中考数学反比例函数(大题培优易错难题)附答案解析

1、中考数学反比例函数（大题培优 易错难题）附答案解析、反比例函数2),与y轴交于点C.（1） m=， ki=（2）当x的取值是 时，kix+b>7 ；OP（3）过点A作AD，x轴于点D,点P是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线与线段AD交于点E,当S四边形odac: Saode=3: 1时，求点P的坐标. /【答案】（1） 4; 一（2） - 8<x< 0 或 x>416点C的坐标是（0, 2）,(3)解：由(1)知，yi= * x+2与反比仞函数y2=工 的坐标是(4, 4).CO=2, AD=OD=4.8 +2 + 4二 S 梯形 ODAC=? ?OD=工 X

2、4=12S 四边形 odac: Saode=3: 1 , I _Saode=二 S梯形 odac= ,X 12=4即一 OD?DE=4, .DE=2.点E的坐标为（4, 2）.又点E在直线OP上，直线OP的解析式是y= 2 x,16,直线OP与y2=工的图象在第一象限内的交点P的坐标为（4史，2母）【解析】【解答】解：(1) .反比例函数y2= *的图象过点B(- 8, - 2) ,k2=(-8) x ( 2) =16,即反比例函数解析式为 y2= w ,将点 A (4, m)代入 y2= r ,得：m=4,即点 A (4, 4),将点 A (4, 4)、B(8, 2)代入 yi=kix+b,

3、f 4k b = 4得：'四，人 一Ji =- i 2解得：口一上，/，一次函数解析式为 yi = - x+2,故答案为：4, 士； (2)二一次函数 yi=kix+2与反比例函数 y2= x的图象交于点 A (4, 4)和 B ( - 8, - 2),.,.当yi>y2时，x的取值范围是-8vxv 0或x>4,故答案为：-8vxv。或x> 4;【分析】(i)由A与B为一次函数与反比例函数的交点，将 B坐标代入反比例函数解析式中，求出k2的值，确定出反比例解析式，再将 A的坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出A的坐标，将B坐标代入一次函数解析式中即可求出ki的值；

4、(2)由A与B横坐标分别为4、- 8,加上0,将x轴分为四个范围，由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可；(3)先求出四边形 ODAC的面积，由 S四边形odac:Saode=3: i得到ODE的面积，继而求得点 E的坐标，从而得出直线 OP的解析式，结合 反比例函数解析式即可得.2.如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴A上，点A在反比仞函数y=上(k>0, x>0)的图象上，点 D的坐标为(, 2).(i)求k的值；£(2)若将菱形 ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的一个顶点恰好落在函数y=? ( k>

5、0, x>0)的图象上时，求菱形 ABCD平移的距离.【答案】(1)解：作DEBO, DF，x轴于点F,O I。尸F点D的坐标为(4,2), . DO=AD=3,，A点坐标为：(xf5 , 5),k=5 XP;k(2)解：二将菱形ABCD向右平移，使点 D落在反比例函数v=x (x>0)的图象上D', . DF=D ' F； =2D'点的纵坐标为2,设点D' (x, 2)菱形ABCD平移的距离为 二,A同理，将菱形 ABCD向右平移，使点 B落在反比例函数y= (x>0)的图象上,菱形ABCD平移的距离为综上，当菱形 ABCD平移的距离为2或3

6、时，菱形的一个顶点恰好落在函数图象上.【解析】【分析】(1)根据菱形的性质和 D的坐标即可求出 A的坐标，代入求出即可;2 2) B和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可.3 .已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数 y=i*的图象交于点 C (3, 1)(1)试确定上述比例函数和反比例函数的表达式;(2)根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？(3)点D (m, n)是反比例函数图象上的一动点，其中0vmv3,过点C作直线AC±x轴于点A,交OD的延长线于点 B;若点D是OB的中点，DE，x轴于点E,交OC于点F, 试求四边形

