上海交通大学线性代数期末考试题0708 1线代B A卷推荐文档

1、线性代数考试题及答案一 单项选择题（每题 3 分，共 18 分）1 设 A ( aij ) 33的特征值为1， 2， 3， Ai j 是行列式| A | 中元素 ai j 的代数余子式，则 | A|1 (A11A22A33) （）a.21 ；b.11 ；c.11 ；d. 6。663001a11a12a132已知 P010，Aa21a22a23 ，若 P m APnA ，则以下选项中正确的是（）100a31a32a33a. m 5 ，n4 ；b. m 5 ，n 5 ；c. m4，n5 ；d. m 4 ，n 4 。3 n 维向量 1 ,2 ,s (3s n) 线性无关的充要条件是（）a存在不全为零

2、的数k1 , k2 ,ks ，使 k1 1 k 2 2k s s0 ；b1,2,sc1,2,s中任意两个向量都线性无关；中任意一个向量都不能用其余向量线性表示；d 1 , 2 ,s中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。4设 A ，B 是正定矩阵，则以下矩阵中，一定是正定矩阵为（其中k1 ，k 2 为任意常数）（）a. A B ；b.A B ；c. A B ；d. k1 A k2 B 。2a25已知矩阵 A22a，伴随矩阵 A0 ，且 A x0 有非零解，则（）a22a.a2 ；b. a2 或 a4 ；c. a4 ；d.a2 且 a4 。6设， 是非齐次线性方程组( EA) xb 的两个不同

3、的解，则以下选项中一定是A 对应特征值的特征向量为（）A卷第1页共6页a.；b；c ；d 。二 填空题 （每题 3 分，共 18分）010337设行列式D200， Ai j 是 D 中元素 ai j 的代数余子式，则Ai j 。003i 1j 18设 A 是实对称可逆矩阵，则将fX T AX 化为 fY T A 1Y 的线性变换为 _。1119设矩阵 A24x有特征值6， 2， 2，且 A 能相似于对角阵，则x _。33510已知0 是 n 维实列向量，矩阵A E kT ， k 为非零常数，则A 为正交矩阵的充分必要条件为 k。111111. 设 Aa1a2a3， b1，其中 ai 互不相同，

4、 i1,2,3 ，a12a22a321则线性方程组AT x b 的解是 _。12若实二次型f ( x1 , x2 , x3 ) x122x1 x22x224x32为正定二次型 ,则的取值范围为。三 计算题 （每题 8 分，共 48 分）x1x2xn 1xn yx1x2xn 1 yxn13计算 n 阶行列式：D。x1x2 yxn 1xnx1 yx2xn 1xnA卷第2页共6页x1x2114已知线性方程组x1x31 ，x1ax2x3b（ 1）试问：常数 a，b 取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？（ 2）当方程组有无穷多解时，求出其通解。11a115设 A1a1，1，已知线性方程组 Ax有解

5、但不唯一。试求：a112（ 1） a 的值；（ 2）正交矩阵 Q ，使得 Q T AQ 为对角矩阵。A卷第3页共6页100016设矩阵 A 的伴随矩阵 A*01001BA 13E 。求矩阵 B 。101，且 ABA0030817已知线性空间R3 的基1， 2， 3到基1， 2， 3的过渡矩阵为P ，且10122110 ， 21， 32； P322102430试求： (1)基1， 2， 3；(2)在基1 ,2 ,3 与1 ,2 , 3下有相同坐标的全体向量。A卷第4页共6页18设 A 为三阶实对称矩阵，且满足A2A 2E 0 已知 A对应特征值1 的特征向量有，T ,2T。 试求：矩阵 A， A

6、n10101，0，1。其中 n 为自然数。四 证明题 （每题 8 分，共 16 分）19设 A 为 n 阶矩阵，已知秩r ( A)r ( A2 ) 。试证：(1) 线性方程组Ax0 ，A2 x0 同解；(2)r ( A)r ( A3 ) 。A卷第5页共6页20设1 ， 2 ， 3 是 n 维非零实向量，k1 1k22 ， k1 ，k2 为使得0 的任意常数。以下结论若正确，请证明；若不正确，请举出反例。(1)若3 与1正交，且3 与2 也正交，则3 与正交。(2)若3 与1线性无关，且3 与 2 也线性无关，则3 与线性无关。参考答案（线代）一选择题 b d c a d b二填空题7. 11；

7、8.XA 1Y；9. x2 ；10 k2；11.10 0T；12.( 2, 2)。|2三计算题n (n1)n13.D(1) 2yn 1 ( yxi ) 。i 1A卷第6页共6页110114. （1） A01100a 20b 1a 2,b1 无穷多解；a 2 唯一解； a2, b1 无解（4分）x111（ 2） x20k1 ,k R（8 分）x30115. 解：（ 1）方程组AX有解但不唯一，所以r ( A)r ( A)3 ，故 a2。（2 分）（ 2） 特征值为13，23 ， 30 。（4 分）111263300Q021， QTAQ030。（8 分）6300011126316由 | A* |

8、| A |n 1 ，有 | A |38，得| A|2 。（2 分）用 A*， A 左右乘方程的两端，得(2EA* )B6E（4 分）100016000B 6(2E A*) 1601 0 00600（8 分）101060600306030117（ 1）设 A(1, 2, 3),B(1,2,3),则BAP ，故651111 ，28 ， 32 ；（2 分）1081（ 2）设所求向量的坐标为x，则 AxAPx ，即 A(PE) x0 ，因为 A 为可逆矩阵，得(PE) x 0 ，由（4 分）121101(P E)312011431000A卷第7页共6页T得 xk(1，1，1） ，故k( 1T23 )

9、k( 2，1，3）18 (AE)( A2E) 0 ，特征值1、 1、 2，2 ，特征向量(1,0,1)T ，011100011103 11A10001 01000200110020112301（ 6 分）（ 8 分）（ 2 分）（ 4 分）（ 6 分）An101110002011(2) n01(2)n100010101020（8 分）2011 00( 2)n10121(2) n01(2)n四 证明题19证： (1)因为 A2 xA( Ax)0，所以 Ax0 的解都是 A2 x 0的解，又 r ( A)r ( A2 ) ，故它们的解空间相同，因此它们同解。(2)A3 xA( A2 x)0 ，所以 A2 x0 的解都是 A3 x0 的解。反之，若存在0，使 A30，但 A20 。则由A3 x A2 ( Ax)0，知 A是 A2 x0 的解； A(A)A20，知 A不是 Ax0 的解。与 (1