基本不等式很全面

1、基本不等式【知识框架】1、基本不等式原始形式（ 1）若 a, bR ，则 a2b22ab（ 2）若 a, bR ，则 aba 2b 222、基本不等式一般形式（均值不等式）若 a, b R* ，则 a b 2 ab3、基本不等式的两个重要变形（ 1）若 a,bR*，则 a bab2a2（ 2）若 a,bR*，则 abb2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当ab 时取“ =”4、求最值的条件： “一正，二定，三相等”5、常用结论（ 1）若 x0，则 x12 ( 当且仅当 x1 时取“ =”）x（ 2）若 x0，

2、则12 (当且仅当 x1=xx时取“ ”）（ 3）若 ab0 ，则 ab2 (当且仅当 ab 时取“ =”）ba（ 4）若 a, bR ，则 ab ( a b )2 a2b 222（ 5）若 a,b*1aba2b2R ，则11ab22ab特别说明：以上不等式中，当且仅当a b 时取“ =”6、柯西不等式（ 1）若 a,b,c, d R ，则 (a2b2 )(c2d 2 )(ac bd) 21（ 2）若 a1 , a2 ,a3,b1 ,b2 ,b3R ，则有：(a12a22a3 2 )(1 b12b22b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2（ 3）设 a1 , a2 , , an 与b

3、1 , b2, , bn 是两组实数，则有(a12a2 2an 2 ) ( b12b22bn2)(a1b1a2b2anbn )2【题型归纳】题型一：利用基本不等式证明不等式题目 1、设 a,b 均为正数，证明不等式:ab 211ab题目 2、已知 a, b,c 为两两不相等的实数，求证：a 2b2c2abbcca题目 3、已知 abc1，求证： a2b2c213题目 4、已知 a, b, cR ，且 abc1 ，求证： (1a)(1b)(1c)8abc题目 5、已知 a, b, cR ，且 a bc 11111，求证：11 8abc2题目 6、（新课 标 卷数学（理） 设 a, b, c 均为

4、正数 , 且 a b c1, 证明:1a2b2c2( )ab bc ca;( )c1.3ba题型二：利用不等式求函数值域题目 1、求下列函数的值域（ 1） y 3x21（ 2） y x( 4 x)2x2（ 3） y x1 (x 0)（ 4） y x1 ( x 0)xx题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）12 ，求函数y 2x 4的最小值；、已知 x42x4变式 1：已知 x2 ，求函数4的最小值；y 2x2x434变式 2：已知 x2 ，求函数 y2x的最大值；2x44x变式 3：已知 x2 ，求函数 y2x的最大值；2x4练习： 1、已知 x5 ，求函数y 4x 21的最小值；44x5题目

5、 2、已知 x51的最大值；，求函数 y 4 x 244x5题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）题目 1、当时，求 yx(82x) 的最大值；变式 1：当时，求 y4x(82x) 的最大值；4变式 2：设 0 x34x(3 2x) 的最大值。，求函数 y2题目 2、若 0x2 ，求 yx(63x) 的最大值；变式 ：若 0x4 ，求 yx(82x) 的最大值；题目 3、求函数 y2x 1 5 2x ( 1x5 ) 的最大值；22变式： 求函数 y4 x 311 4 x( 3x11) 的最大值；44题型五：巧用“1”的代换求最值问题题目 1、已知 a, b0, a2b1，求 t11 的最小值

6、；ab5变式 1：已知 a, b0, a 2b 2 ，求 t11 的最小值；ab变式 2：已知 x, y 0, 281 ，求 xy 的最小值；xy变式 3：已知 x, y0 ，且 119 ，求 xy 的最小值。xy变式 4：已知 x, y0 ，且 194 ，求 xy 的最小值；xy变式 5：（ 1）若 x, y0 且 2xy1，求 11的最小值；xy（ 2）若 a,b, x, y R且 ab1，求 xy的最小值；xy变式 6：已知正项等比数列an 满足： a7a6 2a5 ，若存在两项 am, an ，使得 am an4a114，求nm的最小值；6变式 7：若正数 x， y 满足 x 3y 5

7、xy，则 3x 4y 的最小值是（）2428A. 5B. 5C 5D 6变式 8：设 a0, b 0. 若3是 3a 与3b的等比中项，则11 的最小值为（）abA 1B 1C4D84变式 9：已知 ab 0 ，且 a b2 ，则21的最小值为a 3ba b变式 10：已知 0x 1， a0 ， b0a2b2，求 y的最小值 .x1 x变式 11：求 18(0 x3 ) 的最小值2x3 2x2变式 12：已知(0, ) ，求函数 f (14的最小值)2cos22sin变式 13：设正实数 a,b满足 a b2,则 1a 的最小值为a8b变式 14：【 2013 天津理】设 a + b = 2,

8、 b>0, 则当 a =1| a |时,取得最小值 .2| a |b7变式 15：设 a0, b1 满足 ab2 ，则a1 的最小值为b1a变式 16：已知a, b R 且 2a b114.，则 a2b2 的最小值是题型六：分离换元法求最值（了解）题目 1、求函数 yx 27x 10 ( x1) 的值域；x 12x8变式： 求函数 y( x1) 的值域；x2题目 2、求函数 y的最大值；2x5x1变式： 求函数 y的最大值；4x9题型七：基本不等式的综合应用题目 1、已知 log 2 a log 2 b1 ，求 3a9b 的最小值8题目 2、已知 a, b0，求 112 ab 的最小值；

