完整word版信息论公式总结

1、定义自信息自信息（单位：比特 / 奈特）联合自信息条件自信息互信息互信息（单位：比特 / 奈特）条件互信息离散?( ?) = - ?(?)()?= - ?(?)?(?|?)-?(?|?)?( ?;?) =?(?|?)?( ?)?=?(?)( )?(?)y 给 x 提供的信息量?( ?;?|?) =?(?|?)?(?|?)连续?( ?)?( ?;?) = ?(?)?(?)熵信息熵( )?（?） = - ?(?)（单位：比特 / 信源符号）?离散熵（单位：比特 / 扩展（ N 个）符号）（单位：比特 / 自由度）+?( ?) = - ?(?) ?(?)?- 差熵、微分熵? 0 ( ?) = - ?

2、(?) ?(?)? 0= - ?(?) ? 0绝对熵条件熵联合熵熵率?(?|?)= - ?(?(?|) ?)? ?= ?(?) - ?( ?| ?) ?( ?|?) ( 本质 )?= ?(?) ?(?|?)?( ?) = - ?( ?) ?(?)? ?1?1?( ?) = ?( ? ) =?( ?12 ?)?单位：比特 / 符号?( ?) = -? ?( ?)?(? ?)? 0?= - ?( ?) ?(?)?( ?) = - ?(?) ? ( ?) ?= - ?(?)?(?) - ?(?) ? ?连续随机变量的离散化+?( ?| ?) = -?( ?)?- ?(?|?)?( ?) ?( ?)

3、?(?)= -X =12?,是 X的联合概率密度N? ? ?( ?)N?(?) =1?1?(? ) =?( ?12 ?)?单位：比特 / 自由度平均互信息集合和事件之间集合之间平均条件互信息I(X;Y|Z)离散?(?|?)?(?;?) = ?(?|?)?（过渡）?(?)x 给 Y 提供的信息量，与事件自信息顺序不同?(?;?) = ?(?)?(?);?(?|?)= ?( ?) ?(?)? ?Y 给 X 提供信息量，与事件自信息顺序相同?( ?;?|?) = ?(?)(?;?|?)?连续+?(?)?(?)?(?)?(?)- 性质自信息、条件自信息、联合自信息之间的关系等式关系互信息、条件自信息、

4、自信息之间的关系平均互信息与熵的关系平均条件互信息和平均互信息的关系离散连续?( ?) = ?( ?) + ?( ?|?) = ?( ?) + ?(?|?)?( ?;?) = ?( ?) - ?( ?| ?)I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)=H(Y)-H(Y|X)I(X;Y)=H(X)+ H(Y)-H(XY)对比：?( ?;?) = ?( ?) - ?( ?| ?)?(?;?) = ?(?) + ?(?) -?(?)等式两边同时对 ?(?)求和则为上式?I(X;Y|Z) =I(X;YZ)-I(X;Z)I(X;Z|Y)=I(X;YZ)-I(X;Y)I(X;YZ)=I(X;Y|Z)+I(X;Y

5、)I(X;YZ)=I(X;Z|Y)+I(X;Z)?( ?| ?)?( ?| ?)?( ?| ?)?( ?;?) = ?= ?( )( | )?(?)?= ?( ?;?|?) + ?(?;?)等式两边对 ?(?)求和，得到?熵的性质性质各类熵之间的不等关系：对称性非负性 ?( ?) = ?(?,?) 01 ,?,2当且仅当某个 pi=1 时，取“ = “3扩展性4（可加性） ? ?1?2 ? =()?(?) + ?(? |?) + ?+ ?( ?|? ?)121? 1?-1（熵的链式法则）5（极值性） 离散最大熵定理：有限离散随机变量集合，当集合事件 等概率发生时，熵达到最大值 ( 无限情况下不

6、满足 )6确定性任何一事件为 1，熵为 07（上凸性）?( ?) = ?(?1,?2, ,?)是(?1 ,?2, ,?)上的严格上凸函数。熵不增加原理： H(Y|X) H(Y)证明：散度（单个事件不具有该性质）凡是事件不成立而平均成立的都要利用散度当且仅当 X，Y 互相独立时，取“ = “差别：1. 不具有非负性若整个积分区间概率密度值大于 1，则差熵值小于 02. 相对度量不是绝对度量3. 一 一对应变换条件下差熵可能发生变化可加性： ?( ? ? ) =12?(?) + ?( ?|?) + ? + ?( ?|? ?)121?1?-1熵的不增性：h(Y|X) h(Y)熵函数的唯一性互信息的性

7、质平均互信息的性质含义：条件越多，熵越小?(?12 ?) ?(?)?(?1?2 ?) ?(?)?=1?=1证明：熵不增原理，所以取等条件一致当且仅当各?独立时，取“ = ”尚不清楚互易性： I（x;y）=I(y;x)2.?时: I(x;y)=03.互信息可正可负（平均互信息非负）4任何两件事的互信息不大于任一事件自信息： （一件事情的自信息是任何其他事件所能提供关于该事件的最大信息量）?(?;?) ?(?), ?(?);?(?;?) ?(?), ?(?)非负性 I(X;Y) 01非负性 I(X;Y) 0证明：散度（单个事件不具有该性质）凡是事件不成立而平均成立的都要利用散度对称性 I(X;Y)

8、=I(Y;X)2对称性 I(X;Y)=I(Y;X)凸函数性I(X;Y) 是概率分布 p(x) 上的上凸函数是条件概率 p(yx) 下的下凸函数极值性I(X;Y) H(X),H(Y)与事件互信息性质一致?( ?;?) ?( ?), ?( ?) ;?(?;?) ?(?) , ?(?).5I(X;YZ) I(X;Z) , I(X;Y)含义：事件越多，提供的互信息越大6（平均互信息的链式法则）(?2)()()+ ?1?;? = ?;1? + ?;2?|?1()+ ?; ?|?12 ?-1平均条件互信息的性质非负性I(X;Y|Z) 0证明：散度（单个事件不具有该性质）凡是事件不成立而平均成立的都要利用散度补充概念：凸函数：多元函数 ?(?,?, , ?),若对（0 ? 1 ），及任意矢量?,? 有12?+ (1 - ?)? ?(?)+ (1 - ?)?(?则称为上凸函数，若当且仅当 ? = ?，或=0 或 1 时取“ = ”，则为严格上凸函数?定理：若?(?)?,? , , ?1，2， ，q，?= 1，是定义在区间上的实值严格上凸函数，则对任意一组? ?（x 可以为一维或多维）和任意一组?那么?=1 ? ?=1 ?(?) (Jason 不等式 )当且仅当 ?= ? = ? = ?，或k=1(1 kq