初三复习资料一元二次方程知识点_中考考点_典型例题分类和中考真题练习

1、资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢第二节一元二次方程第三节 方程及其应用是初中代数中的核心内容，是各地历年中考命题的一个重点，也是一个热点。方程的思想和方法是初中数学中最重要的思想和方法之一，有些虽然是几何问题，也常常可以用或需要用方程的思想和方法来解决。第四节 初中数学中的方程，除了一元一次方程以外，还有二元一次方程组、分式方程、一元二次方程，以及内容十分相近的不等式和不等式组。第五节实际上，对于以后学到的二元一次方程组、分式方程、一元二次方程，都是通过“转化 ”的思想和方法，把它们转化为一元一次方程，从而最终得到解决的。新课标要求1理解并掌握一元二次方程的意义，正确识别一元二次方程中

2、的各项及各项的系数；2一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解；3明确解一元二次方程的基本思想是以降次为目的，会用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方解一元二次方程；4了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的字母系数的取值范围；5会列一元二次方程解决生活中的实际问题，与二次函数综合考查最优问题。命题趋势：本节的主要考查一元二次方程的根，解一元二次方程，根的判别式，以及一元二次方程在实际生活中的应用。在重庆中考中，往往会在填空题中考查一元二次方程的根，根的判别式，在解答题中考查一元二次方程的解法， 尤其是在倒数第二题中考查一元二次方程

3、在实际生活中的应用， 和二次函数相结合的综合应用。考点整合1、一元二次方程概念：只含有 一个 未知数，并且 未知数的最高次数是2，这样的 整式方程 就是一元二次方程。2、 一般表达式： ax2bxc0( a0) 其中 ax 2 是二次项，a 叫二次项系数；bx 是一次项， b 叫一次项系数， c 是常数项。二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。3、使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。4、一元二次方程的解法：（ 1）直接开方 法，适用于能化为 xa)2b b0的一元二次方程。（ 2）因式分解 法，即把一元二次方程

4、变形为（x+a）（ x+b ） =0 的形式，则（ x+a） =0 或（ x+b ） =0（3）配方法，即把一元二次方程配成xa)2b b0 形式，再用直接开方法，bb24ac（ b2 -4ac 0）(4) 公式法，其中求根公式是 x2a5、根的判别式、根与系数的关系：当b2-4ac0 时，方程有两个不相等的实数根。当b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根。当b2 -4ac10,则（ 2827.1+0.1x） x+x=12解得 x3=5( 与 x10 舍去，舍去 ),x4=24(不合题意，舍去)公司计划当月盈利12 万元，需要售出6 辆汽车 .点评：解此题的关键是表示出进价以及每辆车的利

5、润，而返利的多少与售出数量有一定关系，因而得讨论出售汽车的数量问题，这一点容易忽略.同时，在列一元二次方程解应用题中，一定要对解出的两个根进行检验取舍，看两根是否符合实际题意。学生往往容易漏掉这一点。举一反三1. （ 2012 广东湛江）湛江市2009 年平均房价为每平方米4000 元连续两年增长后， 2011 年平均房价达到每平方米 5500 元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A 5500（ 1+x） 2=4000B 5500（ 1 x） 2=4000C 4000（ 1 x） 2=5500D 4000（1+x） 2=5500解：设年平均增长率为x，那么

6、2010 年的房价为： 4000（ 1+x）， 2011 年的房价为： 4000 （1+x） 2=5500 故选： D2. （ 2012 山东省青岛市， 12， 3）如图，在一块长为22 米、宽为 17 米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米 .若设道路宽为 x 米，则根据题意可列方程为.解析： 由题意得（ 22x） (17x)=300 .3. （ 2012?湘潭）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙 MN 最长可利用 25m），现在已备足可以砌 50m 长的墙的

7、材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢解：设 AB=xm，则 BC=（ 50 2x）m根据题意可得，x（ 50 2x） =300，解得： x1=10 ， x2=15，当 x=10， BC=50 10 10=30 25，故 x1=10（不合题意舍去） ，答：可以围成 AB 的长为 15米， BC 为 20 米的矩形考点精练1. （ 2011 辽宁本溪3 分）一元二次方程x2x10的根（ D）4A 、 x11， x21B 、 x12， x22C、 x1x21D、 x1 x2122222x2 1 。故选。解：将原方程左边写出完全平方式即可求