7、DFCB的面积.k1【答案】(1)解：将点C (3, 1)分别代入y=Dy=ax,得：k=3, a=J ,.反比例函数解析式为 y=上，正比例函数解析式为 y=3x；(2)解：观察图象可知，在第二象限内，当 0vxv3时，反比例函数值大于正比例函数值；(3)解：,一点D (m, n)是OB的中点，又在反比例函数 y=上,1 |J 3 .OE=二 OA=，点 D (上，2),，点 B (3, 4),I又,一点F在正比仞函数y= 3 x图象上，DF=归、BC=3、EA=-,1 J 忖留四边形DFCB的面积为上X上+3) X- = 8 .【解析】【分析】(1)利用待定系数法把 C坐标代入解析式即可；

8、(2)须数形结合，先 找出交点，在交点的左侧与 y轴之间，反比例函数值大于正比例函数值.(3)求出DF、BC、EA,代入梯形面积公式即可.A4.如图1,经过原点的抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为点 C;与双曲线y=相交 于点A, B;直线AB与分别与x轴、y轴交于点D, E.已知点A的坐标为(-1 , 4),点 B在第四象限内且到 x轴、y轴的距离相等.图1图2(1)求双曲线和抛物线的解析式；(2)计算 ABC的面积；(3)如图2,将抛物线平移至顶点在原点上时，直线 AB随之平移，试判断：在 y轴的负 半轴上是否存在点 P,使4PAB的内切圆的圆心在 y轴上？若存在，求出点 P

9、的坐标；若 不存在，请说明理由.【答案】(1)解：把点A的坐标代入双曲线的解析式得：k=-1X4= 4.所以双曲线的解析式为 y=- a .设点B的坐标为(m, - m).点B在双曲线上，-m2=- 4,解得 m=2 或 m=2.点B在第四象限， m=2 .B (2, - 2).a - b c = 44a + 2b * c = - 2将点A、B C的坐标代入得：= 0,(b = - J解得： e 0 .，抛物线的解析式为 y=x2 - 3x.(2)解：如图1,连接AC、BC.令 y=0,则 x2-3x=0,. .x=0 或 x=3,C (3, 0),- A (T, 4) , B (2, - 2

10、),直线AB的解析式为y= - 2x+2,点D是直线AB与x轴的交点，D (1, 0),M 7Saabc=Saadc+Sx bdc=:'X 2 X-4+K 2 X 2=6(3)解：存在，理由：如图 2,J g由原抛物线的解析式为 y=x2- 3x= (x- - ) 2- 4 ,，原抛物线的顶点坐标为(上，-，)，39一T抛物线向左平移 上个单位，再向上平移 /个单位, 而平移前 A ( - 1, 4) , B (2, - 2),W陷Id 口 平移后点 A(- 一 ,)，B(2, 7), A 2b，点A关于y轴的对称点AI /)， 连接A'B并延长交y轴于点P,连接AP, 由对称

11、性知，/ APE=/ BPE, .APB的内切圆的圆心在 y轴上,112b- B ( - , ') , A'(上，J ),直线A'B的解析式为y=3x-，P (0,【解析】【分析】(1)首先将点 A的坐标代入反比例函数的解析式求得k的值，然后再求得B的值，最后根据点 A的坐标求出双曲线的解析式，进而得出点B的坐标，最后，将点A、B、O三点的坐标代入抛物线的解析式，求得 a、b、c的值即可；(2)由点A和点B的坐标可求得直线 AB的解析式，然后将 y=0可求得点D的横坐标，最 后用三角形的面积和求解即可；(3)先确定出平移后点 A, B的坐标，进而求出点 A关于y轴的对称

