初中数学竞赛讲义：第01讲-走进追问求根公式

1、第一讲 走进追问求根公式形如ax2+bx+c=0 (a=0)的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次 方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。求根公式xi2 =一bRb -4ac内涵丰富:它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元 ,2a二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问 题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入

2、、构造零值多项式等技巧与方法。【例题求解】【例1】满足(n2 -n -1)n42 =1的整数n有 个。思路点拨：从指数运算律、土 1的特征人手，将问题转化为解方程。【例2】设xi、X2是二次方程x2 +x3=0的两个根，那么xi3 Mx22 +19的值等于()A、一 4 B、8C、6D、0思路点拨：求出不、x2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如 x12 =3-x1, x22 =3 -x2。【例3】 解关于x的方程(a -1)x2 -2ax +a =0。思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分a1=0及a1#0两种情况讨论。【例4】设方程x2 -2x -1

3、 -4 =0 ,求满足该方程的所有根之和。思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。1111例5 已知头数 a、b、c、d互不相等，且 a十=b十一 =c + = d+=x ,试求x的值。b c d a思路点拨：运用连等式，通过迭代把 b、c、d用a的代数式表示，由解方程求得x的值。注：一元二次方程常见的变形形式有：2(1)把万程ax +bx+c=0 (a#0)直接作零值多项式代换；(2)把方程ax2 +bx+c =0 ( a ¥0 )变形为ax2 =-bx-c，代换后降次；(3)把方程ax2 +bx+c =0 (a/0)变形为ax2 +bx=-c

4、或ax2 +c =-bx,代换后使之转化关系或整体地消去x解合字母系数方程ax2+bx+c=0时，在未指明方程类型时，应分 a =0及a 00两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如 |x2 =x2 =x2。走进追问求根公式学历训练1、已知a、b是实数，且J2a+6 +bj2 =0 ,那么关于x的方程（a+2）x2+b2x =a1的根为。（1）32 1 ,2、已知x _3x_2=0,那么代数式 的值是。x -13、若 x2 +xy +y =14 , y 2 +xy +x =28 ,则 x + y 的值为。4、若两个方程x2+ax+b =0和x2+bx+a =0只有个

5、公共根，则（）A、a=bB、a+b=0C、a+b =1D、a+b=15、当分式一二有意义时，x的取值范围是（）一x 3x 4A、x <-1B、x >4C、 "<x<4 D、x#1 且 x046、方程（x）x+1 -xx +1=0 的实根的个数是（） A、0 B、1 C、2 D、37、解下列关于x的方程：（1）（m-1）x2 +（2m1）x+m-3=0；（2） x2 -x _1=0；（3）x2+4x=62x。8、已知 x2 -2x -2 =0 ,求代数式(x -1) 2 +(x 并)(x 3) +(x 3)(x -1)的值。2.29、是否存在某个实数 m,使得万

6、程x +mx+2=0和x +2x+m =0有且只有一个公共的实根 就口果存在, 求出这个实数 m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由。注：解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而 不求，通过消去二次项寻找解题突破口。.2_2510、若 x 5x+1=0,贝U 2x 9x+3+=一 x2 111、已知m、n是有理数，方程 x2+mx+n =0有一个根是 752,则m + n的值为12、已知a是方程x2 _x_2000=0的一个正根。则代数式3十一2000的值为,20002ooo1 a13、对于方程x2_2x +2=

7、m,如果方程实根的个数恰为 3个，则m值等于()A、1 B、2 C、MD、2. 5214、自然数n满足(n2 _2n_2)n *7 =(n2 _2n _2),6 ,这样的n的个数是()A、2 B、1C、3D、415、已知a、b都是负实数，且1 +1 1一，那么b的值是( a b a b =0a432-15216、已知 x =719-873 ,求 x 6x J2x18x 23 的值。 x -8x 1517、已知 m、n是一元二次方程 x2 +2001x+7 =0的两个根，求(m2 +2000m+6)(m2+2002n+8)的值。18、在一个面积为l的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边

