第二章 单自由度系统振动5.6课件

1、第二章 单自由度系统振动单自由度系统不但包含振动理论的重要基础，而且工程上有许多问题都可以简化为单自由度系统并得到满意的结果。此外，应用坐标变换或振型叠加法，多自由度系统和连续系统的振动可以转化为单自由度系统进行分析。因此，单自由度系统分析理论还是进一步研究复杂振动的基础。2.1振动微分方程单自由度系统由质量、弹簧及阻尼组成，一般受外部激励作用。图2.1(a)即为一简单的单自由度弹簧-阻尼器-质量系统，单自由度系统振动微分方程是一个二阶常系数微分方程。下面就通过几个例题来说明振动微分方程的建立方法。例一 简单弹簧质量系统如图2.1(a)所示：一单自由度弹簧-阻尼器-质量系统。该系统受激励作用，

2、质量、弹簧刚度和阻尼分别为m、k和c，弹簧无初始变形。解：取质量块为研究对象，以表示水平振动位移，当质量块水平振动位移为时，速度为，其受力图如图2.1(b)所示。根据牛顿第二定律，在水平方向有： (2.1)整理得： (2.2)例二 基础运动引起的振动图2.2(a)为基础运动引起系统振动的简化模型，如地震引起的机床、设备、工程结构物振动等。图中为基础的振动位移，此类问题可用两种坐标系建立方程，质量块的绝对振动位移或质量块相对基础的振动位移。当采用绝对坐标时，设为质量块的绝对振动位移，弹簧两端相对位移为，阻尼器两端相对速度为，受力图如图2.2(b)所示。图2.2(a)力学模型 图2.2(b)绝对坐

3、标 图2.2(c)相对坐标根据牛顿第二定律,在竖直方向有： (2.3)整理得： (2.4)当采用相对坐标时，设为质量块相对基础的振动位移，则质量块的绝对加速度为，受力图如图2.2(c)所示。根据牛顿第二定律，在竖直方向有： (2.5)整理得： (2.6)方程(2.4)和(2.6)形式上有差别，但计算结果是一样的。在此例中，我们没有考虑重力及弹簧在重力作用下的初始变形，这是因为我们是在平衡状态下研究振动增量，对于线性系统，初始变形量可以不考虑。在前面两例中建立方程时我们也没有标明坐标原点及其静平衡位置，这是因为振动分析只研究振动产生的动位移、速度、加速度和动力等部分，分析的是系统的附加动位移和附

4、加动力等，坐标原点或静平衡位置对动力分析没有影响。正因为如此，作结构全部受力分析时还要叠加上静力分析结果。比较(2.2)、(2.4)和(2.6)可以看出，单自由度系统振动微分方程一般形式为： (2.7)对于线性系统，系统参数m、c和k为常数，方程是二阶常微分方程。只是对不同的问题，其系数m、c、k和外力的表达形式不同，初始位移和初始速度不同。二阶常系数微分方程的解有两个待定常数，由系统初始位移和初始速度确定。当系统没有激励时，叫作自由振动，对应的振动微分方程是齐次微分方程；系统在激励作用下的振动（），叫作强迫振动，对应的振动微分方程是非齐次微分方程。阻尼的系统叫无阻尼系统。现实中并不存在无阻尼

5、系统，但无阻尼系统的讨论有重要的理论意义，这一点将在后续介绍中有所体现。微分方程建立后，单自由度振动问题已转化为寻找满足初始条件的微分方程解的问题。借助于计算机，我们已经可以很容易的得到它的响应。但为了全面了解振动特性，仅仅求出响应是远远不够的，必须学习其它分析方法和手段。微分方程已将力学问题转化为数学问题，由高等数学知识知道，非齐次微分方程的解是齐次微分方程的解叠加上特解。由于特解的求解受形式的影响，高等数学中分为几种类型求特解。本章将按物理意义分类介绍。无阻尼自由振动、有阻尼自由振动（齐次微分方程）和强迫振动（非齐次微分方程）、简谐激励和单位脉冲激励、一般激励强迫振动特解顺序讨论单自由度系