12、点的坐标，求出直线 BA'的解析式即可得出点 P的坐标.5.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 y=kx+b ( kw。的图象与反比例函数v = -(m K 刃工的图象交于二四象限内的A、B两点，与x轴交于 C点，点B的坐标为求该反比例函数和一次函数的解析式;(1)为 x 轴负半轴上一点，且 sin/AOE=(2)求4AOC的面积;(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围.(1)解：作AD，x轴于D,如图,AD 4在 RtOAD 中，1. sinZ AOD= =,4AD= - OA=4,. OD= J。*，=3,A (-3, 4),把 A ( - 3, 4)代

13、入 y=互得 m= - 4X 3=- 12,所以反比例函数解析式为y=-12把B ( 6, n)代入y=-犬得6n= -12,解得n= - 2,把 A ( - 3, 4)、B (6, - 2)分别代入 y=kx+b得华” 二-2 ,解得 » =二,所以一次函数解析式为 y=- - x+221(2)解：当 y=0 时，3x+2=0,解得 x=3,则 C (3, 0),所以 S.aoc= 士 X 4X 3=6 (3)解：当xv - 3或0vxv 6时，一次函数的值大于反比例函数的值【解析】【分析】(1)作AD>±x轴于D,如图，先利用解直角三角形确定A (-3, 4),闻

14、再把A点坐标代入 y=；可求得m= - 12,则可得到反比例函数解析式；接着把 B (6, n) 代入反比例函数解析式求出n,然后把A和B点坐标分别代入 y=kx+b得到关于a、b的方程组，再解方程组求出a和b的值，从而可确定一次函数解析式；(2)先确定 C点坐标，然后根据三角形面积公式求解；(3)观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可.7 -6.如图，过原点 O的直线与双曲线J交于上A (m, n)、B,过点A的直线交x轴正6r - q半轴于点D,交y轴负半轴于点 E,交双曲线 1于点P(1)当m=2时，求n的值；(2)当OD: OE= 1: 2,且 m=

15、3时，求点P的坐标;(3)若AD=DE,连接BE, BP,求4PBE的面积.【答案】(1)解：:点A(m, n)在双曲线y=x上，mn = 6,m= 2, n = 3;(2)解：由(1)知，mn = 6,m= 3,. . n = 2, A (3, 2),. OD: OE= 1: 2,设 OD= a,则 OE= 2a, ,点D在x轴坐标轴上，点 E在y轴负半轴上，.D (a, 0) , E (0, - 2a), 直线DE的解析式为y=2x-2a,.一点人(3, 2)在直线y=2x- 2a上，6 - 2a = 2,. a = 2,直线DE的解析式为y=2x-4，双曲线的解析式为 y=、，a = J

16、产=-4联立 解得，- (点A的横纵坐标，所以舍去)或 J- 3 ,P (-2, - 3);(3)解：AD=DE,点D在x轴坐标轴上，点 E在y轴负半轴上，A (m, n), 1.E (0, - n) , D (上 m, 0),2n直线DE的解析式为y=曲x- n,mn = 6, 6-'-m=n, . y = ' x- n, 双曲线的解析式为 y= ，联立解得，J F (点A的横纵坐标，所以舍去)或 -% P ( -2m, - 2n), . A (m, n),直线AB的解析式为y=mx. A = ax = - ih联立 解得，泞二d (点a的横纵坐标，所以舍去)或 勺 山 B

17、( - m, - n),- E (0, - n),.BE/x 轴, /I1 Sa pb 一 BE X Ey yp| = x m>|n - (- 2n) | =:'mn = 3.【解析】【分析】(1)把A (2, n)代入解析式即可求出 n； (2)先求出A点坐标，设 OD=a,则OE= 2a,得 D(a,0),E (0,-2a),直线 DE 的解析式为y=2x- 2a,把点A (3, 2)代入求出a,再联立两函数即可求出交点 P; (3)由AD=DE,点D在x轴坐标轴上，点 E在y轴负半轴上，故 A (m, n) , E (0, - n) , D (一 m, 0),求得直线 DE