8、n等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为,求n的值。328119、已知方程x2 -3xy=0的两根a、P也是方程x4-px2+q =0的根，求p、q的值。20、如图，锐角 ABC中，PQRS是4ABC的内接矩形，且 Saabc = n S矩形pqrs,其中n为不小于3的自(：然数.求证：股需为无理数。AB参考答案口追问求根公式t例题求解】例1 4 提示：由n+ £ j。，/n 1工。得"N2,由/ 一抑一1 h 1杼注=-1+”=£ ；由/ ”一 1 = - 1且时十2为偶数，得出 =0.例 2 选 A 意有 _r? +皿一

9、3 =。.海+不一3Ko.即工f =3 不# =3一由，原式k1| * （3 力） -4（3 r ） + 19 = 3| -H + 4j3 + 7 = 3j-| 一3一此）十寸土+7K=451 +才±）十4=4X （ 1 ）+4 = 0例3 当4=1时，方程的根为当心0旦口关1时,方程有两个不相等的实数根为=注g二公3当" =。 du£11W- A时，方程有两个相等实根不=虫=0；当&。时，方程没有实数粮.例4 当2一10即时，原方程化为一2工一3 = 0,胡得凶=3出二一】（舍去）;当2工-1 =。即 L十时.代人原方 程不合，舍肉当WTV。即工时，原方

10、程化为/+2工一5=3解得箝=7一瘟=一1+描 / 舍去），故所 有根之和为3 + （ 1 -第 =2 一久,例 5 由巳知有：6= -；+代入 r+=_r 得学三一-7 + 1 =。，即 c/x1 （u4/4 1 ）j2 -（2d4）1+04+10*工一口 jr cut - 1aj- -ax 1 «又由d卜：=r得以d + l=g代入上面方程得5一口心一2工）=。，由已知dr金。，故/一2尸0,若尸0则d = c 矛盾；故有二=2,即上=土在，【学力训练】1. 1士商 2.23. -7或6 网方程相加,得5+山？ + "+"-42=。4+ D 5. D6. A当

11、工0时“-1（含去），当7 一 0时,原方程没有实根.当，一1时,L一班舍去.工当祐=1时且心时5.3 = 1 ，。） /猾",当小二】且用=出时，4=小=5$当机，1 HeV 日时,方程无实数根.|工|2 一 |#一1=0,|” = 1_或|川=1二/（舍去,故m±与运*=.* = -1,R= 一3 士 2 底,& I 原式=乳三一2工）-5=1.%假设存在符合条件的实数加旦设这两个方程的公共实根为始则I a7' + Ma + 2 = 0 一,得 f 例一2 ）（仃-1） =0Io 2a4" m0 "» 析=2 或 q=L当m

12、-2时，已知两个方程为同一个方程.且没有实数根.故m=2舍去f当。二】时，代人得m=-3,求得公共国为t二L10. 6 j + 1 -5jt. r+Xl一 192m十部=。11*3 代人有（9-2四+”）/（桶一4）相二。，则？解得e=4e=-1.I w 4 = 012. 吐与里&提示R =u+2000,出-& 二 2000 £a13* B 上=1 ±1 或r=1± 二一114. C 町M+/17= 16打16 或月工2府2 = I,?»* 一 2甘-2=一1-15. C16,工=4历，得了？+81+13 =。,代人原式-5.17. m2

13、 +200b/i + 7 = 0. +2OOln+7 = O,原式=(而 卜2001m+7 一 切-1)(/+2001+7 +1)=(一加-1)(勿+1)= "(mn+r?i4-n+l)«-(7-2001+ 1) = 1993.18. A|B = 3,CC =V.A】C 力1+( 一 "，过 C 作 CP 上 AC 于 P,则 RtZSA,3CsRtZCPG，得 GP二%±02杵=S>"=备； C P = 212” + 产心 得(”一4""40)=0,故" = 41.19. H2=3/-,则/，= (3-1)2=9/2-61+1代入第二个方程得9上2 - 6I+1 p*+q=0,整理为(9 ->>)/-61+(q+l)=0 ( * )(*)方程与方程31+1 = 0是同解方程，则孕=三=中朝得/>=