6、统振动，考虑到振动试验分析需要，还介绍了傅氏积分变换和传递函数。2.2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动系统是没有阻尼且不受外部激励的系统。令式(2.7)中和为零，得到无阻尼自由振动微分方程： (2.8)按微分方程理论，设其解为： (2.9)式中和均为待定常数。将式(2.9)代入式(2.8)式有为了得到非零解,只能：有令： (2.10)式中为虚数符号。根据微分方程理论，式(2.8)的通解为 (2.11)式中和为待定常数，可由初始条件确定。根据欧拉公式 (2.12)将(2.12)式代入(2.11)式整理得： (2.13)由于和都是待定常数，两个待定常数的和、差仍然是待定常数，可用另一个待定常数代替，

7、设 (2.14)式(2.13)改写为： (2.15)和是新的待定常数。设和关系如图2.3所示，则: 图2.3 变换示意图 (2.16) (2.17)将式（2-17）代入式(2.15)，解可表达为： (2.18a)将图2.3中的、互换，可得 (2.18b)式中和是待定常数。式(2.11)、(2.15)和(2.18)是同一个函数的三种表达式，表达式都各有两个待定常数，这些待定常数之间的关系见(2.14)、(2.16)和(2.17)，并由初始条件确定。三种表达式各有特点：式(2.11)求导方便；式(2.15)的两个常数分别由初始位移和初始速度确定；式(2.18)物理意义明确。下面我们用式（2-18b

8、）来讨论单自由度无阻尼自由振动特性，由于正余弦函数最大值为1，所以振动的最大幅度为，叫做振幅。由于正弦和余弦函数的周期是，所以振动的周期为： (2.19)图2.4振动曲线示意图由于只与系统的参数有关，其量纲为弧度/秒(rad/s)，在量纲上与简谐振动的圆频率相同，并仅仅由系统质量和弹簧刚度确定(见式2.10)，反映了系统的固有特性，所以叫作(无阻尼)固有频率。工程上常用每秒振动的次数来恒量振动的快慢，叫做(工程)频率(赫兹:1/s)。固有频率与工程频率的关系为： (2.20)其中： (2.21)根据(2.18a)画出振动曲线示意图如图2.4，可看出：单自由度无阻尼系统振动最大幅值-振幅不变，振

9、动的周期不变，振动的起始点由初始相位确定。反映了振动时刻的时间起点，叫做相位。因此，单自由度无阻尼自由振动是等幅的周期振动，也叫简谐振动。固有频率、振幅、相位反映了振动系统的基本特性，仅由系统参数确定。2.3 有阻尼自由振动阻尼在现实中具有普遍性，绝对无阻尼的情况是不存在的。阻尼要消耗能量，使振动衰减。若在振动过程中系统受到的阻尼不能忽略，就要建立有阻尼系统进行分析。有阻尼自由振动微分方程为： (2.22)两边同除以得到 (2.23)令 (2.24)的引入是为了解的表达式简洁，同时也有明确的物理意义，称为粘性阻尼因子。将式(2.10)和(2.24)代入式(2.23)有 (2.25)和无阻尼系统

10、一样，设方程的解为 (2.26)式中为常数，为一个尚待确定的量。将解(2.26)代入方程(2.25)，得到非零解的条件为： (2.27)它称为该系统的特征方程。这是关于的二次方程，它有两个根： (2.28)显然，根和的性质取决于的值。我们看到，当时，得到虚根，对应无阻尼自由振动。下面我们分别讨论(有阻尼)的情况。根据(2.26)，方程的解取决于开方项。其结果有三种情况：1.当时，开方项开方后为小于的正实数，和为两不相等的负实数，微分方程的解为：按指数规律衰减，并逐渐回到平衡位置，没有发生振动，这种现象叫做流变。振动中把的情况称为过阻尼情况，本书不作讨论。2.当时，开方项为零，和为两相同的负实数