18、纠if|6的解析式为 y = mx- n, 又 mn = 6, 得 y ='x- n, 与 y = i 联立得JtX " 3笳i n-“二 *,即为P点坐标，由直线 AB的解析式为v" x与双曲线联立解得B国 0(-m , - n),再根据 Sa pbe= - BE x Ey yp| =二'x mx-1 n - (- 2n) | 求出等于 3.67.如图1,已知 x (x>0)图象上一点(0, b) (b>0),动点 M是y轴正半轴上P, PA!x轴于点A (a, 0),点B坐标为B点上方的点，动点 N在射线 AP上，过点 B作AB的垂线，交射线

19、 AP于点D,交直线MN于点Q,连结AQ,取AQ的中点为C.(1)如图2,连结BP,求4PAB的面积;(2)当点Q在线段BD上时，若四边形 BQNC是菱形，面积为 h门 ,求此时P点的坐标;(3)当点Q在射线BD上时，且a=3, b=1,若以点B, C, N, Q为顶点的四边形是平行四 边形，求这个平行四边形的周长.(1)解：连接OP,s JPAB - 5 JPA0 -二N 二 G X 6(2)解：如图1, 四边形BQNC是菱形,BQ=BC=NQ / BQC=Z NQC。,. ABXBQ, C是 AQ 的中点，. . BC=CQ= AQ。/ BQC=60 ,° / BAQ=30 ；B

20、Q 二 NQ在 4ABQ 和 4ANQ 中， QA QA , ABQ仁 ANQ (SAS。/ BAQ=Z NAQ=30 :/ BAO=30。°I元 JS四边形BQNC= 二%号 ,BQ=2。AB/ BQ=入弓。o OA=二 AB=3。6v -又P点在反比例函数二的图象上，P点坐标为(3, 2)。(3)解：,. OB=1, OA=3, ，AB=L。OB OA.AOBsDBA,AB BD。. BD=3 川。如图，当点Q在线段BD上，,. ABXBD, C为 AQ 的中点, . BC=- AQ。四边形 BNQC是平行四边形，.1.QN=BC, CN=BQ CN/BD。CN AC i1QD

21、AQ 'BQ=CN= ? BD= t亢。.AQ=217。. C四边形BQNC人""f:口 。 如图，当点Q在线段BD的延长线上, A5. ABXBD), C为AQ的中点,/BC=CQ= AQ。，平行四边形 BNQC是菱形，BN=CQ BN/CQBD BN/QD AQ _ oBQ=3BD=9"。，%-弁，bW -k助：丽F .耳幅。 . C四边形BNQC=2AQ=1收历。【解析】【分析】（1）连接OP,构建同底等高的两个三角形A PABf A PAO利用面积相等求出4PAB的面积。（2）利用条件先求出 /BQC=60, /BAQ=30,再证明ABQ0ANQ,

22、利用全等三角形的 对应角相等，求出 /BAO=30,再由四边形 BQNC的面积为:%方，求出OA的长，从而求 出点P的坐标。（3）点Q在射线BD上，需要分两种情况讨论，（1）当点Q在线段BD上，（2）当点Q 在线段BD的延长线上，分别利用平行四边形的性质求解。8.如图，正方形AOCB的边长为4,反比例函数v=' （kwQ且k为常数）的图象过点E,B且 S»AAOE=3S>A OBE .(1)求k的值；（2）反比例函数图象与线段 BC交于点D,直线v=l x+b过点D与线段AB交于点F,延长OF交反比例函数y= 1 （x<0）的图象于点 N,求N点坐标. . AE=

23、3BE【答案】（1）解：. Saaoe=3SOBE ,.AE=3, E (3, 4)反比例函数y= x （kwQ且k为常数）的图象过点 E,4=(2)丁点，点丁点T ,即 k= - 12解：二正方形AOCB的边长为4, 点D的横坐标为-4,D在反比例函数的图象上，D的纵坐标为3,即D （ - 4, 3）.J.D在直线y= 2 x+b上，1点F的纵坐标为4.。X ( 4) +b,解得 b=5.2 直线 口5为 y= 2 x+5,1将 y=4 代入 y= x+5,得 4= 2 x+5,解得 x=- 2. 点F的坐标为（-2, 4）,设直线OF的解析式为y=mx,代入F的坐标得，4= - 2m,解得

