勾股定理综合的难地的题目竞赛

1、实用标准文档1 如图，圆柱的高为10 cm，底面半径为2 cm.，在下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B 点处，需要爬行的最短路程是多少?2 如图，长方体的高为3 cm ，底面是边长为2 cm 的正方形 . 现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体侧面到达顶点 C 处，小虫走的路程最短为多少厘米?答案 AB=5BACCAB3 、一只蚂蚁从棱长为1 的正方体纸箱的B点沿纸箱爬到D点，那么它所行的最短路线的长是_ 。B CADB C4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为 8cm， ?长 BC ?为 10cm当小红折叠时，顶点D 落在 BC 边上的点F

2、 处（折痕为AE ）想一想，此时EC 有多长？ ?ADEBFC5如图，将一个边长分别为 4、8 的长方形纸片ABCD 折叠，使 C 点与 A 点重合，则 EB 的长是（）A 3B 4C 5D 5FADBCE精彩文案实用标准文档6已知：如图，在 ABC 中， C=90°， B=30°， AB 的垂直平分线交 BC 于 D，垂足为 E， BD=4cm 求 AC 的长7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6 ， BC=8 ，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使其落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 的长为CDAEB8、如图，在矩形ABCD 中， AB6,

3、将矩形 ABCD 折叠，使点B 与点 D 重合， C落在C处，若AE： BE 1：2 ，则折痕 EF 的长为。9、如图，已知：点E 是正方形ABCD 的 BC 边上的点，现将 DCE 沿折痕 DE 向上翻折，使DC 落在对角线 DB 上，则 EB CE _10、如图， AD 是 ABC 的中线， ADC 45o，把 ADC 沿 AD 对折，点 C 落在 C的位置，若BC 2，则 BC_ABCFAEDC题5图BDC精彩文案实用标准文档11如图 1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC 6cm， BC 8cm，现将直角边AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（）

4、A.2cmB.3 cmC.4 cmD.5 cmAEBCD图 112、有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm,BC=8cm, 现将直角边 AC 沿 CAB 的角平分线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，你能求出 CD 的长吗？CDBAE13、如图，在 ABC 中， B= 90 ， AB=BC=6 ，把 ABC 进行折叠，使点A 与点 D 重合， BD:DC=1:2 ，折痕为 EF，点 E 在 AB 上，点 F 在 AC 上，求 EC 的长。AFEBDC14已知，如图长方形ABCD中， AB=3cm ， AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点 D 重合，折痕为EF，

5、则 ABE 的面积为（）A、 6cm2B 、 8cm2C、 10cm2D、 12cm2AEDBFC第11题图15如图，将矩形ABCD 沿 EF 折叠，使点D 与点 B 重合，已知AB 3， AD 9，求 BE 的长精彩文案实用标准文档16、如图，每个小方格的边长都为1求图中格点四边形ABCD 的面积。DACB18如图 8，有一块塑料矩形模板ABCD ，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上 (不与 A 、 D 重合 )，在 AD 上适当移动三角板顶点P：图 8能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点 C？若能， 请你求出这时AP 的长

6、；若不能， 请说明理由再次移动三角板位置，使三角板顶点P 在 AD 上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与 DC 的延长线交于点 Q，与 BC 交于点 E，能否使 CE 2cm？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由21能 .设 AP x 米，由于 BP2 16+x 2，CP2 16+(10 x) 2，而在 Rt PBC 中，有 BP 2+ CP2 BC 2，即 16+x 2+16+(10 x)2 100，所以 x2 10x+16 0，即 (x 5)2 9，所以 x 5± 3，所以 x 8，x 2，即 AP 8 或 2，能 .仿照可求得 AP 4.19.如图

7、 ABC 中，ACB90 , AC12, BC5, ANAC , BMBC 则 MN=420、直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（）（ A） d 2S 2d（ B） d 2S d（ C） 2 d 2S 2d（ D） 2 d 2S d精彩文案实用标准文档a, bS1 ab解 :设两直角边分别为,斜边为 c ,则 c 2d ,2.由勾股定理 ,得 a2b2c2.2a22ab b2c24S 4d 24Sa b所以.所以 a b 2 d 2S .所以 a b c 2 d 2S 2d .故选（ C）21在ABC 中, ABAC1, BC 边上有 2006 个不同的点 P1,

