函数周期性分类解析以及习题练习.

1、函数周期性分类解析一定义 ：若 T 为非零常数，对于定义域内的任一x，使 f ( xT )f ( x) 恒成立则 f(x) 叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。二重要结论1、 f xf xa ，则 yfx 是以 Ta 为周期的周期函数；2、 若函数 y=f(x) 满足 f(x+a)=-f(x)(a>0),则 f(x) 为周期函数且 2a 是它的一个周期。3fxaf x a，则f x是以 T2a 为周期的周期函数、 若函数4、 y=f(x) 满足 f(x+a) =1(a>0),则 f(x) 为周期函数且 2a 是它的一个周期。fx5、若函数 y=f(x) 满足 f(x+a) =

2、1(a>0),则 f(x) 为周期函数且 2a 是它的一个周期。fx6 、 f ( xa)1f ( x)，则 fx是以 T2a 为周期的周期函数 .1f (x)7 、 f ( xa)1f (x)x 是以 T4a 为周期的周期函数 .1，则 ff (x)1f ( x)4a 是它的一个周期。8、 若函数 y=f(x) 满足 f(x+a) =(x R，a>0),则 f(x) 为周期函数且1f ( x)9、 若函数 y=f(x) 的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称 ,则 f(x) 为周期函数且2（ b-a）是它的一个周期。10 、函数 yf ( x)xR 的图象关于两点A

3、a, y0 、 B b, y0ab都对称，则函数f (x) 是以 2 ba为周期的周期函数；11 、函数 yf ( x)xR 的图象关于 A a, y0和直线 x b ab都对称，则函数 f (x)是以4 ba 为周期的周期函数；12、若偶函数y=f(x) 的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2 a 是它的一个周期。13、若奇函数y=f(x) 的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4 a 是它的一个周期。14、若函数y=f(x) 满足 f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则 f(x)为周期函数 ,6a 是它的一个周期。T15、若奇函数y=f(x) 满

4、足 f(x+T)=f(x) (x R，T 0),则 f()=0.2三、典例讲解例 1（05.福建12）f (x) 是定义在R 上的以3 为周期的奇函数，且f (2)0 在区间（0， 6）内解的个数的最小值是（）A 6B 7C 4D 5例2.设函数f (x) 的定义域为R，且对任意的x，y有f (xy)f ( xy)2 f ( x)f ( y)，并存在正实数c，使 f ( c )20 。试问f (x) 是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。例 3. 已知 f ( x) 是定义在R 上的函数，且满足：f ()x2 (1f x)1f (x) ，f (1)1997 ，求 f (2

5、001) 的值。例 4.（ 2009 江西卷文）已知函数f ( x) 是 (, ) 上的偶函数，若对于x0 ，都有f ( x2） f ( x) ，且当 x 0, 2) 时， f ( x)log2 (x1），则 f ( 2008)f (2009) 的值为（）A 2B 1C 1D 2例 5.（天津卷05）设 f( x)是定义在 R 上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线x1 对称，2则 f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)= _例 6（ 07 安徽）定义在 R上的函数 f ( x) 既是奇函数， 又是周期函数， T 是它的一个正周期 .若将方程 f( x) 0 在

6、闭区间T,T上的根的个数记为n ，则 n 可能为（）A.0B.1C.3D.5四、巩固练习1. 已知偶函数f ( x) 是以 2 为周期的周期函数，且当x0,1 时， f (x)2x1，则f (log 2 10) 的值为A.3B. 8C.3D . 555832 设函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，对于任意的xR ，都有 f (x1)1f (x) ，1f ( x)当 0x 1时， f (x)2x ，则 f (11.5)f ( x2)f ( x)x0,23知f ( x)是定义在实数集 R 上的函数，满足， 且时 ，f ( x)2x22,0 时， f ( x) 的表达式；2证明 f ( x)

7、 是 R 上的奇函数x . 1 求 x4.（ 05 朝阳模拟）已知函数f ( x) 的图象关于点3 ,0对称，且满足f (x)f ( x3 ) ，42又 f ( 1)1， f (0)2 ，求 f (1)f (2)f (3)f (2006) 的值高三数学恒成立问题的类型及求解策略恒成立问题， 涉及到一次函数、 二次函数的性质、 图象， 渗透着换元、 化归、 数形结合、函数与方程等思想方法， 有利于考查学生的综合解题能力， 也为历年高考的一个热点。 现将高中数学中常见的恒成立问题进行归类和探讨。一、 一次函数型：给定一次函数 y=f(x)=ax+b(a 0),若 y=f(x) 在 m,n 内恒有