9、ab变式 1：（ 2010 四川）如果 ab 0 ，求关于 a, b 的表达式 a2 11的最小值；aba( ab)变式 2：（ 2012 湖北武汉诊断）已知，当a0, a1 时，函数 ylog a (x1)1 的图像恒过定点A ，若点A 在直线 mxyn0 上，求 4m2n 的最小值；变式 3：【 2017 天津】若 a , bR , ab0 ，则 a44b41的最小值为ab题目 3、已知 x, y0 ， x2 y2xy8 ，求 x2y 最小值；变式 1：已知 a, b0，满足 abab3 ，求 ab 范围；9变式 2：已知 x, y0 ，111 ，求 xy 最大值；（提示：通分或三角换元）

10、2x2y3变式 3：已知 x, y0 ， x2y 2xy1 ，求 xy 最大值；题 目 4、（ 2013年山东（理）设正实数x, y, z满 足x234y2z0xy取得最大值, 则 当xyz时 ,212的最大值为（）（）xyzA 0B 1C9D 342变式： 设 x, y, z 是正数，满足x2y3z0，求 y的最小值；xz题型八：利用基本不等式求参数范围题目 1、已知 x, y0 ，且 ( x y)( 1a ) 9 恒成立，求正实数a 的最小值；xy102、已知 xy z 0且11n恒成立，如果 nN ，求 n 的最大值；（参考： 4）x yy zx z变式： 已知 a, b0 满则 142

11、 ，若 abc 恒成立，求 c 的取值范围；ab题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式(a , b, c , dR , 当且仅当 ab ；即 ad bc时等号成立 )若a,b,c,dR，则cd(a2b2 )(c2d )(ac)bd2、二维形式的柯西不等式的变式(1) a2b2c2d 2acbd(a , b, c , dR , 当且仅当 ab ；即 adbc时等号成立 )cd(2) a 2b2c2d 2acbd (a , b , c, d R , 当且仅当 ab ；即 adbc时等号成立 )cd(3)( ab)(cd )( acbd )211(a , b, c , d0 , 当且仅当 a

12、b ；即 ad bc时等号成立 )cd3、二维形式的柯西不等式的向量形式(当且仅当0, 或存在实数 k ,使 ak时 ,等号成立 )4、三维柯西不等式若 a1, a2 ,a3 , b1 ,b2 , b3R，则有：(a 2a2a 2 )(1b 2b2b2 ) (a b a b a b )2123123112233(ai , biR , 当且仅当 a1a2a3时等号成立 )b1b2b35、一般 n 维柯西不等式设 a1, a2 , , an与b1, b2 , , bn 是两组实数，则有 :(a12a2 2an 2 ) ( b12b22bn2) (a1b1 a2b2anbn )2(ai , biR

13、, 当且仅当 a1a2an 时等号成立 )b1b2bn【题型归纳】题型一：利用柯西不等式一般形式求最值题目1、设 x, y, zR ，若 x2y2z24，则 x2y2z 的最小值为时， (x, y, z)( 22 )2(2222( 2)222析：)1xyzxyz4936 x2 y2z 最小值为6此时 xyz622212212( 2)23x2 ， y4 ， z4333题目2、设 x, y, zR ，2xy2z 6，求 x2y2z2 的最小值 m ，并求此时 x, y, z 之值。Ans ： m4; (x, y, z)( 4 ,2 ,4 )33312题目 3、设 x, y, zR ， 2x3yz3

14、 ，求 x2( y 1) 2z2 之最小值为，此时 y（析： 2x 3 y z3 2x3( y1)z 0 ）题目 4、已知 a, b, c, a2b3c6, 则 a24b29c2 的最小值是(Ans : 12 )题目 5 、设 x, y, zR , 且满足 : x2y 2z21, x2 y3z14 , 求 xyz的值；题目6、求 2sin3 cossincos cos的最大值与最小值。 （ Ans ：最大值为 22 ，最小值为2 2 ）析：令 a(2sin ，3 cos ，cos )， b(1， sin ， cos )其中专业理论知识内容包括：保安理论知识、消防业务知识、职业道德、法律常13识

15、、保安礼仪、救护知识。作技能训练内容包括：岗位操作指引、勤务技能、消防技能、军事技能。二培训的及要求培训目的安全生产目标责任书为了进一步落实安全生产责任制，做到“责、权、利”相结合，根据我公司2015 年度安全生产目标的内容，现与财务部 签订如下安全生产目标：一、目标值：1、全年人身死亡事故为零，重伤事故为零，轻伤人数为零。2、现金安全保管，不发生盗窃事故。3、每月足额提取安全生产费用，保障安全生产投入资金的到位。4、安全培训合格率为100%。二、本单位安全工作上必须做到以下内容：1、对本单位的安全生产负直接领导责任，必须模范遵守公司的各项安全管理制度，不发布与公司安全管理制度相抵触的指令，严

16、格履行本人的安全职责，确保安全责任制在本单位全面落实，并全力支持安全工作。2、保证公司各项安全管理制度和管理办法在本单位内全面实施，并自觉接受公司安全部门的监督和管理。3、在确保安全的前提下组织生产，始终把安全工作放在首位，当“安全与交货期、质量”发生矛盾时，坚持安全第一的原则。4、参加生产碰头会时，首先汇报本单位的安全生产情况和安全问题落实情况；在安排本单位生产任务时，必须安排安全工作内容，并写入记录。5、在公司及政府的安全检查中杜绝各类违章现象。6、组织本部门积极参加安全检查，做到有检查、有整改，记录全。7、以身作则，不违章指挥、不违章操作。对发现的各类违章现象负有查禁的责任，同时要予以查处。8、虚心接