函数定义域--抽象函数定义域的求法

1、知识闯关考点明示：1、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域2、会求一些较为复杂的函数的定义域；3、理解并初步掌握求定义域的逆向思维知识梳理已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况：1、分式中的分母不为零；2、偶次方根下的数（或式）大于或等于零；3、指数式的底数大于零且不等于一；4、对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。5、正切函数y tanx x R,且x1. (2008 全国 I 理，1)函数 y= x(x 1)Jx的定义域为A.x|x 0C.x|x 1 U0答案CB.x|xD.x|01x 12. （2009 河南新郑二中模

2、拟）函数y= log 2（x 1）的定义域是,2 xA. 1,2B.2)C.(2, +00)D.(-巴2)答案B3. （2008 湖北理，4）函数f (x) =Lnx3xx2 3x 4)的定义域为A.-OOB.C. -4 , 0) U ( 0, 1答案 DD.(-4, 0) U ( 0, 1)-4, 0) U ( 0, 1)4、y= (x 1)x| x1，即 x|x|口 x 10, 口解：由题意得，化简得|x| x 01 一.故函数的JE义域为x|x0且x，-1.0难点突破或易错点明晰（此处结构为考查角度（知识点），单独成行。例题精析（例题+分析）变式训练（附答案及解析，也就是做成教师用书格式

3、）考查角度:1、已知f（x）的定义域，求f g（x）的定义域2、已知f g（x）的定义域，求f（x）的定义域3、已知的定义域，求的定义域4、求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域5、应用题中的定义域除了要使解析式有意义外，还需考虑实际上的有效范围。例题精析:例1已知函数f(x)的定义域为15，求f(3x 5)的定义域.分析：若f (x)的定义域为a x b,则在f g(x)中，a g(x) b ,从中解得x的取值范围即为 f g(x)的定义域.本题该函数是由u 3x 5和f(u)构成的复合函数,其中x是自变量，u是中间变量，由于 f(x)与f(u)是同一个函数，因此这里是已知1&u05

4、,即103x 5 0 5,求x的取值范围.410解：Qf(x)的定义域为15,1 3x 5 5 ,- x ,334 10故函数f (3x 5)的定义域为 4,-0 .3 3变式训练：1若函数yf(x)的定义域为 1,2，则f (log 2 x)的定义域为2x 2 ；所以y f (log 2 x)中有1 一. 1分析：由函数y f(x)的定义域为 1,2可知：122log2 x 2。解：依题意知：解之，得： 2x41 log2 x 22f (log 2 x)的定义域为x|j2 x 4例2已知函数f(x2 2x 2)的定义域为 0,3 ,求函数f(x)的定义域.分析：若f g(x)的定义域为m x

5、 n ,则由m x n确定的g (x)的范围即为f(x)的定义域.这种情况下，f (x)的定义域即为复合函数f g(x)的内函数的值域。本题中令 u x2 2x 2,则 f(x2 2x 2) f(u),由于f (u)与f (x)是同一函数，因此 u的取值范围即为 f(x)的定义域.解：由 0 & x & 3 ,得 1 w x2 2x 2 w 5 .令 u x2 2x 2,则 f(x2 2x 2) f(u) , 1 u5.故f(x)的定义域为15变式训练：已知函数的定义域为，则的定义域为解：由，得所以，故填例3.函数定义域是，则的定义域是()A. B. C. D.分析：已知的定义域，求的定义域，

6、可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域解：先求的定义域的定义域是，即的定义域是，再求的定义域的定义域是，故应选A变式训练：已知函数f(2 x)的定义域是-1 , 1,求f(log 2X)的定义域.分析：先求2x的值域为M则log 2X的值域也是 M,再卞据log 2X的值域求定义域。1解 ,y=f(2 x)的定义域是1-1, 1,即-1 wxwi, 2 W222.1函数 y=f(log 2X)中 2 w log 双w 2.即 log 22 log 2X log 24, 22 x4.故函数f(log 2X)的定义域为J2 , 4例4若f(X)的定义域为3,5 ,求(x) f( x)

7、f (2x 5)的定义域.分析：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集.、.3 x5,解：由f(x)的定义域为3,5 ,则(x)必有 解得 4 x0.3 2x 5 5,所以函数 (x)的定义域为4,0 .变式训练：已知函数的定义域是，求的定义域。分析：分别求f(x+a)与f(x-a)的定义域，再取交集。解：由已知，有,即函数的定义域由确定函数的定义域是例3、某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为 x、y(单位：m) 的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积 8cm2.问x、y分别为多少(精确到 时用料最省？分析：

8、应用题中的定义域除了要使解析式有意义外，还需考虑实际上的有效范围。实际上的有效范围，即实际问题要有意义，一般来说有以下几中常见情况：(1)面积问题中，要考虑部分的面积小于整体的面积；(2)销售问题中，要考虑日期只能是自然数，价格不能小于0也不能大于题设中规定的值(有的题没有规定)；(3)生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只能是自然数，增长率要满足题设；(4)1 C路程问题中，要考虑路程的范围。本题中总面积为S三角形 S矩形xy X2 8,由于一,4xy 0,于是1x2 8,即x 4叵。又x 0,，x的取值范围是0 x 4 J2。4解：由题意得28勺xy+ x =8, - y=- = (0x4

9、 /6 4- 2 .22x当(3 +J2)x= 16，即x=8 4 J2时等号成立. 2x此时，x ,y=2 J2 =.故当x为,y为时，用料最省.变式训练：13. (2007 北京理，19)如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 2r,短半轴长为r.计划将此钢板 切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底 CD的端点在椭圆上.记CD=2x,梯形面积为S.(1)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值.解(1)依题意，以AB的中点。为原点建立直角坐标系O-xy (如图)，则点C的横坐标为x,点C的纵坐标y满足方程22三七1,r 4r1斛得 y=2 r r x

10、 (0xr).S= (2x+2r)24 r x=2(x+r) - ,r2 x2 ,其定义域为x0xr.(2)记 f(x)=4(x+r)2(r 2-x 2),0xr,则 f (x)=8(x+r) 2(r-2x).令 f (x)=0,得 x=lr.因为当 0x0;22当Lxr时,f (x)0 ,所以f (工r)是f(x)的最大值.22因此，当x=1r时，S也取得最大值，最大值为 jf (1r) 竽 r2.即梯形面积S的最大值为 以3r2. 2巩固训练(各专题题目数量尽量一致，各题均附答案及解析)1 .设函数的定义域为，则(1)函数的定义域为。(2)函数的定义域为分析：做法与例题1相同。解：(1)由已知有，解得故的定义域为(2)由已知，得，解得故的定义域为2、已知函数的定义域为，则的定义域为。分析：做法与例题2相同。解：由，得所以，故填3、已知函数的定义域为，则y=f(3x-5)的定义域为 o分析：做法与例题3相同。解：由，得所以，所以0W3x-5Wl,所以5/3 WxW2.1-14、设函数y=