11、，方程有重根，按照微分方程理论，微分方程的解为：显然，为单调减函数，当，系统也不振动。进一步分析可知，时，阻尼的大小刚好使系统能最快地回到平衡位置使系统不做周期振动，我们把对应的阻尼叫临界阻尼，它是使振动系统刚好不振动而又能最快地回到平衡位置时的阻尼，由（2.24）式知，其值为： (2.29)3.当时，开方项开方为小于1的虚数，和为共轭复数，令则： (2.30)微分方程的解可表达为 (2.31)根据上节的思路和方法,式(2.31)可表达为另外两种形式(2.32) (2.33a) (2.33b)以上三式均包含三角函数的乘积，表现出振动特性。所以当粘性阻尼因子时，系统是振动的。从式(2.33)可清

12、楚的看出解由两部分构成，按指数规律衰减的振幅和以为频率周期函数。因而，有阻尼振动为周期性的减幅振动，其周期为： (2.34)是有阻尼振动的固有频率。我们把的情况称为小阻尼情况。显然，有阻尼固有频率小于无阻尼固有频率。有阻尼系统周期大于无阻尼周期，阻尼使振动变慢、周期变长。根据式(2.33a),其典型的响应曲线如图2.5所示。振动是周期的，但振幅是衰减的，曲线是振幅的包络线。图2.5有阻尼自由振动响应对于有阻尼系统，一个周期前后振幅比值的对数称为对数衰减率，它是与阻尼有关的。 (2.35)为了减少测试误差，试验时往往多取几个周期。如图2.6所示，设时刻的振幅为，经过n个周期后，振幅为，其振幅比值

13、的对数是对数衰减率的n倍，有图2.6 有阻尼自由振动响应 (2.36)而所以而代入可求得： (2.37)当阻尼很小时，上式可进一步简化为 (2.38)对数衰减率为测试系统阻尼提供了理论基础。2.4单自由度系统的强迫振动及解的结构当系统受持续激励作用时的振动称为强迫振动。系统持续激励可以是连续的，也可以是间断的。我们用时间的函数F(t)表示。其振动方程的一般表达式为式（2.7）： (2.39)1.解的结构这是一个二阶线性非齐次微分方程。在数学上，非齐次方程的通解是由齐次方程的通解叠加特解而得。因此，利用前面求得的自由振动通解（齐次解），强迫振动的通解为： (2.40)如前节，上式还可以用其它两种

14、表达形式代入。在上式中，代入初始条件和就得到强迫振动通解。初始条件代入后有： (2.41)显然，虽然强迫振动通解和自由振动都是两个待定常数，但自由振动时两个待定常数仅仅由初始条件确定，而强迫振动通解中的两个待定常数不仅取决于初始条件，同时还要受特解影响。振动过程中阻尼总是客观存在的。因此，解的前一项(齐次解)是衰减的，并随着振动时间增加而逐渐消失，称为瞬态响应。后一项(特解)是外部激励的响应，只要激励是持续的，振动就不会消失。在一段时间过后，振动只有后一项（特解），称为稳态响应。显然，稳态响应与初始条件无关，只与系统和外部激励有关。在振动的前一段时间，振动是两项的叠加，在一段时间后就只有稳态响

15、应，瞬态响应时间的长短取决于阻尼的大小。待定常数中含有特解在初始时刻和的值。可将上式进一步分开写成三项：上式由三部分组成，第一部分为初始条件下系统的自由振动，由初始条件和系统参数确定；第二部分是激励与与自由振动的相互影响，叫作系统的自由伴随振动；第三部分为激励引起的稳态响应，由激励和系统参数确定。因此，由于激励的影响，对于初始位移和初始速度为零的系统，自由振动的通解项也会存在。事实上在(2.41)式中代入零初始位移和零初始速度，并将其代入(2.40)得： (2.42)2、共振和拍现象由于自由振动响应是简谐的，当激励也是简谐的时，在某些条件下振动现象比较特殊。如当系统固有频率与激励频率接近或相等