8、得：x2x10x10x14222. （ 2011 江苏苏州3 分）下列四个结论中，正确的是（D）A 方程 x12有两个不相等的实数根B方程 x1有两个不相等的实数根x1xC方程 x12有两个不相等的实数根xD 方程 x1a （其中 a 为常数，且a2 ）有两个不相等的实数根x解：把所给方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根的判别式判断解的个数即可：A 、整理得： x22x10 ， 0，原方程有2 个相等的实数根，选项错误；B、整理得： x2x 10 ， 0，原方程没有实数根，选项错误；C、整理得： x22x10 ， 0，原方程有2 个相等的实数根，选项错误；D、整理得： x2ax10 ，当

9、a 2 时，a24 0 ，原方程有 2 个不相等的实数根，选项正确。3.（2011山东潍坊3分）关于 x 的方程 x 22kxk 1 0 的根的情况描述正确的是（B）.A k 为任何实数，方程都没有实数根B k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种解：一元二次方程根的判别式为=（2k） 2 4（ k 1） =4k2 4k+4= （2k 1） 2+3 0，不论k 为任精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢何实数，方程都有两个不相等的实数根。故选B

10、。4. （ 2012江西高安）关于x 的一元二次方程x2(m2) x m10 有两个相等的实数根，则m 的值是（）A 0B 8C42D 0 或 8 中国教育出 *版&网%解：由题意得，b24ac(m2) 24(m1)0 ，即 m28m0 ， m0或 m8，故选 D5. （ 2012 四川沙湾区调研）菱形 ABCD 的边长是 5 ，两条对角线交于O 点，且 AO 、 BO 的长分别是关于 x 的方程 x2( 2m1) x m 230 的根，则 m 的值为（）A.3B.5C.5 或3D.5 或3解：设 AO、 BO分别为 x1 , x2 ，由题意得 x1x2b1 2m, x1 x2cm23aa又菱

11、形 ABCD 的边长是5， x12x22(x1x2 )22x1x252(1 2m)22( m23) 25， 解 此 方 程 得 m3或 m 5， 当m 5时 ，(2m1)24(m23)8111231 0，不合题意，m3。故选 A6. （ 2011 山东济宁 3 分）已知关于 x 的方程 x 2 b x a =0 的一个根是 a （ a 0），则 a b 值为A.-1B.0C.1D.222解： a 是 x bx a=0 的一个根，（a） b（ a） a=0， a 0， a b1=0 ， a b=-1 。7. 已知方程 x2+bx+a =0 有一个根是 a(a 0)，则下列代数式的值恒为常数的是（

12、）A. abB. aC.a+bD.abb解：把 -a代入方程得： a2ba a0， a(a b 1) 0 ， a0或a b1 0又 a 0， a b10, ab1。故选 D8. 已知三角形两边长是方程x2 5x+6=0 的两个根，则三角形的第三边c 的取值范围是.2 5x +6=0得 ：（ x -2 ）（ x-3 ） =0 ， 则 x -2=0 或 x-312又由三角形三边关解 ： 由 x=0 ， x=2, x =3.系得 1 c 5。故答案是1 c 529. （ 2011 甘肃兰州 4 分）关于 x 的方程 a（ x+m） +b=0 的解是 x = 2，x =1，（ a，m，b 均为常数，

13、a0），122则方程 a（x+m+2 ） +b=0 的解是解：由一元二次方程的解与二次函数的关系，2y=a（ x+m ）关于 x 的方程 （a x+m ）+b=0 的解可以看成二次函数22的解可以看成二次函数2+b 的图象与 x 轴交点的横坐标，同样a（ x+m+2 ） +b=0y=a（ x+m+2 ） +b 的图象与 x 轴交点的横坐标。 y=a（x+m+2 ）22+b 的图象可以由y=a（ x+m） +b 的图象向左平移 2 个单位得到，精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除 谢谢根据平移变化的规律：左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。由 y=a（

14、 x+m ） 2+b 的图象与 x 轴交点的横坐标x1= 2，x2=1，可得出 y=a（x+m+2 ） 2+b 的图象与 x 轴交点的横坐标 x1= 22= 4， x2=1 2=1。2方程 a（x+m+2 ） +b=0 的解是 x1= 4， x2=1。10（ 2008河南）在一幅长 50cm，宽 30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地的面积是1800cm 2 ，设金色纸边的宽为x cm，那么 x 满足的方程为.解：由题意得：x240 x75 011. 解方程：（ 1）（2012 安徽） x22x2x1（ 2）(2012 年江阴模拟 )( x 3)

