勾股定理难题提高

1、评卷人得分1 .下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A. 4, 5, 6 B . 3, 4, 5 C .2, 3, 4 D . 1, 2, 32 .给出下列命题：在直角三角形 ABC中，已知两边长为3和4,则第三边 长为5;三角形的三边a、b、c满足a2 c2 b2,则/C=90° ; ABC中, 若/A: /B: /C=1: 5: 6,则 ABC是直角三角形；ABC中，若a : b: c=1:2: V3 ,则这个三角形是直角三角形.其中，假命题的个数为（）A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个3 .如图，如果把 ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A

2、9;点， 连接A B,则线段A' B与线段AC的关系是（）A.垂直B .相等 C .平分 D .平分且垂直4 .下面说法正确的是个数有（）如果三角形三个内角的比是1 ： 2 ： 3,那么这个三角形是直角三角形；如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；如果/ A=/ B=1/C,那么 ABB直角三角形； 2若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；在 ABC,若/ A+ /B=/C,则此三角形是直角三角形。A 3个 B 4 个 C 5 个 D 6 个5 .如图，

3、 ABC, AB=AC=5,BC=6 M为 BC的中点，MfNLAC于 N点，则 MN=（ ）A. 6 B . 9 C , 12 D . 166 .下列各组数中，是勾股数的是（）A. 14, 36, 39B. 8, 24, 25C. 8, 15, 17D. 10, 20, 267 . （2013贵州安顺）如图，有两棵树，一棵高 10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢， 则小鸟至少飞行（）A. 8米B. 10 米C. 12 米D. 14 米8 .如图，四边形 ABC前，AB=AD AD/BQ /ABC=60 , / BCD=3 0 , BC=6那么ACD勺面

4、积是（）A.百 B . y C . 273D .973第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷得分二、新添加的题型评卷得分人三、解答题9 .在 RtABC中，/ CAB=90 , AB=AC(1)如图，过点 A在4ABC外作直线MN BMLMNT M, CNLM肝 N.判 断线段MN BM CN之间有何数量关系，并证明；若AM=a, BM=, AB=c,试利用图验证勾股定理a2 b2=c2;(2)如图，过点 A在zABC内作直线MN BMLMNT M, CN!MNT N,判断 线段MN BM CN间有何数量关系？(直接写出答案)10 . (6分)小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如

5、下的操作：操作一：如图1,将RtzABC&某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合， 折痕为DE(1)如果AC= 6cmi BC= 8cmi可求得 ACD勺周长为;(2)如果/ CAD:/BAD=4:7,可求得/ B的度数为;操作二：如图2,小王拿出另一张RtzABC氏片，将直角边AC沿直线AD折叠， 使它落在斜边 AB上，且与AE重合，若AC= 9cm, BG= 12cmi请求出CD的长.11 .如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC= 5cm BC= 12cmi现将直角 边AC沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边 AB上，且与AE重合，求CD的长.12 .如图，学校B前面有一条笔直

6、的公路，学生放学后走 AB, BC两条路可到 达公路，经测量 BG= 6kmi BA= 8kmi AG= 10km现需修建一条路使学校到公 路距离最短，请你帮助学校设计一种方案，并求出所修路的长.13 .如图， ABC中，/ACB= 90 , AC= 9, BG= 12,求 RtABC中斜边 AB上的高CD14 .阅读理解题：如图，在 ABC中，AD是BC边上的中线，且 AD4BC2求证：/ BAC=90 .15 .如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形 (两直角边长分别是a、b, 斜边长为c)和一个正方形(边长为c).请你将它们拼成一个能验证勾股定理的 图形.(1)画出拼成的这个图形的示意

7、图；(2)用(1)中画出的图形验证勾股定理.16 .课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图.(1)求证： ADC2ACEB(2)从三角板的刻度可知 AC=25cm请你帮小明求出砌墙石专块的厚度 a的大 小(每块砖的厚度相等).17 . (10 分)如图，在 ABC中，AB= 13, BG= 10, BC边上的中线 AD= 12.(1) AD平分/ BAC马？请说明理由.(2)求： ABC勺面积.评卷人得分18 .直角三角形两边长分别为 3厘米、4厘米，则第三边的长为 。19 . 一个直角三角形的两边长分别为 9和40,则第三边长的平方是 .20 .若一个直角三角形的两边的长