16、时，振幅会急剧增大，这种现象叫作共振。下面我们就无阻尼系统在简谐激励时的两种特殊现象进行讨论。第1种情况是与相差不大时响应出现的“拍”的现象；第2种情况是与相等时共振现象，我们把共振频率定义为。这两种情况我们都假设激励为，初始条件为和，根据无阻尼微分方程，特解为：其中频率比；显然，根据（2.42）无阻尼且满足零初始条件的解为： （A）1）当与相差不大时为了分析拍现象，令，则系统的响应变为：将上式改写为： 利用三角函数变换中的和差化积公式，变换为：由于与相差不大，其差值很小，上式每项均由两个频率相差很大正、余弦函数相乘，相对来说，前一项变化很慢，后一项变化很快，形成的响应示意如图2-7，慢变的前

17、项相当于快变的后项的振幅，振动看似被变成高频的。这种现象叫“拍”，拍的现象在实验测量频率中很大的用处，也是调频的基本原理。图2.7 “拍”的示意图2）当与相等时，响应的分母变为零，为利用洛必达法则分析，将用代替并代入式（A）得：当时，上式变成型，利用洛必达法则。分子、分母分别对求导，得系统的响应为：其中第一项是有限值，第二项是随时间增加而增大的。可见，当时，即时，在一段时间后，系统的振幅基本与时间成正比。因此，即使是无阻尼系统，虽然理论上共振时振幅会达到无穷大，但振幅增大的过程是与时间成正比的，需要持续的能量激励才可能发生，如图2-8所示。图2.8 共振时振幅随时间变化示意图根据强迫振动解的结

18、构及特性，下面我们主要研究稳态响应。显然稳态解的形式和和求解方法与激励形式有关。不同形式的激励物理意义不同，求特解的方法也不同。根据求解方法和振动物理意义我们把激励分为：简谐激励、周期性激励、冲击和单位脉冲、任意激励。任意激励是指没有上述特征的一般激励形式。2.5 简谐激励的稳态响应1稳态响应解简谐激励是指用正弦或余弦函数描述的激励。不失一般性，我们可根据欧拉公式(2.12)用简谐激励的复数形式： (2.43)其中为激励频率，为激励幅值。其实部对应余弦型激励、虚部对应正弦形激励，激励描述时没有考虑相位，但考虑相位的方法是一样的。引入简谐激励的复数形式不但是为了方便求解，更是为了后面章节应用。从

19、而简谐激励的一般振动微分方程为 (2.44)按微分方程理论，设特解形式为 (2.45)式中为待定常数。代入式(2.45)可得 (2.46)将A回代入式(2.46)可得稳态响应为： (2.47)若记 (2.48a)只与系统参数和激励频率有关，我们把它叫作传递函数，将在后面详细讨论。从而响应可用表达为： (2.48b)显然简谐激励的稳态响应仍然是简谐的，只是因为系统的影响，响应被“放大”倍，。为了进一步分析稳态响应特性，我们将对传递函数进一步分析。2解表达式及特性为了得到简谐激励稳态响应的具体表达式，对式(2.48)同乘分母的共轭复数，得： (2.49)根据图2.9所示关系，可得： (2.50)

20、(2.51)代入式(2.51)得： (2.52) (2.53)代回到(2.52)式得： (2.55 a) (2.55b)其实部为余弦激励的稳态响应、虚部为正弦激励的稳态响应。显然简谐激励的稳态响应仍然是简谐的，且周期和频率与激励一致，幅值放大了，并产生了相位差。将；，且定义频率比，代入(2.55)得 (2.56)若定义系统在激励力幅作用下的静位移为：则简谐激励稳态响应幅值是静位移的倍， (2A)我们把称做无量纲放大因子。相位差可由式(2.53)、(2.54)或下式求得： (2B)3. 幅频和相频率响应特性放大系数式（2A）和相位差式（2B）分别反映了幅值和相位差与不同阻尼比和频率比时的特性。时