8、f(x)>0 ，则根据函数的图象 （直线）可得上述结论等价于a0a0f ( m)0）或）亦可合并定成f (m)0f (n)0f ( n)0f (m)0同理，若在 m,n 内恒有 f(x)<0 ，则有f (n)0例1、对于满足 |p|2 的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。二、 二次函数型a0若二次函数y=ax 2+bx+c=0(a 0)大于 0 恒成立，则有0若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。例2 定义在R 上的减函数f 1 kxx2f k2f x ，如果不等式组1f 1kx对任何f 3k

9、xx 2x0,1 都成立，求 k 的取值范围。例 3关于 x 的方程 9x+(4+a)3 x+4=0 恒有解，求a 的范围。三、 变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边， 则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例 4 已知当 xR 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+5a4 恒成立，求实数a 的取值范围。例 5若不等式111.1> m 对于大于1 的一切自然数n 都成立 , 求n1n 2n 32n24自然数 m 的最大值 , 并证明所得结论。四、 直接根据图象判断若把

10、等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。 尤其对于选择题、 填空题这种方法更显方便、 快捷。 2五根据函数的奇偶性、周期性、对称性等性质例 7 若 f(x)=sin(x+ )+cos(x- )为偶函数，求的值。六利用导数求最值解决恒成立问题例 8 已知函数 f （ x） = ax3 3x21(xR) ，其中 a>0.2（）若a=1，求曲线y=f （ x）在点（ 2， f （ 2）处的切线方程；（）若在区间1 , 1上， f （ x） >0 恒成立，求 a 的取值范围 .22函数的对称性与周期性一 函数的对称性（一）函

11、数图象的自对称所谓函数图象的自对称是指一个函数图象的对称(中心对称或轴对称)图象是其本身 .关于函数图象的自对称,有下列性质 :1、奇函数的图象关于对称，偶函数的图象关于对称，反之亦然。2、二次函数 yax 2bx c (a 0) 的图象关于直线对称。3、三角函数 ysin x 的图象关于直线对称，它也有对称中心是；yc o sx 的图象的对称轴是，对称中心是。4、函数y fx 若对于定义域内任意一个x 都有 f a xf b x，则其图象关于直线对称。5、函数 yfx 若对于定义域内任意一个x 都有 f axfaxb ，则其图象关于点对称。6、曲线 yfx关于直线 xa 与 xb （ a b

12、 ）对称，则 yfx 是周期函数且周期为2 ba（二）函数图象的互对称所谓函数图象的互对称是指两个函数图象的上的点一一对应，且对应点相互对称 （中心对称或轴对称） 。关于函数图象的互对称 ,有下列性质 :1、互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；反之，。2、函数 yfx与函数 y2bfx的图象关于直线对称。3、函数 yfax 与函数 yfbx的图象关于直线对称。4、函数 yfx与函数 y2kf2hx的图象关于点对称。二 函数的周期性如果函数 yf(x) 对于定义域内任意的x，存在一个不等于0 的常数 T，使得 f(x T) f(x) 恒成立，则称函数 f(x) 是周期函数， T 是它的一个周

13、期 .一般情况下， 如果 T 是函数 f(x)的周期，则 kT(k N )也是 f(x)的周期 .关于函数的周期性的结论：1、已知函数 yfx对任意实数 x,都有 fxafx ,则 yfx 是以为周期的函数；2、已知函数 yfx对任意实数 x,都有 fax1,则 yfx=是以为周期的函f(x)数；3、已知函数 yfx对任意实数 x ,都有 fax1,则 y fx是以为周期的函=-f(x)数.4、已知函数 yfx对任意实数 x ,都有 faxf xb ，则 yfx 是以为周期的函数5、已知函数6、已知函数yfx对任意实数 x , 都有 f(x m) f(xm), 则是 yf x 的一个周期 .y

14、fx1f (x )是 f(x)的一个周期 .对任意实数 x , 都有 f(x m),则1f (x )7、已知函数 yf x1f (x )对任意实数 x , 都有 f(x m),求证 :4m 是 f(x)的一个周期 .1f (x)1 证明：由已知f(x 2m) f(x m)m1f (x )1f ( xm )1f (x )11f (xm )1f (x )1f (x )111于是 f(x 4m)f(x)f (x )f (x 2m)所以 f(x) 是以 4m 为周期的周期函数.8、已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f(a x) f(a x)且 f(b x) f(b x),求证 :2|ab|是 f

