学案19导数的综合应用

1、镇江市丹徒高级中学 2015高三数学一轮复习理科导学案班级：高三 班 学号姓名总课题咼三一轮复习-导数总课时课题导数的综合应用课老型复习课教学1、应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围.目标2、能利用导数研究与函数的零点、万程和不等式有天的冋题.3、会利用导数解决某些实际问题.教学 重点应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围教学难点会利用导数解决某些实际问题.学法指导自主复习选修2-2第1章，回顾以前所学，在充分自学和小组讨论的基础上完成导学案。教学 准备导学案导学步步高一轮复习资料自主学习高考导数的综合应用 B要求教学过程师生互动个案补充第1课时：一、基础知识

2、梳理1.已知函数f(x)的区间(a,b)上为单调增函数，求参数值范围时，实质为问题.2.求函数f(x)单调增区间，实质为问题，但注意解集疋为疋乂域的子集 .3.不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题4.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y= f(x);(2)求函数的导数f' (x)，解方程f'：x) = 0 ；(3)比较函数在区间端点和f' (x

3、)= 0的点的函数值的大小，最大(/丨、.目.、)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答.二、基础练习训练1判断下面结论是否正确(请在括号中打“/或 “X”)(1)连续函数在闭区间上必有最值.( )(2)函数f(x) = x2-3x+ 2的极小值也是最小值.( )(3)函数 f(x) = Vx+ x 1 和 g(x) = 7x-x 1都是在x= 0时取得最小值1.( )2(4)函数f(x) = x In x没有最值.( )(5)已知x (0,，贝U sin x>x.( )(6)若a>2,则方程1x3 ax2 + 1 = 0在(0,2)上没有实数根.( )2.函数f(x) = x3

4、 + x2 + tx+ t在(一1,1)上是增函数，则t的取值范围是3.函数f(x)= x3 3ax a在(0,1)内有最小值，则 a的取值范围为.4 .设直线x= t与函数f(x) = x2, g(x)= In x的图象分别交于点 M , N,则当MN达到最小时t的值为15.函数 f(x) = 2ex (sin x+ cos x)在区间0, n上的值域为.6.从边长为10 cm x 16 cm的矩形纸板的四角截去四个相冋的小正方形，作成一个无盖的盒 子，则盒子容积的最大值为cm3.三、典型例题分析题型一：利用导数研究函数的性质例 1:设 a>0 ,函数 f(x) = aln-x.X(1

5、)讨论f(x)的单调性；求f(x)在区间a,2a上的最小值.随堂训练：1 2已知函数 f(x) = 2X + aln x.(1) 若a =- 1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2) 若a = 1,求函数f(x)在1 , e上的最大值和最小值；(3) 若a = 1,求证：在区间1 ,+ )上，函数f(x)的图象在函数g(x) =x3的图象的下方3第2课时： 题型二：利用导数求参数的取值范围 例 2:已知函数 f(x) = ln X+ a R), g(x)=丄.XX(1) 求f(x)的单调区间与极值；2(2) 若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0, e上有公共点，

6、求实数 a的取值范围.随堂训练：已知函数 f(x) = x3 3ax 1,0.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 若f(x)在x= 1处取得极值，直线y= m与y= f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.第17页共6页第3课时：题型三实际生活中的优化问题例3：某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y=+ 10(x 6)2,其中3<x<6, a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品 11千克.(1) 求a的值；(2) 若该商品的成本为 3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获

7、得的利润最大.随堂训练：(2008江苏17).如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点 A, B及CD的中点P处.AB = 20km , BC= 10km .为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区 域上(含边界)且与A, B等距的一点O处，建造一个污水处理厂， 并铺设三条排污管道 AO, BO, PO.记铺设管道的总长度为 ykm.dPf(1 )按下列要求建立函数关系式：(i)设/BAO=0 (rad),将y表示成。的函数；Jo(ii )设OP =x ( km )，将y表示成 x的函数； a (2)请你选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。

8、五、课堂总结：六、教(学)反思：七、课后作业1、步练P235 A组；2、一轮复习作业纸 19。课后作业(n)的最小值是一轮复习作业纸19:导数的综合应用1. 在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式xf' (x)<0的解集为_2. 已知函数f(x) = x2 + mx + In x是单调递增函数，则m的取值范围是 .3 .函数f(x)= x3 + ax2 + 3x 9，已知f(x)在x= 3时取得极值，则 a =.xF34. 若函数f(x)= xa (a>0)在1 ,)上的最大值为 丁，贝V a的值为.5. 已知函数y = x3 3x+ c的图象与x轴恰有两