21、幅频（幅值-频率）特性曲线如图2.10所示。图2.10 不同阻尼比时放大因子从图2.10看到，放大因子起点对应静力状态，此后随频率比增加而增加，在频率比为1附近达到最大值，以后逐渐减小，并逐渐趋于平缓。放大因子取极值，也就是根项内取极值，对式(2.54)根号内项求极值可得：有： (2.57)当频率比时，放大因子有最大值： (2.58)实际上由于阻尼的影响，放大因子最大值并不在的点，而是前移了，阻尼越小，前移量越小。对应不同阻尼系数，放大因子的值不同。从无量纲放大因子图（2.10）看出1）在共振频率附近阻尼对振幅的抑制作用非常明显，在离开共振稍远的范围，阻尼作用减弱。增加系统阻尼可以有效的减小共

22、振区的振动强度。2）为了减小系统的振动，使激励频率与系统固有频率相互避开是非常有效的；反之，要利用振动时就要使二者接近。3、系统对不同频率成分的振动量放大程度不同，振动测试时应当合理选择拾振器，希望工作频段在放大因子较平滑段（共振频率右边），否则，不同频率的振动放大程度差异太大，使信号失真。不同阻尼比时相频（相位-频率）特性曲线如图2.11所示，当系统固有频率与激励频率相等时，相位差为，图2-11 相位-频率特性曲线例四图2.12所示为车辆在不平的道路上匀速行驶时振动分析简化模型。设车辆质量，悬挂的刚度k=350kN/m，阻尼比为0.5，车速为v=100km/h，轨道不平顺呈正弦波形，可表示为

23、，其中波长。求车体稳态响应及振动加速度。解：取质量块为隔离体，x(t)表示质量块的绝对坐标，其受力图如图2.13所示：图2.13 受力图系统平衡微分方程为： (a)整理得： (b)将代入不平顺中，并设，则，将其代入式（b）得：稳态响应为由两项叠加而成，根据式(2.52)，取实部力幅为、取虚部时力幅为，叠加得：则振动加速度最大值为： 此结果核实一下？代入数据解得2.6冲击、单位脉冲响应和任意激励的响应除直接对方程(2.39)用数值积分方法求解外，求任意激励的响应的解析方法还有杜哈梅积分法和积分变换法。杜哈梅积分是将激励看作是一系列脉冲激励的叠加，求出脉冲激励的响应后，将这一系列脉冲激励响应叠加就

24、得到了任意激励的响应。积分变换方法是将振动微分方程(2.39)作拉氏或傅氏变换，然后反变换求响应。2.6.1 冲击、单位脉冲函数振动系统受冲击时的响应叫作冲击响应。冲击激励形式多样，除工程中的冲击问题外，在振动测试中，我们往往用力锤激振系统。冲击过程时间一般很短，在很短的时间内系统受力从无达到最大并消失，如图（2.14a）所示。冲击过程相对复杂，但当我们对冲击过程不感兴趣时，冲击引起的冲击响应问题可描述为三个阶段。1、 冲击前系统初始位移和初始速度均为零；2、 系统在某时刻受冲击力F作用，在很短的时间内系统受力从无达到最大并消失，短暂的冲击过程结束后，系统获得冲量U，质量块获得一个初始速度。由