15、(x)的一个周期 .(a b)证明：不妨设a b于是f(x 2(ab) f(a (x a2b) f(a (x a 2b) f(2b x) f(b (x b) f(b (x b) f(x) 2(a b)是 f(x) 的一个周期当 ab 时同理可得所以， 2|ab|是 f(x) 的周期例题应用1、已知 fx 1是偶函数，则函数yf 2x的图象的对称轴是（）A. x1B. x1 C .x112D. x22 、函数 fxx 22 a 1 x2在区间,4 上是减函数，那么实数a 的取值范围是（）A . a 3B. a3 C. a 5D. a33、函数 ysin2x5的图象的一条对称轴方程是（）2A. x

16、B.xC. xD.5x24844、如果函数f(x) x2 bxc 对任意实数t 都有 f(2 t) f(2 t) ，那么A.f(2) f(1)f(4)B.f(1)f(2) f(4)C.f(2) f(4)f(1)D.f(4)f(2)f(1)5、函数 ysin 2xa cos2x 的图象关于直线x对称，则 a 的值为（）8A.1B.2C.2D.16、如果直线x3 与 x2 均为曲线 yfx 的对称轴且 f 10 则 f 11 的值为。7、 yf x 是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线x2 对称，且当 x2,2 时，f xx 21 ，则当 x6, 2 时， f x=。8、如果直线yax2与直线

17、 y3xb 关于直线 yx 对称，则 a =，b =。9、设函数yfx 定义在实数集上，则函数yfx1 与 yf 1x的图象关于（）A. 直线 y0 对称B.直线 x0 对称C.直线 y1对称D.直线 x1对称10、 已知函数 f(x) 的定义域为N，且对任意正整数x ，都有 f(x) f(x 1) f(x 1)若 f(0) 2004，求 f(2004)解：因为 f(x) f(x 1) f(x 1)所以 f(x 1) f(x) f(x 2) 两式相加得0f(x 1) f(x 2)即： f(x 3) f(x)f(x 6)f(x)f(x) 是以 6 为周期的周期函数2004 6×334

18、f(2004) f(0) 200411、 已知对于任意a，b R，有 f(a b)f(a b) 2f(a)f(b) ，且 f(x)0求证： f(x) 是偶函数；若存在正整数m 使得 f(m) 0，求满足f(x T) f(x) 的一个 T 值(T0)证明：令ab0 得， f(0) 1(f(0) 0 舍去 )又令 a0，得 f(b) f( b)，即 f(x) f( x)所以， f(x) 为偶函数令 a x m， b m 得 f(x 2m) f(x) 2f(x m)f(m) 0所以 f(x 2m) f(x) 于是 f(x 4m) f(x 2m) 2m f(x 2m) f(x)即 T 4m(周期函数

19、)a) 数列 a n 中， a1 a， a2 b，且 an 2an 1 an(n N )求 a100；求 S100.解：由已知 a1 a，a2b，所以 a3b a，a4 a，a5 b，a6 ab， a7 a，a8b，由此可知， a n 是以 6 为周期的周期数列，于是 a100a6×16 4 a4 a又注意到 a1a2a3 a4a5a6 0S100 a1 a2 a3a96 a97a98a99 a100 0a97 a98a99 a100 a1a2 a3 a4 ab(b a)(a)2bab)对每一个实数对x,y, 函数 f(t) 满足 f(x y) f(x) f(y) xy 1,若 f(

20、 2)= 2,试求满足的所有整数a.解：令 x y0，得 f(0) 1再令 x y 1，得 f( 2) 2f( 1) 2，又 f( 2) 2所以 f( 1) 2f(a) a又令 x 1， y 1，可得 f 1令 x y1 得 f 2f 11 4令 y 1，得 f(x 1) f(x) x2即 f(x 1) f(x) x 2当 x 取任意正整数时， f(x 1) f(x) 0又 f 1 0所以 f(x) 0于是 f(x 1) f(x) x2 x 1即对任意大于1 的正整数 t ，f(t) t在中，令x 3，得 f(3) 1，进一步可得f(4) 1注意到 f(x) f(x 1) (x 2)所以当 x

21、 4 时， f(x) f(x 1)0即 f(x) f(x 1) f(x 2)f(4) 1所以 x 4 时， f(x) x综上所述，满足f(a) a 的整数只有a 1 或 a 2练习题二次函数的对称性1已知2若二次函数3二次函数是二次函数，图象开口向上,的图象开口向下，且f(x)=f(4-x),满足比较,比较, 求大小。的大小。的顶点的坐标。4已知, 且. （ 1）写出的关系式（2）指出的单调区间。5设二次函数满足, 图象与轴交点为（ 0, 2），与轴两交点间的距离为2，求的解析式。函数的对称性、周期性与函数的解析式1已知是奇函数，当时，, 求的解析式 .2已知是偶函数，当时，, 求的解析式 .