8、分别为 m、n,且满足 而飞|n 4 0,则 第三边的长为.21 .已知|x 6| |y 8 (z 10)2 0 ,则由此x,y,z为三边的三角形是 三角形22 . zABC勺三边长分别为m21, 2m吊+1,则最大角为.23 .在长方形纸片 ABC师，AD= 3cmi AB= 9cmi按如图方式折叠，使点 B与 点D重合，折痕为EF,则DE=.24 .如图，在 RtzABC中，/ABC直角，AB=3 BC=4 P是BC边上的动点， 设BP=x若能在AC边上找到一点Q,使/ BQP=90 ,则x的取值范围是25 .如图，OP= 1,过 P作 PPLO由 PR=1,得 or J2 ；再过 R 作

9、 PiROP 且RP2=1,得oh 近;又过 已作P2P3,OP且PP3=1,得OP= 2依此法继续作下去，得op012=评卷得分人五、计算题参考答案1. B.【解析】试题分析：A. 42+52 ?6 2,不能构成直角三角形，故不符合题意；B. 32+42=52,能构成直角三角形，故符合题意；C. 22+32?42,不能构成直角三角形，故不符合题意；D. 12+22?32,不能构成直角三角形，故不符合题意.故选B.考点：勾股数.2. B【解析】试题分析：命题中若4是直角边，则第三边长为5,若4为斜边, 则第三边长为V7,故错误；命题中应该是/ B=90° ,故错误；命 题、均正确；故

10、假命题有 2个；故选B.考点：真命题与假命题.3. D【解析】试题分析：先根据题意画出图形，再利用勾股定理结合网格结构即可 判断线段A' B与线段AC的关系：如图，将点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A'点，连接A' B, 与线段AC交于点O. A' O=OB=2, AO=OC咚线段A' B与线段AC互相平分，又./AOA =45 +45 =90 ,.A' B±AQ线段A' B与线段AC互相垂直平分.故选D.考点：1.网格问题；2.平移的，性质；3.勾股定理.4. D.【解析】试题分析：三角形三个内角的比是1: 2: 3,设

11、三角形的三个内角分别为 x, 2x, 3x,.x+2x+3x=180 ,解得 x=30 ,.3x=3X30 =90 ,此三角形是直角三角形，故本小题正确；三角形的一个外角与它相邻的一个内角的和是180 ,若三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则此三角形是直角三角形，故本小题正确；直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形，故本小题正确；/ A=/ B/C, 2设/ A=/ B=x,则/ C=2x. x+x+2x=180 ,解得 x=45 .2x=2X45 =90 ,此三角形是直角三角形，故本小题正确；三角形的一个

12、外角等于与它不相邻的两内角之和，三角形的一个内角等于另两个内角之差，.二三角形一个内角也等于另外两个内角的和，这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补，有一个内角一定是 90° ,故这个三角形是直角三角形，故本小题正确；三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，又一个内角也等于另外两个内角的和，由此可知这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补，有一个内角一定是 90° ,故这个三角形是直角三角形，故本小题正确故选D考点： 1. 三角形内角和定理；2. 三角形的外角性质5. C【解析】试题分析：连接AM， . AB

13、=AC点M为BC中点， .AML CM BM=C M . AB=AC=5 BC=6 . BM=CM=3在 RtMBMfr, AB=5, BM=3根据勾股定理得：AM=/AB2BM J52 33 4,又 SxAM=1MN?AC=AM?MC 22AM ?CM12 MN= - .AC5故选C考点：1.勾股定理；2.等腰三角形的性质.6. C【解析】满足a2+b2 = c2的三个正整数a, b, c是勾股数，因为82+ 152=289, 172=289,所以 82+ 152= 172,即 8、15、17 为勾股数.同 理可判断其余三组数均不是勾股数.7. B【解析】如图，设大树高为 AB= 10米，小