9、个公共点，则c=.6. 已知函数 f(x) = x3+ ax2 4 在 x = 2 处取得极值，若 m、n 1,1，则 f(m) + f'7. 要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m .3 m，长和宽的和为20 m，则仓库容积的最大值为*8.已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f' (x)的图象如图所示，则对于任意 正确的是.(填序号) f(x)<0 恒成立；(X1 X2)f(X1) f(X2)<0 ；(X1 X2)f(X1) f(X2)>0 ；f(X1±X2)>fxk±f 2: f(X1于寻<仏丝.9.设 a 为实数，

10、函数 f(x)= ex 2x± 2a, x R.(1) 求f(x)的单调区间与极值；x 2(2) 求证：当 a>ln 2 1 且 x>0 时，e >x 2ax+ 1.10请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B, C，D四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E, F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE = FB = x (cm).(1) 某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x取何值？(2) 某厂商要求包装盒的容

11、积 V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.总课题咼三一轮复习-导数总课时课题导数的综合应用课K型复习课教学1、应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围.目标2、能利用导数研究与函数的零点、万程和不等式有天的冋题.3、会利用导数解决某些实际问题.教学 重点应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围教学难点会利用导数解决某些实际问题.学法指导自主复习选修2-2第1章，回顾以前所学，在充分自学和小组讨论的基础上完成导学案。教学 准备导学案导学步步高一轮复习资料自主学习高考导数的综合应用 B要求教学过程师生互动个案补充第1课时：一、基础知识梳

12、理1.已知函数f(x)的区间(a,b)上为单调增函数，求参数值范围时，实质为问题.2.求函数f(x)单调增区间，实质为问题，但注意解集疋为疋乂域的子集 .3.不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题4.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y= f(x);(2)求函数的导数f' (x)，解方程f'：x) = 0 ；(3)比较函数在区间端点和f' (x)

13、= 0的点的函数值的大小，最大(/丨、.目.、)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答.二、基础练习训练1判断下面结论是否正确(请在括号中打“/或 “X”)(1)连续函数在闭区间上必有最值.(V )(2)函数f(x) = x - 3x+ 2的极小值也是最小值.(V )(3)函数 f(x)=以+ x 1 和 g(x) = Vx-x 1都是在x= 0时取得最小值1.(x )2(4)函数f(x) = x ln x没有最值.(x )(5)已知x (0, j，贝V sin x>x.(X )(6)若a>2,则方程3 ax2 + 1 = 0在(0,2)上没有实数根.(X )2.函数f(x) =

14、 x3 + x2 + tx+ t在(一1,1)上是增函数，则t的取值范围是.答案t>53.函数f(x)= x3 3ax a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为.答案0<a<14 .设直线x= t与函数f(x) = x2, g(x)= ln x的图象分别交于点 M , N,则当MN达到最小时t的值为.答案乎5.函数 f(x) = 2ex (sin x+ cos x)在区间0,严上的值域为.答案1城6.从边长为10 cm x 16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒 子，则盒子容积的最大值为 cm3.答案 144三、典型例题分析题型一：利用导数研究函

15、数的性质例 1:设 a>0 ,函数 f(x) = aln-x.X(1) 讨论f(x)的单调性；(2) 求f(x)在区间a,2a上的最小值.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+),1 In xf，(x)= a x若a = 1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值； 若a = 1,求函数f(x)在1 , e上的最大值和最小值；2 3 、若a = 1,求证：在区间1 ,+ )上，函数f(x)的图象在函数 g(x) = 3X的图象的下方(1)解由于函数f(x)的定义域为(0,+),当 a= 1 时，f' (x)= X1 =X，1分令 f' (x)= 0得 x= 1 或