15、 24 x(x 3) 0（ 3） (2009 武汉 )x23x10分析：根据一元二次方程方程的几种解法，（ 1）题不能直接开平方，也不可用因式分解法.先将方程整理一下，可以考虑用配方法或公式法.（ 2）题也不能直接开方，可考虑用分解因式法。（ 3）题用公式法解（ 1）：原方程化为：x2 4x=1配方，得 x2 4x+4=1+42整理，得（ x 2） =5 x 2=5 ,即 x125, x225 .解（ 2）：由 (x3)24x( x3)0得： ( x3 ) x(3x4) ，解0得 x13, x233 或 35答案：5解（ 3）： a1,b3, c1 ，b24ac( 3)241(1) 130 x

16、bb24ac3132a2 x1313 , x23132212. (2012 浙江椒江二中、温中联考 ) 网 某市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7 万元；购置喷灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9 ；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3 万元。每公顷蔬菜年均可卖7.5万元。若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得 5 万元收益（扣除修建和种植成本后） ，工作组应建议他修建多少公顷大棚。 （结果用分数表示即可）解：设建议他修建 x 公项大棚，根据题意，得

17、227.5x2.7 x0.9 x0.3 x5， 0.9 x4.5 xy即 9 x245x500 ，精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢解得 : x15 ， x210 .3310 应舍去 .从投入、占地与当年收益三方面权衡x23答：工作组应建议修建5 公顷大棚313. （ 2012?湘潭）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙， 围成一个矩形花园 ABCD（围墙 MN 最长可利用25m），现在已备足可以砌50m 长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2解：设 AB=xm ，则 BC= （ 502x） m根据题意可得，x（ 50 2x）=300，解得： x

18、1=10， x2=15 ，当 x=10 ， BC=50 1010=30 25，故 x1=10 （不合题意舍去） ，答：可以围成 AB 的长为 15 米， BC 为 20 米的矩形14. (西城 2012 年初三一模 )某批发商以每件50 元的价格购进 800 件 T 恤第一个月以单价80 元销售，售出了 200 件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200 件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1 元，可多售出 10 件，但最低单位应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的 T 恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元设第二个月单价降低x 元（ 1）填表 (不需要化

19、简 )时间第一个月第二个月清仓时单价 (元)8040销售量 (件 )200（ 2）如果批发商希望通过销售这批 T 恤获利 9000 元，那么第二个月的单价应是多少元？解：（1） 80 x， 200 10x， 800 200 (200 10x) ；（ 2）根据题意，得 80200 (80 x)(200 10x) 40800 200 (200 10x) 50800 9000整理，得 x2 20x100 0，解这个方程得 x1 x2 10，当 x10 时， 80 x 7050答：第二个月的单价应是 70 元15. （重庆一中）某水果店批发一种成本为每箱30 元的梁平柚子 .据市场分析 ,若按每箱 4

20、0 元批发 ,一个月能批发 600 箱；若每箱批发价涨价1 元 ,月批发量就减少10 箱 ,针对柚子的批发情况,请解答下列问题：（ 1）当批发价定为每箱55 元时 ,计算月批发量和月利润；（ 2）若批发价定为每箱x 元 ,月批发利润为y 元,求y 与x的函数关系式；当批发价定为每箱多少元时,月利润最大？（ 3）若水果店想在本月成本不超 6000 元的情况下 ,使得月利润达到 10000 元 ,则批发价应定为每箱多少元？精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除 谢谢解： (1) 月批发量 : 600 10 (55 40)450 (箱 )月利润 : (55 30)450 11250(元 )(2

21、) y ( x30)60010 ( x 40)(x30)(60010 x 400)(x30)(100010x)10x21300 x3000010( x65)212250当每箱定价为65 元时 ,月利润最大 .(3) 在 y10x2 1300 x 30000 中 ,当 y10000 时 ,有10x21300 x3000010000 x2 130x 4000 0 x180x2 50当 x80 时 ,成本为 : 30 600 10(8040)6000 (元 )当 x50 时 ,成本为 : 30 600 10(5040)15000 (元 ) x 80即每箱批发价定为80 元可使成本不超过6000元,而

