件和结论不唯一时要分类讨论;当给出结论而要推导出存在的条件时 ,先假设成立 ,再推出条件 ; 当条件和结论都不知 ,按常规法解题很难时 ,可先由特殊情况探究 ,再推广到一般情况 .例3.(2 014深 圳 一 模 ) 如 图 ， 直 线 l : y x b(b

22、0) ， 抛 物 线C : y22 px( p0) ，已知点 P(2, 2) 在抛物线 C 上，且抛物线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值为 32 4（ 1）求直线 l 及抛物线 C 的方程；（ 2）过点 Q(2,1)的任一直线（不经过点 P ）与抛物线 C 交于 A 、 B 两点，直线 AB与直线l 相交于点 M，记直线 PA ， PB ， PM的斜率分别为 k1 ， k2 ， k3 问：是否存在实数，使得 k1k2k3 ？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由解：（ 1）（法一）点 P(2, 2) 在抛物线 C 上，p1设与直线 l 平行且与抛物线C 相切的直线 l方程为 yx m

23、，yxm,(2 m 2) xm20 ，由得 x2y22x,(2m2) 24m24 8m ，由0 ，得 m1方程为 yx1，则直线 l22两直线 l 、 l 间的距离即为抛物线C 上的点到直线 l 的最短距离，b1232有1 （舍去）2，解得 b 2 或 b4直线 l 的方程为 yx2 ，抛物线 C 的方程为 y22x （法二）点 P(2, 2) 在抛物线 C 上，p 1，抛物线 C 的方程为 y22x 设 M (t 2 , t（) tR) 为 抛 物 线 C 上 的 任 意 一 点 ， 点 M 到 直 线 l 的 距 离 为2t2bt2d2，根据图象，有 t2tb0 ，12d( t1)22b1

24、 ，22word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除t R ，d 的最小值为2b1 ，由 2b13 2，解得 b2 22224因此，直线 l 的方程为 yx2 ，抛物线 C 的方程为 y22x （ 2）直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 y1k( x2)，即 ykx2k1 ，ykx2k1,2 y4k20 ，由2 x,得 ky2y2设点 A 、 B 的坐标分别为A( x1, y1 )、 B( x2 , y2 ) ，则 y1y22， y1 y224kk，y12y1 222kk1，x12 y12y1， k2y2 22222 +8222( y1y2 ) 824k 2k1k 22

25、4kk2y12 y22y1 y22( y1y2 ) 423k4ykx2k1,k2k 1 ， yM4k 1 ，由x2,得 xMyk 1k14k122 k 1 ，k3k 1k1k22k3 2k123k1因此，存在实数，使得 k1k2k3 成立，且2 点评 :(1) 常常根据题意建立含有参数的等式或不等式,通过解等式或不等式求参数的值或范围 .(2) 建立关于某变量的一元二次方程,利用根与系数的关系或利用判别式求参数或参数的范围 .变式练习：22225.已知动圆P 与圆 F1:(x+ 3) +y= 81 相切 ,且与圆F 2:(x-3) +y = 1 相内切 ,记圆心 P 的轨迹为曲线 C;设 Q

26、为曲线 C 上的一个不在 x 轴上的动点 ,O 为坐标原点 ,过点 F 2 作 OQ 的平行线交曲线 C 于两个不同的点 M,N.(1) 求曲线 C 的方程 ;(2)试探究 |MN| 和 |OQ|2 的比值能否为一个常数?若能 ,求出这个常数 ;若不能 ,请说明理由 ;(3)记 QF2M 的面积为S1,OF2N 的面积为S2 ,令 S=S1+S2,求 S 的最大值 .word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除6. 在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 (0, )且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 +y 2= 1 有两个不同的交点 P 和 Q.(1)求 k 的取值范围 ;(2)设椭圆与

27、 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k,使得向量共线 ?如果存在 ,求出 k 的值 ;如果不存在 ,请说明理由 .22xy7.2014 邯·郸期末 已知点 F1( 1，0)，F2(1，0) 分别是椭圆C：a2 b2 1(a>b>0)的左、右焦点，点 P 1，2在椭圆 C 上2(1) 求椭圆 C 的标准方程(2) 设直线 l1：ykx m，l 2：y kx m，若 l 1，l2 均与椭圆C 相切，试探究在x 轴上是否存在定点M，点 M 到 l 1，l 2 的距离之积恒为1.若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由word 可编辑资料收集于网

28、络，如有侵权请联系网站删除题型 4：与圆锥曲线的弦长、距离、面积等有关的问题解题策略：（ 1）当直线的斜率是否存在未定时，用点斜式或斜截式表示直线时，需分类讨论；当直线与 y 轴不垂直时，可设直线为xtym 的形式。将直线方程与圆锥曲线方程联立, 构成方程组 , 得到型如 ax 2bx c0 的方程，判别式为，利用根与系数的关系设而不求计算弦长,设两交点为A 1, x 1 ,yB,2 ， x2 则 y|AB|= (1 k 2 )( x1 x2 )24x1 x2 (112 )( y1 y2 )24 y1 y2 =k直线 AB 的斜率）；（ 2）当涉及过焦点的弦长问题时 , 可考虑用圆锥曲线的定义

29、；（ 3）当弦过原点时，可考虑转化为极坐标方程解。例 4 (2014 大纲全国 ,理 21)已知抛物线C:y2= 2px(p> 0)的焦点为1 k 2· （ k 为 | a |F ，直线 y= 4 与 y 轴5的交点为P,与 C 的交点为 Q,且 |QF|= 4 |PQ|.(1)求 C的方程 ;(2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点 ,若 AB 的垂直平分线l'与 C 相交于 M、 N 两点，且 A、 M、 B、N 四点在同一圆上,求 l 的方程 .命题定位 :本题主要考查抛物线的定义、直线方程、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式等知识,体现数形结合的思想、函数方程思想 .对运算求解能力、分析问题和解决问题的能力、数学探究能力及综合运用知识的能力有较高的要求.解：（ I ）设 Q( x0, 4) ，代入 y2 =2 px ，得 x0 = 8 ,pPQ = 8 , QF = p + x0 = p + 8 .p22 pp + 8 = 5? 82 （舍去）或p = 2 ，由题设得 2p4p ，解得 p = - C 的方程为 y2= 4x ；（ II ）由题设知 l 与坐标轴不垂直，