16、 x= 1(舍去),2 分当x (0,1)时，函数f(x)单调递减，3分当x (1 , + a)时，函数f(x)单调递增，4分(a>0),1 ln x由 f' (x) = a x2>0,得 0<x<e;由 f' (x)<0，得 x>e.故f(x)在(0, e)上单调递增，在(e,+)上单调递减./ f(x)在(0, e)上单调递增，在(e,+)上单调递减, f(x)在a,2a上的最小值f(x)min = min f(a), f(2a).1 a f(a) f(2a) = 2ln2,当 0<aw 2 时,f(x)min = In a;当 a

17、>2 时，f(X)min = 2-)随堂训练：1 o 已知函数 f(x) = ?x2+ aln x.1所以f(x)在x= 1处取得极小值为25分解 当a = 1时，易知函数f(x)在1 , e上为增函数，7分1 1 2二 f(x)min = f(1) = 2 , f(X)max = f(e) =+ 1.9 分1 2 2 3证明 设 F(x)= f(x)-g(x) =+ In x-3X ,212(1 x (1 + x+ 2x 则 F' (x) = x + - 2x2= 鸟!,11 分xx当 x>1 时，F ' (x)<0,1故f(x)在区间1 ,+s)上是减函数

18、，又 F(1) =- 6<0,在区间1 ,+s )上，F(x)<0恒成立.即f(x)<g(x)恒成立.13分因此，当a= 1时，在区间1,+)上，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的下方.14分第2课时：题型二：利用导数求参数的取值范围例 2:已知函数 f(x) = ln x+ a R), g(x)=丄xx(1) 求f(x)的单调区间与极值；(2) 若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0, e2上有公共点，求实数 a的取值范围. 思维启迪 (1)解f' (x) = 0,根据函数值的变化得到单调区间、极值；(2)构造函数F(x) = f(x)- g(x)，

19、通过F(x)的单调性和函数值的变化研究f(x)、g(x)的交点情况.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+),1 - In x+ af' (x)= -x2-.令 f' (x)= 0,得 x= e1-a,当 x (0, e1-a)时，f' (x)>0, f(x)是增函数；当 x (e1-a,+s)时，f' (x)<0 , f(x)是减函数.所以函数f(x)的单调递增区间为(0, e1- a,单调递减区间为e1-a,+),极大值为f(x)极大值=f(e1- a)= ea-1，无极小值In x+ a- 1(2)令 F(x) = f(x) g(x)=In x

20、+ 2 a则 F' (x) =2.x令 F，(x) = 0，得 x= e2-a;令 F，(x)>0，得 x<e2-a; 令 F，(x)<0，得 x>e2-a,故函数F(x)在区间(0, e2 a上是增函数， 在区间e?- a,+ g )上是减函数.当e2-a<e2，即a>0时，函数F(x)在区间(0, e2 a上是增函数， 在区间e2a, e2上是减函数,F(x)max= F(e2 a) = ea2.又 F(e1-a)= 0,由图象，易知当、/1 a ,2当 e <x < e ,2 a+1F(e)= e2 >0,0<x<

21、e1 a 时，F(x)<0 ;F(x)>0,此时函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0, e2上有1个公共点 当e2 a>e2,即卩aw 0时，F(x)在区间(0, e2上是增函数，2 a+1F(X)max= F(e ) =2 :e2a+1右 F(x)max= F(e ) =20，即1 w aw 0 时，e函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0, e2上只有1个公共点;若 F(x) max = F (e2) =a+ 1二2<0,即 a< 1 时,函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0, e2上没有公共点综上，满足条件的实数 a的取值范

22、围是1 ,+g).随堂训练：已知函数 f(x) = x3 3ax 1,0.(1) 求f(x)的单调区间；求m的取(2) 若f(x)在x= 1处取得极值，直线y= m与y= f(x)的图象有三个不同的交点, 值范围.解 (1)f' (x) = 3x2 3a= 3(x2 a),当 a<0 时，对 x R，有 f' (x)>0,当a<0时，f(x)的单调增区间为(g,+g).当 a>0 时，由 f' (x)>0,解得x<爭或由 f(x)<o，解得ya<x<寸a,当a>o时，f(x)的单调增区间为(一,寸a),(寸a,

23、 + m)，单调减区间为(一ya ya)./ f(x)在 x= 1处取得极值， f' ( 1)= 3X ( 1)2 3a= 0, a = 1.-f (x) = x 3x 1, f (x) = 3x 3,由 f' (x)= 0,解得 X1 = 1 , X2= 1.由中f(x)的单调性可知，f(x)在x= 1处取得极大值f( 1)= 1,在x= 1处取得极小值f(1) = 3.直线y= m与函数y= f(x)的图象有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图象可知：实数m的取值范围是(3,1).第3课时：题型三实际生活中的优化问题例3:某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量