25、于冲击过程时间短，产生的位移可以忽略。3、 冲击结束后瞬时、系统以冲击结束后的速度为初始条件自由振动。设冲击发生在t=0时刻，分别用0-和0+表示冲力作用瞬间的前后时间，则，在此过程结束后系统获得冲量U，质量块获得一个初始速度：在冲击过程质量块产生位移是冲击时间的乘积，因为冲击时间很短，可假设位移很小，与速度相比可以略去。冲击束后系统系统不再有激励，只是以初始速度开始作自由振动。因此、求冲击响应而不注重冲击过程时，我们可以不考虑冲击过程力的详细变化规律，而只需要知道冲量的大小。根据冲量的定义，我们可以把发生在时刻的冲击冲量简化为宽为，高为的脉冲力，用如图（2.14b）所示。如冲量为1、叫作做单

26、位脉冲。显然、当脉冲宽度趋近于零，脉冲力趋近于无穷大。（a） （b）图2.14 冲击与脉冲激励在数学上单位脉冲函数很好的描述了单位脉冲力，如图2.14（b）所示，它定义为 (2.59) 或如图2.14（b）所示 ，当时且有 (2.60)函数还有如下的重要性质 (2.61)其中为一连续函数。式(2.59)使具有定位功能，式(2.61)使具有筛选功能。2.6.2 单位脉冲响应当冲击力的冲量为1时，激励称为单位脉冲，处于零初始条件的系统对单位脉冲力的响应称为单位脉冲响应，记为。单位脉冲响应为初始位移为0，而初始速度为的自由振动，由2.4节单自由度有阻尼系统的通解为：将初始条件代入上式有：因此：其响应

27、如上图2.15所示。当系统无阻尼时，只需要令阻尼为零，可得无阻尼时的单位脉冲响应。如果冲击发生在时刻，则单位脉冲响应也将滞后时间，有，响应在大于零时才开始（图2.15）。图2.15 响应时间滞后示意图2.6.3任意激励响应杜哈梅(Duhamel)积分当初始条件为零的系统受到任意激振力作用时，可以将激振力看作是一系列的宽度为，高度为的脉冲力，如图2.17所示。在时刻的脉冲力，其冲量对的任意时刻响应的贡献为： (2.62)图2.17 任意激励划分示意图由线性系统的叠加原理，系统在任意激励时时刻的响应等于激励在时间区间内的各个脉冲响应的总和，即 (2.63)上式的积分形式称为卷积。因此线性系统对任意

28、激励的稳态响应等于它的单位脉冲响应与激励的卷积。式(2.60)称为杜哈梅积分。由卷积性质，上式的积分变量可以互换。有 (2.64)例六求无阻尼系统的阶跃激励响应阶跃激励是指突然施加在系统上大小不变的激励，用，其中如表示激励的大小，称为阶跃函数，如图2.18所示。图 2.18阶跃函数的表达式为它的导数为函数，也是振动分析的一个常用函数，其响应叫阶跃响应。由杜哈梅积分，无阻尼阶激励的响应：2.7傅氏级数及傅氏变换、频率谱响应反映了振动量与时间的关系，对于振动量，我们不仅仅需要从响应了解幅值，更需要了解其频率特征。对于稍微复杂的振动量，从响应很难直接得到频率特征。傅氏级数及傅氏变换是分析振动频率特征

29、的有效工具。下面我们从傅氏级数开始介绍频率谱及傅氏积分变换。2.7.1 傅氏级数简谐运动是最基本和最简单的振动形式。对于线性系统，求周期激励的稳态响应可先将周期激励分解的一系列不同频率的简谐激励分量，然后求出各简谐激励分量的响应，再根据线性系统的叠加原理，将各个响应逐一叠加就得到了系统对周期激励的稳态响应，从而将周期激励的稳态响应问题转化为简谐激励稳态响应的求和问题。另一方面，对于一个周期为振动量，总有，其基本园频率。总是可以用傅氏级数把其分解为谐波： （2.65）其中、是各个正、余弦谐波分量的幅值，是的平均值。是各个谐波的频率。为确定余弦项和正弦项的幅值和，利用三角函数的正交性，把（1-1）