8、 P2 , P2006 ,记 miAPi2BPiPCi i1,2,2006 ,则 m1m2m2006 =_.解 :如图 ,作 ADBC 于D ,因为 ABAC1,则 BDCD .由勾股定理 ,得 AB2AD 2BD2, AP2AD 2PD 2.所以AB2AP2BD2PD 2BDPDBDPDBP PC所以 AP2BP PCAB 212.因此 m1m2m2006 122006 2006 .22如图所示，在RtABC 中,BAC90 ,ACAB, DAE 45 ,且 BD 3 ,CE4,求 DE的长 .解 :如右图：因为ABC 为等腰直角三角形 ,所以 ABDC45 .精彩文案实用标准文档所以把AE

9、C 绕点 A 旋转到AFB ,则 AFBAEC .所以 BFEC4, AFAE , ABFC45 .连结 DF .所以DBF 为直角三角形 .由勾股定理 ,得 DF 2BF 2BD 2423252.所以 DF 5.因为DAE45 ,所以DAFDABEAC 45 .所以ADEADF SAS.所以 DEDF5 .23、如图，在 ABC 中， AB=AC=6 ， P 为 BC 上任意一点，请用学过的知识试求PC·PB+PA2 的值。ABCP24、如图在 Rt ABC 中 , C 90 , AC 4, BC3 ，在 Rt ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形

10、。如图所示：要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形）解：要在 RtABC 的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识。下图中的四种拼接方法供参考。10实用标准文档25如图， A 、B 两个村子在河CD 的同侧， A 、B 两村到河的距离分别为AC=1km ， BD=3km ， CD=3km ，现在河边 CD 上建一水厂向A、 B 两村输送自来水，铺设水管的费用为20

11、000 元 /千米，请你在CD 选择水厂位置 O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F。26已知：如图，ABC 中，C = 90 ，°点 O 为 ABC 的三条角平分线的交点， ODBC， OE AC，OF AB ，点 D、E、F 分别是垂足，且 BC = 8cm，CA = 6cm，则点 O 到三边 AB ，AC 和 BC 的距离分别等于cmCEDOABF第26题图27（ 8 分）如图，在ABC 中， AB=AC ，P 为 BC 上任意一点，请说明：AB 2 AP 2=PB× PC。ABCP第 28题图28、如图，已知：C 90 ，AMCM ，MPAB 于 P求证

12、： BP2AP 2BC 2精彩文案实用标准文档BPCAM29（本题满分6 分）如图，一个牧童在小河的南4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西 8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？小河A北牧童东B小屋31在一棵树的10 米高 B 处有两只猴子， 一只猴子爬下树走到离树20 米处的池塘的A 处；另一只爬到树顶 D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?32在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1 米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2 米，求这里的水

13、深是多少米?33长为 4 m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角 ( 如图所示 )，则梯子的顶端沿墙面升高了 _m34已知：如图， ABC 中， C 90°， D 为 AB 的中点， E、 F 分别在 AC 、BC 上，且 DE DF求证：AE 2 BF2 EF2 精彩文案实用标准文档1 CB35已知：如图，在正方形ABCD 中， F 为 DC 的中点， E 为 CB 的四等分点且CE 4，求证： AF FE36已知 ABC 中， a2 b2 c2 10a 24b 26c338，试判定 ABC 的形状，并说明你的理由37已知 a、 b、 c 是

14、ABC 的三边，且 a2 c2 b2c2 a4 b4，试判断三角形的形状38如图， 长方体的底面边长分别为1cm 和 3cm，高为 6cm如果用一根细线从点A 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点 B ，那么所用细线最短需要多长?如果从点 A 开始经过四个侧面缠绕n 圈到达点 B ，那么所用细线最短需要多长 ?39、 a、 b 为任意正数，且a>b，求证：边长为 2ab、 a2 b2、 a2+b2 的三角形是直角三角形40. 三角形的三边长为 (ab) 2c22ab ,则这个三角形是 ( )（ A ） 等边三角形（B） 钝角三角形（ C） 直角三角形（ D） 锐角三角形 .41.（ 12 分）

