实验五快速Fourier变换FFT及的应用

1、实用标准文案实验五快速 Fourier变换 (FFT) 及应用一、实验目的1. 验证频域采样定理。2.在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT 的理解，熟悉MATLAB中的有关函数。3. 应用 FFT 对典型信号进行频谱分析。4. 了解应用 FFT 进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中能够正确应用FFT。5. 应用 FFT 实现序列的线性卷积。二、实验内容1. 验证频域采样定理。利用 MATLAB产生一个长度为N 的三角波序列x( n) ，并完成以下要求：(1) 计算 N=30 时的 64 点 DFT ，并图示 x(n)和 X (k );(2)对 X (k ) 在 0,2上进

2、行点抽样，得到 X 1 (k ) X (2k ), k 0,1,31 ；(3)求出 X 1 (k) 的32 点 IDFT ，即得到 x1 (n) IDFT X1 ( k) ；(4)绘制出 x1 ( n)32 的波形，观察x1 (n) 32 和 x( n) 的关系，并加以说明。解： MATLAB程序清单如下：M=64;% 指定 DFT 点数N=30;% 指定序列长度n=0:N-1;xn=2*0:N/2,N/2-1:-1:1/N;% 产生幅度为1 的 N 点三角波序列精彩文档实用标准文案Xk=fft(xn,M);% 计算 Xk DFTx(n);Xk1=Xk(1:2:M);% 对 Xk 隔点抽取得到

3、Xk1xn1=ifft(Xk1);% 对 Xk1 作 IDFT 得到 xn1n1=0:2*M;xc=xn1(mod(n1,M/2)+1); %对 xn1 以 M/2为周期进行延拓subplot(2,2,1);stem(n,xn,'.');grid;title(num2str(M/2) '点三角波序列x(n)');subplot(2,2,2);k=0:M-1;stem(k,abs(Xk),'.');grid;axis(0,M,0,max(Xk);title(' 三角波序列x(n) 的 ' num2str(M) '点 DFT:

4、X(k)');subplot(2,2,4);k1=0:M/2-1;stem(k1,abs(Xk1),'.');grid;axis(0,M/2,0,max(Xk);title(' 隔点抽取X(k) 得到 ' num2str(M/2) '点 DFT:X_1(k)');subplot(2,2,3);stem(n1,xc,'.');grid;axis(0,2*M,0,max(xn1);title(' 序列 x_1(n) 的周期延拓 ');由程序运行结果可以看出，在频域0,2上采样点数小于离散序列x(n) 的长度时，

5、将产生时域混叠，不能由X1(k ) 来恢复出原序列x( n) 。只有当频域采样点数大于等于序列长度时，才能由频域采样X1(k ) 无失真的恢复出原序列x(n) ，即 x(n)IDFT X 1 (k ) 。2. 已知 x(n) 是 N1 点序列，序列的有值区间为0, N1-1 ， h(n) 是 N2 点序列，序列的有值区间为 0 ， N2-1，现将序列右移m 位，即序列的有值区间变为m, m+N1-1，然后对这序列做 N 点圆周卷积得 y(n) ，试问 y(n) 中哪个 n 值的范围对应于x(n)* h(n)的结果。精彩文档实用标准文案m=2;N=7;xn=1 2 2 1 -1 2;hn=one

6、s(1,4);y1=conv(xn,hn)% xn 和 hn 的线性卷积xn=xn zeros(1,N-length(xn);hn1=hn zeros(1,N-length(hn);yc1=ifft(fft(xn).*fft(hn1)% xn 和 hn 的 N 点圆周卷积hn2=zeros(1,m) hn;xn=xn zeros(1,N-length(xn);hn2=hn2 zeros(1,N-length(hn2);yc2=ifft(fft(xn).*fft(hn2)%xn 和移位后的hn 的 N 点圆周卷积3. 理解高密度谱和高分辨率频谱的概念。设 x( n)cos(0.48n) cos(

7、0.52 n)（1 ） 取 xn)xn ， n，求 X1(k);1 () 09（2 ）将（ 1）中的 x1 (n) 补零加长到0n99，记为 x2 (n)，求 X 2 (k );（3 ）增加抽样点的数目，取x3nx(n ，n，求 X3 (k);( ) 099L 程序清单如下：定义序列 x(n)精彩文档实用标准文案function y=xn(n)y=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n)+cos(0.51*pi*n);% 主程序清单clfxn=inline('cos(0.485*pi*n)+cos(0.51*pi*n)+cos(0.52*pi*n)','