22、利润达到10000 元 .重庆中考真题再现（2011江津） 已知关于 x 的一元二次方程a1 x22x 10 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围1.是A 、 a 2B 、 a 2C、 a 2 且 a lD 、 a 244 a1 0a 2。故选 C。解：由题意得：1 0aa 1（2007重庆） 方程 x124的解为.y2.解：直接开方： x12， x1 3, x2-1 。故答案： x13, x2-1ax 20x3. （ 2011 一中月）已知函数ybxc的图象如图所示，那么关于3精品文档3 题图资料收集于网络如有侵权请联系网站删除 谢谢x 的方程 ax2bxc20 的根的情况是（） A解：令

23、 y1ax2bxc2，则二次函数y1 的图像可以看着是由抛物线yax2bx c 向上平移 2 个单位得到。由图可知，抛物线yax2bxc 的顶点是（b， -3），向上平移2个单位后，得到抛物线2ay1 ax 2bxc 2的顶点坐标是（b，-1），故，抛物线 y1ax2bxc2与 x 轴有两个交点，所2a以关于 x 的方程 ax2bxc2 0 有两个不等的实数根，故答案选AA 有两不相等的实数根B 有两个相等实数根C无实数根D 不能确定4（ 2010 巴蜀模拟） 方程 x24x 的解是。解：移项： x24x0 ， x( x 4)0x10, x24 ，故答案为： x10, x245. （ 2009

24、 西中）某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政y/亩z/元府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干120030002700元经调查，种植亩数y （亩）与补贴数额 x （元）之800间大致满足如图 1 所示的一次函数关系，但种植面积不Ox/元Ox/元超过 3200 亩随着补贴数额x 的不断增大，出口量也50100不断增加，但每亩蔬菜的收益z （元）会相应降低，且图 1图 2z 与 x 之间也大致满足如图2 所示的一次函数关系, 且每亩收益不低于1800 元（ 1）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y 和每亩蔬菜的收益z 与政府补贴数额x 之间

25、的函数关系式；（ 2）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（ 3）要使全市这种蔬菜的总收益w （元）最大，政府应将每亩补贴数额x 定为多少？并求出总收益w 的最大值解：（）令y=k 1x + b 1 (k1 0)由图象过点（ 0,800）,（ 50,1200）得：b1800k1850k1,解得800b1 1200b1 y 与 x 的函数关系式为： y=8x+800令 z k2 x b2( k2 0)由图象过点（ 0， 3000） ,（ 100,2700）得：b23000k23,解得3000100k2 b2 2700b2 z 与 x 的函数关系式为：z = -3x + 30

26、00（）当 x=0 时， y=800 亩z=3000（元 /亩）精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢总收益为： 8003000 2400000（元）（） wyz(8 x800)(3x3000)即： w24x221600 x240000024 x27260000450x0由题意： y3200z 1800x 0解 : 8x 800 3200 3x 3000 1800 0 x 300在 : w24( x 450)27260000 中， a = -24 0抛物线开口向下，在对称轴x = 450的左侧， w 随 x 的增大而增大 .当 x = 300时， wmax24(300450) 272

27、600006720000( 元 )政府应将每亩补贴数额x 定为 300 元时，总收益w 有最大值，为6720000 元 .6.（ 2011 育才二诊）现在互联网越来越普及，网上购物的人也越来越多，订购的商品往往通过快递送达当当网上某“四皇冠”级店铺率先与“青蛙王子”童装厂取得联系，经营该厂家某种型号的童装根据第一周的销售记录，该型号服装每天的售价x （元 / 件）与当日的销售量y （件）的相关数据如下表：每件的销售价x （元 / 件）200190180170160150140每天的销售量y （件）8090100110120130140已知该型号童装每件的进价是70 元，同时为吸引顾客，该店铺承

28、诺，每件服装的快递费10 元由卖家承担（ 1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，求第一周销售中， y 与 x 的函数关系式；（2）设第一周每天的赢利为 w 元，求 w 关于 x 的函数关系式， 并求出每天的售价为多少元时， 每天的赢利最大？最大赢利是多少？（ 3）从第二周起，该店铺一直按第（2）中的最大日盈利的售价进行销售但进入第三周后，网上其他购物店也陆续推出该型号童装，因此第三、四周该店铺每天的售价都比第二周下降了m %，销售量也比第二周下降了0.5m %（ m20) ；第五周开始，厂家给予该店铺优惠，每件的进价降低了16元；该店铺在维持第三、四周的销售价和销售量的基础上，同时决定每件童装的快递费由买家自付，这样，第五周的赢利相比第二周的赢利增加了2%，请估算整数m 的值（参考数据：5.6012.37 ，56.017.49 ）解：（ 1）设 ykxb精品文档资料收集于网