30、式两侧同乘上或，然后对从到上积分可得： （2.66）显然，、反映了每个谐波分量的幅值，在图上是离散的，可叫做（频率的）幅值谱。例五求如图2.16所示方波的傅氏级数。图2.16解：将方波激励展开成傅氏级数，各谐波分量系数为： 因为基本园频率，所以上式划为：各谐波分量的幅值与频率关系如下图。图2.17 谐波分量幅值幅值谱2.7.2 复傅氏级数及傅氏积分（2.66）式中所求的和是实数傅氏系数，或即称为傅氏系数，是物理振动过程，当然是实数级数。在理论推导中常采用复数形式比较方便，复傅氏级数当然并不改变振动过程本身。在式（2.67）中利用欧拉公式：； （2.67）整理后并记 （2.68）（2.69）式就

31、成为下面形式。虽然只是形式上的改变，但将傅氏级数从实数域扩展到了复数域，叫复傅氏级数。 （2.69）其中，由（2.68）和（2.69）式可知为： （2.70）傅氏级数及复傅氏级数只适于对周期函数进行频率分析。2.7.3 傅氏积分变换对于周期函数，作谐波分析时，由于需要满足周期的要求，所以各高次谐波的频率只能取基频的整数倍。实际应用中有很多非周期函数，我们可以将非周期函数看作是周期可趋近的周期函数。当周期趋近时，频谱间隔将趋于零，傅氏级数的求和转变积分。显然，频谱间隔将趋于零使得谱将是连续的，这是周期函数与非周期函数在频域中表现出的主要特征差别之一。对于周期函数，频率间隔为。频谱是离散取值的。愈

32、大，频率间隔愈小。对于非周期函数，当T趋近无穷大时，记频率间隔为，则同理周期函数中频率间隔的整数倍可表达为：从而：将（2.70）式代入：可以认为，因而，（连续取值），。因而有，可以记函数 （2.71）为原函数的正傅氏积分变换，则的逆傅氏积分变换为： （2.72）把乘数放在正或逆傅氏变换中有不同的取法。把乘数放在逆变换中，这时由于，所以这样的傅氏变换对对于圆频率和对于赫兹频率将是一致的。使用（2.71）和（2.72）作为傅氏变换对时，赫兹频谱与圆频率频谱之间的关系成为： （2.73）即赫兹频谱等于圆频率频谱中的以代替后，再乘以。一般是复的，可以用实部频率、虚部频率、幅值频率、相位频率的图线表示。

33、为了比较傅氏级数和傅氏积分的差别，我们对前例用积分变换求幅值谱。例六 对图2.16所示方波进行傅氏积分变换，也在一个周期内进行。解：其实部为零，虚部为： 由于是连续变化的，与实傅氏变换相比，除基本园频率取极值外，在其它点并不为零。图2.18 幅值谱：（a）傅里叶积分；（b）傅里叶级数2.8 传递函数除了根据激励求响应外，还需要根据激励和响应求系统的物理参数-系统参数识别，系统参数识别也是故障诊断的理论基础。在求简谐振动的稳态响应时，我们的知道复数形式激励和稳态响应与激励之间的关系仅仅由确定，而与激励无关，仅由系统参数m、c、k和振动频率确定，为系统参数识别提供了基础。在工程中随不同的激励和响应而给出了不同的名称，例如力激励至位移响应时称为位移导纳或动柔度，速度至力称机械阻抗。由于它用复数形式反映了系统的幅值和频率传递特性，也叫作复频响应函数；常把用拉氏变换复参量表示的传递恃性称为传递函数，也有用传递函数一词来统称各种频率传递特性，本书也将它称为传递函数。从输入、系统、输出三者之间的关系看，响应是通过反映系统物理特性的后传递的激励，不同的系统传递后的响应不同。传递函数还可根据微分方程由傅氏变换和拉氏变换得到。对于一般的系统振动微分方程均有式（2.66）的形式，其传递函数 (2.74)在工程实际中有不同的系统、不同的输入和输出关系，因此也有不同形式。对于