15、如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向100km 的 B 处有一台风中心，沿BC 方向以 20km/h 的速度向D 移动，已知城市A 到 BC 的距离 AD=60km ，那么台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点？如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在 D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？CAD精彩文案第24题图实用标准文档44、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm，高 8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则 h 的取值范围是（）A h 17cmB h 8cmC15cm h 16

16、cmD 7cm h16cm45 如图，已知：，于 P.求证：.思路点拨 : 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP 为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以 BP 为一边的直角三角形. 所以连结BM.这样，实际上就得到了4 个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.解析：连结BM ，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.又（已知），.在中，根据勾股定理有，.47【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 ?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时

17、其高度是否小于CH 如精彩文案实用标准文档图所示，点D 在离厂门中线0.8 米处，且CD，与地面交于H 解： OC 1 米(大门宽度一半 ) ，OD 0.8 米（卡车宽度一半）在 Rt OCD 中，由勾股定理得：CD .米，C . . .（米） .（米）因此高度上有0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门48、如图，公路MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且 QPN 30°，点 A 处有一所中学，AP 160m。假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由， 如果受影响， 已知拖拉机的速度为 18

18、km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨：（ 1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A ，实质上是看A 到公路的距离是否小于100m, 小于 100m 则受影响，大于100m 则不受影响，故作垂线段AB 并计算其长度。 （2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A 的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析：作AB MN ，垂足为B。在 RtABP 中， ABP 90°， APB 30°，AP 160， AB AP 80。 （在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）点A 到直线 MN 的距

19、离小于100m,这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶到点 C 处学校开始受到影响， 那么 AC 100(m) ，由勾股定理得： BC 2 1002-8023600, BC 60。同理，拖拉机行驶到点D 处学校开始脱离影响，那么，AD 100(m)，BD 60(m), CD 120(m) 。拖拉机行驶的速度为: 18km/h 5m/st120m÷ 5m/s24s。答：拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24 秒。（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将

20、问题转化为直角三角形问题来解决49、如图所示， ABC 是等腰直角三角形， AB=AC ， D 是斜边 BC 的中点， E、 F 分别是 AB 、AC 边上的点，且 DE DF，若 BE=12 ， CF=5求线段 EF 的长。精彩文案实用标准文档思路点拨：现已知BE 、CF，要求 EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD 解：连接AD 因为 BAC=90 °， AB=AC 又因为 AD 为 ABC 的中线，所以 AD=DC=DB AD BC且 BAD= C=45°因为 EDA+ ADF=90 &

21、#176;又因为 CDF+ ADF=90 °所以 EDA= CDF所以 AED CFD （ ASA ）所以 AE=FC=5 同理： AF=BE=12 在 Rt AEF 中，根据勾股定理得：，所以 EF=13。总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。50 如图，在等腰 ABC 中， ACB=90 °， D、 E 为斜边 AB 上的点，且 DCE=45 °。求证： DE 2=AD 2+BE2 。CCFBBADEADE分析：利用全等三角形

22、的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造直角三角形。51 如图，在 A BC 中， AB=13,BC=14,A C=15 ，则 BC 边上的高 A D=。ACBD答案 12。52 如图，长方形ABCD 中， AB=8 ， BC=4 ，将长方形沿AC 折叠，点D 落在点 E 处，则重叠部分AFC的面积是。精彩文案实用标准文档DCAFBE设 EF=x ，那么 AF=CF=8-x ， AE2+EF2=AF2, 所以 42+x2=(8-x)2, 解得 x=3 ，S=4*8/2-3*4/2=10答案： 1053 在 ABC 中， AB=15 ,AC=20,BC边上的高A D=12

23、，试求 BC 边的长 .答案 25或754 在A BCAA中， D 是 BC 所在直线上一点，若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17， 求 ABC 的面积。答案 84或36ABDCCBDABDCCBD55. 若 ABC 三边 a、 b、 c 满足 a2 b2 c2 338=10a+24b+26c， ABC 是直角三角形吗？为什么？56. 在 ABC 中， BC=1997 ，AC=1998 ， AB 2=1997+1998 ，则 ABC 是否为直角三角形？为什么？注意 BC 、 AC 、AB 的大小关系。 AB BC AC 。AB2+BC2=1997+19972+1998=1997 ×（ 1+1997 ） +1998=1997 × 1998+1998=19982=