《2.4.1摆线的参数方程》导学案2

1、241摆线的参数方程导学案 2课前自主导学课标解读1.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚 动时圆上定点的轨迹(平摆线卜直线在圆上滚 动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解平摆线 和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参 数方程.2.通过阅读材料，了解其他摆线 (变幅平摆线、 变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的实例.知识梳理1.渐开线及其参数方程(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头逐渐展开，保持线与圆相切,线头的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆. (2)设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程是x= r cos 0+ 空in $y

2、= r sin(jcos $($为参数).2.摆线及其参数方程(1)当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点运动的轨迹叫做平摆 线，简称摆线，又叫旋轮线.x= r( ( sin 林设圆的半径为r，圆滚动的角为 購那么摆线的参数方程是($是参ly= r(1 cos数).思考探究1.圆的渐开线的参数方程中的参数$的几何意义是什么？【提示】 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r是指基圆的半径，而参数0是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B转过的角度，如图，其中的/ AOB即是角0显然点M由参数0惟一确定在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为 与三角

3、函数有关的问题，使求解过程更加简单.2.圆的摆线的参数方程中的参数0的几何意义是什么？【提示】同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数 0是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度参数的几何意义可 以在解决问题中加以引用，简化运算过程当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还 要注意其取值的具体情况.课堂互动圆的渐开线的参数方程已知圆的直径为2,其渐开线的参数方程对应的曲线上两点a、b对应的参数分别是n3和扌，求A、B两点的距离.【思路探究】先写出圆的渐开线的参数方程，再把A、B对应的参数代入参数方程可得对应的A、B两点的坐标，然后使用两点之间的距离

4、公式可得A、B之间的距离.【自主解答】根据条件可知圆的半径是1 ,所以对应的渐开线参数方程是x= cos 0+ 空in 0,y= sin 0 0cos 0（0为参数）,nn分别把0= 3和0= 2代入,32可得A、B两点的坐标分别为 A（3+Jn;3 '3 n6 ）,n 八B（2，1） 那么，根据两点之间的距离公式可得A、=6 V i 13 6 ；3 孑一6 n 36,3+ 72.B两点的距离为即A、B两点之间的距离为1 26、13-6 ,3 n 6 n 36 ；3+ 72.根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字母是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角.r是指基圆的

5、半径，参数$距离.当$=苧，n时，求出渐开线x= cos 0+ )sin y= sin 0 $cos $上的对应点A, B，并求出A, B的（3n3 nx c，【解】将0= 3n代入参数方程，得s2姑1.把0=尹入方程，得s 27= 1.3n A( n, 1)，点 B(2, 1)因此 ABi=、y（扌+ 2冗$+°+1 丫=2 話 n+1,故点A、B间的距离为2 , n+ 1.圆的摆线的参数方程已知一个圆的摆线过一定点（2,0）,请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程.x= r（ 0 sin 01【思路探究】根据圆的摆线的参数方程'戶（0为参数）

6、，只需把点（2,0）y= U1 cos 0）代入参数方程求出r的表达式，根据表达式求出r的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可.【自主解答】 令y= 0,可得r（1 cos 0）= 0,由于r>0,即得cos 0= 1,所以0= 2kn k代入 x= r( 0 sin 0),得 x= r(2kn sin 2kn)又因为 x= 2, (1)将消去ly= 5 + 5si n t参数 t,化为普通方程(x 4)2 + (y 5)2= 25,即 6： x2 + y2 8x 10y+ 16= 0.x= pcos 0,22将代入 x2 + y2 8x 10y+ 16 = 0 得ly= ps

7、in 02 p 8 pcos 0 10 psin B+ 16= 0.所以Ci的极坐标方程为 p 8 pcos 0- 10 pin 0+ 16= 0.C2的普通方程为x2 + y2 2y = 0.了x2由1 2X+ y2 8x 10y+ 16 = 0,+ y2 2y= 0,解得r=1,y= 1x= 0,y= 2.所以C1与C2交点的极坐标分别为（羽，n，（2, n 所以r（2kn sin 2k n = 2,即得r =1 严Z） 一 1 1又由实际可知r>0，所以r = （k N +）.易知，当k= 1时，r取最大值为-.k n '，n代入即可得圆的摆线的参数方程为1（0为参数）x=

8、 n 0 sin 0 ,1 y=n1 cos 0x=cos 0+ 空in 0圆的渐开线的参数方程为（0为参数）.y=nsi n 0 0cos 0根据摆线的定义和求解参数方程的过程可知其中的参数0是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度.x= 4 0 4sin 0已知一个圆的摆线方程是 <,（0为参数），求该圆的面积和对应的圆的|y= 44cos 0渐开线的参数方程.【解】首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4,所以面积为16 n,该圆对应的渐开线的参数方程是：rx= 4cos 0+ 4 0sin 0,（0为参数）y = 4sin 0 4 0cos 0真题赏析傲材第42页习题2.4,

9、第2题）当0= n，求出渐开线x = cos 0+ 帕in 0,上的对应点A, B，并求出点A , B间y = sin 0 0cos 0的距离.x = 1 + 6cos a，(2013大连模拟)已知圆C的参数方程是/(a为参数)和直线I对应的|y= 2+ 6s in a普通方程是x y 6 2 = 0.如果把圆心平移到原点0,请问平移后圆和直线有什么位置关系？(2)写出平移后圆的渐开线方程.【命题意图】本题主要考查圆的参数方程和圆的渐开线的参数方程等基础知识，以及直线与圆的位置关系，考查考生的转化与化归能力.【解】(1 )圆C平移后圆心为 0(0,0)，它到直线x y 6 2 = 0的距离为d

10、 =6 2 = 6,V2 恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的.x= 6cos 6+ 6 dsin 6,(2)由于圆的半径是6，所以可得渐开线方程是 t( 6为参数).|y= 6sin 6 6 6cos 6达标检测1.关于渐开线和摆线的叙述，正确的是()A 只有圆才有渐开线B 渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形C.正方形也可以有渐开线D .对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同【解析】不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立

11、平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.故选C.【答案】 Cx= 6(cos 6+ 6sin 6)2当6= 2 n时，圆的渐开线(：上的点是()|y= 6(sin 6 6cos 6)A. (6,0)B. (6,6 n)C. (6, 12 n ) D. ( n 12 n)【解析】 当6= 2 n时，代入圆的渐开线方程.x= 6(cos 2 + 2n sin 2=n)y= 6(sin 2 2 n cos = ： 12 n.【答案】 Cx= 3cos 0,3 圆（0为参数）的平摆线上一点的纵坐标为0,那么其横坐标可能是（）y = 3sin 0【

12、解析】x= 3 0 3sin 0,根据条件可知圆的平摆线的参数方程为（0为参数），把y|y= 3 3cos 0=0代入，得cos 0= 1,所以 0= 2knK Z).而 x= 3 0 3sin 0= 6knK Z)【答案】CC 6 n D 10 n4.半径为4的圆的渐开线的参数方程是【解析】由圆的渐开线的参数方程x= r(cos °+ )sin °) y= r(si n ° °cos 0°cos()+ )sin 0 ,得X= 4y = 4 sin 0空in ° .x= 4 cos 0+ 空in ° ,y= 4 sin ° gos ° .课后作业【答案】1.已知一个参数方程是X= 2+ tcos a, y= 2+ tsi n a,如果把t当成参数，它表示的图形是直线1（设斜率存在），如果把a当成参数（t>0），它表示半径为t的圆.（1）请写出直线和圆的普通方程;如果把圆平移到圆心在（0 ,