14、树高为 O4米，过C点 作CJ AB于E,则四边形EBDO矩形.连接AQ则EB= CD= 4米, EC= 8 米，A& AB- EB= 10-4 = 6 （米）.在 RtAEC, AC Jae2 EC2 10米.8. A【解析】试题分析：如图，过点 A作AnBC于E,过点D作DF，BC于F.设 AB=AD=x又AD/ BQ四边形AEF虚矩形形， . AD=EF=x在 RtABE中，/ ABC=60 ,则/ BAE=30 , .BEABx, 22DF=AE= AB2BE =-3 x,2在 RtzCDF中，/ FCD=30 ,则 CF=DF?cot30 二刍x.2又 BC=6 . BE+E

15、F+CF=6 即 1x+x+|x=6,解得x=2 .ACD勺面积是：1AD?DF=-xX 旦=a x22=T3 . 2224故选A考点：1.勾股定理2.含30度角的直角三角形.9. (1)证明见解析；(2) MN=BM-CN.【解析】试题分析：(1)利用已知得出/ MAB=ACN进而得出 MAB2 ANCA 进而得出BM=ANAM=CN即可得出线段MN BM CN间的数量关系； 利用 S 梯形 MBCI=S MAB+Sa AB(+S NC/=1ab+1c2+1ab, S 梯形MBC= (BM+CN XMN° (a+b) 2,进而得出答案；2(2)利用已知得出/ MABNACN进而彳#

16、出 MAB2 NCA进而得出 BM=AN AM=CN即可得出线段 MN BM CN之间的数量关系.试题解析：(1)MN=BM+6N理由：./ MAB+ NAC=90 , / ACN+ NAC=90 ,./ MAB= ACN在MABffi ANCA中BMA ANCMAB NCA ,AB AC.MAB ANCA (AAS,BM=AN AM=CNMN=AM+AN=BM+CN由知 MAB2ANCA/. CN=AM=a AN=BM=b AC=BC=pMN=a+b S梯形 mbc=Sxmab+Sxabc+Sxnc/= ab+ c + ab, S梯形 mbc= (BM+CNXMN=1 22222(a+b)

17、2,1ab+1c2+1ab=- (a+b) 22222a2+b2=C2； MN=BM-CN理由：./ MAB+ NAC=90 , / ACN+ NAC=90 ,./ MAB= ACN在MABffi ANCA中BMA ANCMAB NCA ,AB AC.MAB2 ANCA (AAS,BM=AN AM=CNMN=AN-AM=BM-CN考点：全等三角形的判定与性质.10.操作一(1) 14cm(2) 35 操作二 CD=4. 5【解析】试题分析：操作一利用对称找准相等的量：BD=AD /BADh B,然后分别利用周长及三角形的内角和可求得答案；操作二利用折叠找着AC=AE利用勾股定理列式求出 AR设

18、CD=x表示出BQ AE,在RtzBDE中，利用勾股定理可得答案试题解析：操作一(1) 14cm (2) 35操作二 由折叠知：AE=AC=9 DEL AB,设 CD=DE=X贝U BD=12-XaM AC2 BC2=81 + 144=225,. AB=15 .BE=15-9=6,又 BD2 DE2 BP , .（12 x）2 = x2+36,X二|， 即 CD=4 5cm考点：轴对称，线段的垂直平分线1011. CD的长为万cmi【解析】试题分析：利用翻折变换的性质得出DE=CDAC=AE=5cg DEB=90 , 进而利用勾股定理得出x的值.试题解析：.有一块直角三角形纸片两直角边 AC=

19、5cm BC=12cmAB=13cim将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边 AB上，且与AE重合, DE=CD AC=AE=5cm/ DEB=90 ,设 CD=xcnp 贝U BD=(12-x) crni,故 dE+bE=bD,即 x2+ (13-5) 2= (12-x) 2,解得：x=,3则CD的长为"cm.3考点：勾股定理12.1.【解析】解：过B作AC的垂线，垂足为D,线段BD就是要修的路.在4ABC中，AE2+BC=82 + 62= 100,而 aC= 102=100,AE2+BC= AC,即 ABC是直角三角形，且/ABC= 90 ,由1 1- ABgBC - ACgB