24、y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y=-a + 10(x 6)2,其中3<x<6, a为常数.已知销售价格为5元x 3/千克时，每日可售出该商品11千克.(1) 求a的值；(2) 若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解 (1)因为x= 5时，y = 11,所以；+ 10= 11, a= 2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y=+ 10(x 6)1x 3所以商场每日销售该商品所获得的利润2 2f(x) = (x 3)+ 10(x 6)x 3=2 + 10(x 3)(x 6)2,3<x<6.从而

25、，f (x)= 10(x 6)2+ 2(x 3)(x 6)=30(x 4)(x 6).于是，当x变化时，f' (x), f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f' (x)+0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x= 4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x= 4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大随堂训练：(2008江苏17).如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD的两个顶点 A, B 及CD的中点P处.AB= 20km , BC = 10km .为

26、了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形 区域上(含边界)且与 A, B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道DPCAO , BO, PO.记铺设管道的总长度为 ykm .(1)按下列要求建立函数关系式：(i )设三BAO =日(rad)，将y表示成。的函数;(ii)设OP = x ( km )，将y表示成X的函数；(2)请你选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度 最短。【解析】本小题主要考查函数最值的应用.AQ 10(I)由条件知 PQ垂直平分AB,若/ BAO(rad)，则OA,故COS日 cos日10OB，又 op= 10 -10 tan v

27、 ,cosB10 10 所以 y = OA OB OP10 -10tan v ,cos日 cos日所求函数关系式为y = 20 _10si10 0 " Jcos日I 4丿若 OP=x(km)，贝U OQ = 10- x，所以 OA =OB= Jx2 20x +200所求函数关系式为 y = x 2 x2 - 20x - 200 0 _ x _ 10选择函数模型，y' j10coLcos"2010sinsi"10细cos2 二cos2 r' 1令y=0得sin日，因为，所以6=6JI,6当Be0, 时，yv0 , y是日的减函数；当f Tt Jl6

28、= 1 6'4，y >0 ,y是二的增函P位于线段AB的中垂线上,在矩形区域数，所以当二=时，ymin -10 10，3。这时点610>/3内且距离AB边km处。3五、课堂总结：六、教(学)反思：七、课后作业1、步练P235 A组；2、一轮复习作业纸 19。课后作业一轮复习作业纸19：导数的综合应用1. 在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于 x的不等式xf' (x)<0的解集为 答案(， 1) U (0,1)2. 已知函数f(x) = x2 + mx + In x是单调递增函数，则m的取值范围是 .答案 m2 23. 函数f(x)= x3 + ax2

29、 + 3x 9，已知f(x)在x= 3时取得极值，则 a =答案54. 若函数f(x)= x笃(a>0)在1 , +R )上的最大值为 彳，则a的值为答案 .315. 已知函数y = x3 3x+ c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=.答案 一2或26. 已知函数f(x) = x3+ ax2 4在x = 2处取得极值，若m、n 1,1,则f(m) + f' (n)的最小值是 答案 -137. 要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3 m，长和宽的和为20 m，则仓库容积的最大值为3m .答案300X1 , X2 R (X1半X2),下列结论*8.已知函数f(x)的定义域为R，其

30、导函数f' (x)的图象如图所示，则对于任意 正确的是.(填序号) f(x)<0恒成立； (捲X2) f(X1) f(X2)<0 ； (X1 X2) f(X1) f(X2) >0 ； f(宁竺； f(宁)<区竺答案9.设 a 为实数，函数 f(x)= ex 2x+ 2a, x R.(1) 求f(x)的单调区间与极值；x 2(2) 求证：当 a>ln 2 1 且 x>0 时，e >x 2ax+ 1.(1)解 由 f(x) = ex 2x+ 2a, x R 知 f' (x)= ex 2, x R. 令 f' (x)= 0,得 x= ln 2.于是当X变化时，f' (x), f(x)的变化情况如下表：X(g , ln 2)ln 2(ln 2 , + g)f' (X)一0+f(x)单调递减