22、3已知函数的图象与函数的图象关于原点成中心对称 ,求的解析式。4设函数 y=f ( x) 的图象关于直线x=1 对称，若当 x1时， y=x2 1，求当 x>1 时, ,f ( x) 的解析式 .5设, 求关于直线对称的曲线的解析式 .6已知函数是偶函数，且 x(0,+) 时有 f ( x)= 1 ,求当 x( , 2) 时 , 求x的解析式 .7已知函数是偶函数，当的解析式 .定义在上的偶函数（1）求的单调区间 ; （2）求时，满足的值 .又的图象关于直线且当时 ,对称，求.在8 定义在 R 上的函数 f ( x) 以 4 为周期 , 当 x 1,3 时 , f ( x)=| x 1|

23、 1, 求当 x 16 , 14 时 f ( x) 的最小值。9 设f( ) 是定义在区间 ( , ) 上以2 为周期的函数 , 对k , 用表示区间 (2 1,2k+1, 已知xZkx I 0 时,求 f ( x) 在 I k 上的解析式 .10设是定义在（ - ,+ ）上的函数，对一切 R均有，当1 时，求当时，函数的解析式。11 设 f ( x)是定义在 ( ,+ ) 上以 2 为周期的周期函数, 且 f ( x) 是偶函数 , 当 x2,3 时 , f ( x)=2( x3) 2+4.（1）求x1,2 时 ,f( ) 的解析式 . （2）若矩形的两个项点、在x轴上 ,、 在函数xABC

24、DA BC D=() 有图像上 (0 x2), 求这个矩形面积的最大值 .y fx函数图象变换与函数解析式1 设函数 y=tan x 的图像沿 x 轴正方向平移 2 个单位所得的图像为 C, 又设图像 C与 C关于原点对称 , 求C所对应的函数解析式 .2将函数于直线的图像向左平移一个单位，得到图像对称的图像，求的解析式 .；再将向上平移一个单位得到，作出关3 把函数的图像沿x 轴向右平移1 个单位 , 所得图像记为C,求 C关于原点对称的图像的函数表达式 .4 将函数的图像沿x 轴向左平移一个单位, 再沿y 轴翻折180o,得到的图像 ,求的解析式.5将函数的图象上每一点的纵坐标保持不变，横

25、坐标缩小为原来的一半，再将所得图象，沿x轴方向向右平移个单位长度，求所得新图象对应的函数解析式.6将函数 y=cosx 的图像沿 x 轴向左平移得到曲线 C, 又设曲线C与 C关于原点对称,求 C对的函数解析式 .7已知函数y=3x 的图象为C1 ，曲线C2 与 C1 关于原点对称，求C2 的解析式.8 将函数y f x的图象向左移a a0) 个单位得到图象C，又C和C的图象关于原点对称，求C(1122的解析式 .一. 周期函数的定义：设函数 y=f(x) 的定义域为D，若存在常数T 0，使得对一切xD，且 x+TD 时都有f(x+T)=f(x) ，则称 y=f(x) 为 D上的周期函数，非零

26、常数T 叫这个函数的周期。二. 常见结论 ( 约定 a>0)（1） f ( x) f ( xa) ，则 f ( x) 的周期 T=a；（ 2 ） f (x a) f ( x) ， 或 f ( xa)f (x a )或 f (xa)1( f ( x)0)，或f ( x)1 ( f (x ) 0)则f ( xf ( x)的周期；a),T=2af (x)例 1： 设 f ( x)是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， f (x 4) f ( x) 且 f (3)5 ， 则f ( 2 1 ) _， f (2005)_答： 5， 5例 2：设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，且满足f

27、(x1，当 0 x 1， f ( x) 2x，2)f ( x)则 f (7.5) _答： 1例3 ： 设 f (x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 且 f (x2)f ( x2) ，f (1)2 ， 则f ( 2 ) f ( 7 ) _答： 2(3)f ( x)11( f(x) 0) ，则 f (x) 的周期 T=3a；f (xa)(4)f (x1x2 )f ( x1 )f (x2 )1( f ( x1 )f ( x2 )1,0| x1x2 | 2a) ， 或1且 f (a)f ( x1 ) f (x2 )f (xa)f(ax 则)f ( x) 的周期 T=4a；(5)f (x)