20、D , 22阳ABgBC 6 8得 BD 4.8 ( km),AC 10即所修路长为.13. 365【解析】解：在 RtABC中，ab Jac2 bc2 J9 122 15.由三角形的面积公式得1 ACgBC 1ABgCD , 22.AC gBC 9 12 36CD ，AB 155即斜边AB上的高CD是36. 514. （1）如果一个三角形的一边上的中线的长等于这条边长的一半，那么这个三角形是直角三角形.（2）173。 2【解析】试题分析：根据题目的已知条件和结论写出判断方法即可.试题解析：（1）如果一个三角形的一边上的中线的长等于这条边长的一半，那么这个三角形是直角三角形。（2）因为这个三角

21、形的一条边上的中线长是这条边长的一半，所以这个三角形是直角三角形。设这个直角三角形的两条直角边的长分别为a、b,则a+b=1+V3根据勾股定理，得a2+b2=22a2+b2=4因为（a+b） 2= a2+b2+2ab即（1+氏）2=4+2ab所以ab J3所以这个三角形的面积为1、.32考点：直角三角形斜边上的中线.15. (1)(答案不唯一)如图.(2)验证：:大正方形的面积可表示为(a + b)2,又大正方形的面积也可表示为c2 4 lab ,2.221 (a b) c 4 -ab , 2即 a2+b2+2ab=c2+2ab.a2+b2 = c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

22、.【解析】(1)(答案不唯一)如图.(2)验证：:大正方形的面积可表示为(a + b)2,又大正方形的面积也可表示为c2 4 lab ,2.221 (a b) c 4 -ab , 2即 a2+b2+2ab=c2+2ab.a2+b2 = c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.16. (1)证明见解析；(2)砌墙石专块的厚度a为5cm.【解析】试题分析：(1)根据题意可知 AC=BC/ACB=90 , ADL DE BU DE进而得到/ ADCWCEB=90 ,再根据等角的余角相等可得/BCEhDAC从而得到结论；(2)根据题意得：AD=4a BE=3a根据全等可得DC=BE=3a由勾

23、股 定理可得(4a) 2+ (3a) 2=252,再解即可.试题解析：(1)根据题意得：AC=B£/ACB=90 , ADL DE BU DE /ADCM CEB=90 , / ACD廿 BCE=90 , / ACD+ DAC=90 , . / BCE= DAC在ADCR! CEB 中，ADC CEBDAC BCE , AC BC.ADC A CEB(AAS;(2)由题意得：AD=4a BE=3a由(1)得：人口坐A CEBDC=BE=3 a在 RtMCD+: Aj+CD=AC, . (4a) 2+ (3a) 2=252,a>0,解得a=5,答：砌墙石专块的厚度a为5cm考点1

24、.:全等三角形的应用2.勾股定理的应用.17. (1)平分，理由详见解析；(2) 60【解析】试题分析：(1) AD平分/ BAC理由为： .BC边上的中线AD. BD=5.在 ABC中，AB=13 AD=12 BD=5 /. 252=242+72,即：AB=AD+BD./ADB=90 ,即 ADL BQAD垂直平分BCAB=ACAD平分/ BAC由(1)得AB=AC AD垂直平分BC BC AD二 S»AABC= -2=60.考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形面积的计算方法18. 5cm或 W cm【解析】试题分析：题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析.试题

25、解析：(1)当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5cm;(2)当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为 "cm;故直角三角形的第三边应该为 5cm或77cm.考点：勾股定理.19. 1681 或 1519.【解析】设第三边为x(1)若40是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得：92+402=x2, 所以 x2=1681.(2)若40是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得：92+x2=402,所以 x2=1519.所以第三边的长为1681或1519.20. 5或".【解析】试题分析：: Jm 3 n 4 0, . m- 3=0, n-4=0, . m=3 n=4, 即这个直角三角形的两边长分别