8、;n');% 定义一个 inline 局部函数N1=10;N2=100;n1=0:N1-1;k1=n1;n2=0:N2-1;k2=n2;w1=k1*2*pi/N1;w2=k2*2*pi/N2;w3=w2;x1=xn(n1);Xk1=fft(x1);x2=x1 zeros(1,N2-N1);Xk2=fft(x2);x3=xn(n2);Xk3=fft(x3);subplot(3,2,1)精彩文档实用标准文案stem(n1,x1,'.');grid;title(' 信号 x_1(n),0<=n<=9');subplot(3,2,2)stem(w1/

9、pi, abs(Xk1),'.');grid;title('DFTx_1(n)');subplot(3,2,3)stem(n2,x2,'.');grid;title(' 信号 x_2(n), 将 x_1(n) 补零到长度N=100');subplot(3,2,4)stem(w2/pi, abs(Xk2),'.');grid;title('DFTx_2(n)')subplot(3,2,5)stem(n2,x3,'.');grid;title(' 信号 x(n),0<=n&

10、lt;=99');subplot(3,2,6)stem(w3/pi,abs(Xk3),'.');grid;title('DFTx_3(n)');4. 小信号的频域检测已知信号 xa (t)0.12sin( 2 f1 t)sin(2 f 2t)0.1sin(2 f3 t)精彩文档实用标准文案其中， f11Hz, f 22Hz , f 33Hz 。 x a (t ) 包含 3 各正弦波，但从时域波形看，似乎是一个正弦信号，很难看到小信号的存在，因为它被大信号所掩盖，取f s32Hz 进行频域分析。解： f s32 Hz ， tnTn / 32 ，故x(nT

11、)0.15sin( 2 n / 32)sin(4 n / 32)0.1sin(6 n / 32)L 程序清单如下：N=64; %序列的点数N 需要取整数个周期，否则会产生频谱泄漏fs=32;xn=inline('0.12*sin(2*pi*n/32)+sin(4*pi*n/32)-0.1*sin(6*pi*n/32)','n');n=0:N-1;k=n;x=xn(n);subplot(2,1,1)plot(n,x);grid;axis(0 N-1 -2 2);subplot(2,1,2)Xk=fft(x);stem(k*fs/N,abs(Xk),'.&#

12、39;);grid;axis(0 fs 0 max(abs(Xk);5. 利用快速卷积法计算两个序列的卷积已知序列 x(n)sin( 0.4n) R15 (n), h(n)0.9n R20 ( n)试利用快速卷积法计算这两个序列的卷积 y(n)x( n) * h(n) 。精彩文档实用标准文案解：快速卷积法的计算框图如下所示：x(n)L点FFTy(n)L 点 IFFTh(n)L点FFTL 程序清单如下：Nx=100;Nh=20000;n1=1:Nx-1;n2=0:Nh-1;xn=sin(0.4*n1).*(n1>=0 &n1<Nx);% 产生序列x(n)hn=0.9.n2.*

13、(n2>=0 &n2<Nh);% 产生序列 h(n)L=pow2(nextpow2(Nx+Nh-1);% 计算对序列x(n) 和 h(n)卷积后得到序列yn 的长度Xk=fft(xn,L);% 对序列 x(n) 作 L 点 DFTHk=fft(hn,L);% 对序列 h(n) 作 L 点 DFTyn=ifft(Xk.*Hk);6. 用 DFT 对连续频谱作分析设 xa (t )cos(200 t )sin(100 t)cos(50 t ) ，用 DFT 分析 xa (t ) 的频谱结构， 选择不同精彩文档实用标准文案的截取长度，观察截断效应，并试用加窗的方法减少谱间干扰。选

14、取的参数如下：（1 ）抽样频率 f s 400Hz ， T1/ f s ；（2 ）采用序列 x(n) xa (nT )w( n), w(n) 是窗函数，这里选取两种窗函数：矩形窗函数w( n)RN (n) 和 Hamming窗；（3 ）对 x( n) 作 2048 点 DFT ，作为 xa (t) 的近似连续频谱 X a ( j ) ，其中 N 为采样点数，Nf sT p, Tp 为截取时间长度，分别取3 种长度 0.04s,4 ×0.04s, 8×0.04s 。三、 课后上机练习：1. 已知三角波序列和反三角波序列分别如下式所示：三角波序列：n0n3x3 (n)8 n4n70 其它反三角波序列：4 n0n3x4 (n)n44n70 其它（ 1）观察三角波和反三角波序列的时域和幅频特性，用N8 点 FFT 分析序列x3 (n), x4 ( n) 的幅频特性， 观察两者的序列形状和频谱曲线有什么异同？绘出两序列及其幅频特性曲线；（ 2）