28、f (xa)f (x2a) f (x 3a) f (x 4a)f (x) f (x a) f (x 2a) f (x3a) f (x4a) , 则f ( x) 的周期 T=5a；(6)f ( xa)f (x)f (xa) ，则 f (x) 的周期 T=6a.(7) 若 f(a + x)=f(a x) 且 f(x) 是偶函数 ,则 y=f(x) 是周期为 2a 的周期函数；若 f(a + x)=f(a x) 且 f(x) 是奇函数 ,则 y=f(x) 是周期为 4a 的周期函数。（ 8）若 f(a + x)= f(a x) 且 f(x) 是偶函数 ,则 y=f(x) 是周期为 4a 的周期函数；

29、若 f(a + x)= f(a x) 且 f(x) 是奇函数 ,则 y=f(x) 是周期为 2a 的周期函数。（9）若 y=f(x) 关于点 (a,0),(b,0) 对称，则 f(x) 是周期为2ab 的周期函数；（10）y=f(x) 的图象关于直线 x=a,x=b(a b)对称，则函数 y=f(x) 是周期为 2 ab 的周期函数；（11）如果函数 yf ( x) 的图像有一个对称中心A( a,0)和一条对称轴 x b(ab) ，则函数y f ( x) 必是周期函数，且一周期为T 4 | ab | ；三.练习1、函数fx对于任意实数x满足条件1则， 若fx2f xf 15 ,f f 5_2、

30、已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= f(x),则,f(6)的值为(A) 1(B) 0(C)1(D)23已知函数 yf (x) 是一个以4 为最小正周期的奇函数，则f ( 2)（）A 0B 4C 4D不能确定4定义在 R 上的函数 yf (x)为周期函数，最小正周期为T，若函数 yf (x) ， x(0,T ) 时有反函数 yf1 (x), x D ，则函数 yf ( x) ， x (2T ,3T ) 的反函数为（）Ay f1x x DBy f1x T x D(),(2),C y f1(x Tx DD y f1x)T,x D2),(26函数 f (x) 为奇函数且 f (

31、3x+1) 的周期为 3，f (1)= 1，则 f(2006)等于A0B1C一 1D27 设 f (x) 是 (,) 上的奇函数， f ( x2)f (x) ，当0x1时， f ( x)x ，则f (47.5) 等于 _(答： 0.5 )；8 定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x 2)f ( x) ，且在 3,2上是减函数，若,是锐角三角形的两个内角，则f (sin ), f (cos ) 的大小关系为 _(答： f (sin )f (cos) )；9 已知 f ( x) 是偶函数，且f (1) =993， g( x) = f ( x1) 是奇函数，求f (2005) 的值(

32、答： 993)；10 设 fx 是定义域为 R 的函数，且 f x2 1f x1fx，又 f 222 ，则 f 2006 =22(答：)211 已知定义在R 上的函数f (x) 是以 2 为周期的奇函数，则方程f ( x)0 在 2,2 上至少有_ 个实数根（答： 5）12 已知 f ( x) 是定义在R 上的函数，f (10x)f (10x) 且 f (20x)f (20x) ，则f ( x)是 （）A.周期为 20的奇函数B.周期为 20 的偶函数C.周期为 40的奇函数D.周期为 40 的偶函数（答： C）13. f ( x)为 R上的奇函数，对任意x R，都有 f ( x 5) f (

33、 x)0, 若 f (2)1， f (2008)熟悉并理解上述结论，可帮助我们快速完成下列习题。 若 yf (2x) 的图象关于直线 xa 和 xb( b a ) 对称，则 f ( x) 的一个周期为22abbaD. 4 ( b a )A.B. 2 ( b a)C.22 设函数y f ( x) 是定义在R 上的偶函数，它的图象关于直线x2 对称，已知x 2, 2 时，函数 f ( x)x 21，则 x 6 ,2 时， f (x). （ 2007天津， 7）在 R 上定义的函数f (x ) 是偶函数，且f (x )f (2x ) ，若 f (x ) 在区间 1, 2 上是减函数，则f (x )A.在区间 2,1B. 在区间 2,1C. 在区间 2,1D. 在区间 2,1上是增函数，在区间3,4上是增函数，在区间 3,4 上是减函数，在区间 3,4 上是减函数，在区间3,4上是增函数上是减函数上是增函数上是减函数（ 2005 天津， 16）设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且 yf ( x) 的图象关于直线1x2对称，则 f (1)f (2) f (3)f (4)f (5).（ 2006 山东， 6）已知定义在 R 上的奇函数 f (x ) 满足 f (x2)f ( x ) ，则 f (6) 的值为A. 1B. 0C. 1D. 2 已知