24、m=-2, 直线OF的解析式为y=- 2x,N （-【解析】124）代入利用待定系数法即的横坐标为-4,点F的纵【分析】（1）根据题意求得 E的坐标，把点 E （ - 3,可求出k的值；（2）由正方形 AOCB的边长为4,故可知点 D坐标为4.由于点D在反比例函数的图象上，所以点 D的纵坐标为3,即D （-4, 3）,由点D在直线y= ： x+b上可得出b的值，进而得出该直线的解析式，再把y=4代入直线的解析式即可求出点 F的坐标，然后根据待定系数法求得直线OF的解析式，然后联立方程解方程组即可求得.mn9.在平面直角坐标系 xOy中，对于双曲线 y= a (m>0)和双曲线 y=. d

25、 (n>0),如果m=2n ,则称双曲线 y= / (m>0)和双曲线 y= 土(n>0)为倍半双曲线"，双曲线 y=*(m>0)是双曲线y= d (n>0)的 惜双曲线”，双曲线y=工(n>0)是双曲线y=i (m>0)的半双曲线”，(1)请你写出双曲线y= a的 情双曲线”是；双曲线 y= a的 半双曲线”是(2)如图1,在平面直角坐标系 xOy中，已知点A是双曲线y= 为在第一象限内任意一点,4过点A与y轴平行的直线交双曲线 y1的半双曲线”于点B,求4AOB的面积；(3)如图2,已知点 M是双曲线y= V (k>0)在第一象限内

26、任意一点，过点 M与y轴2k2k平行的直线交双曲线 y=1的半双曲线”于点N,过点M与x轴平行的直线交双曲线y= n的半双曲线”于点巳若 MNP的面积记为S>amnp ,且1W§mnpW2,求k的取值范围.6【答案】(1) y= 上(2)解：如图1,双曲线y=富的 半双曲线”是y=.AOD的面积为2, ABOD的面积为1 ,.AOB的面积为1(3)解：解法一：如图 2,2kkjr 二fir > q）jf =（k '' Q）依题意可知双曲线，,”的 半双曲线”为 .1,2kk设点M的横坐标为 m,则点M坐标为（m,即），点N坐标为（m,加），2k lA .C

27、M=5,CN,叩., 一 d_lJ;L,一 至MN=出一加同理PM=m "/.Sa pmn= MN?PM= .1 1 <&pmn2,A . 1 dw2 -4< k18解法二：如图3,设点M的横坐标为 m,则点M坐标为（m,毋），点N坐标为（m,血），点N为MC的中点，同理点 P为MD的中点. 连接OM,.而访, 二,.PMNAOCM.S上朝 1，s 口小服 ？. Sa QCM=k,.Sa pmn=4.1 1 W8PMNW2, La.J Wr'W2.4< kW8【解析】【解答】解：（1）由 倍双曲线”的定义J6，双曲线y= %',的倍双曲线”是

28、y=;双曲线y= .1的 半双曲线”是y= x .6»故答案为y= a , y= a，;【分析】（1）直接利用惜双曲线”的定义即可；（2）利用双曲线的性质即可；（3）先利用双曲线上的点设出 M的横坐标，进而表示出 M, N的坐标；方法一、用三角形的面积公 式建立不等式即可得出结论；方法二、利用相似三角形的性质得出4PMN的面积，进而建立不等式即可得出结论.10.已知：如图，在平面直角坐标系限，且四边形 QABC是平行四边形, 过点C以及边AB的中点D.xQy中，点 A在x轴的正半轴上，点 B、C在第一象QC=2G sin/AQCA,反比例函数y=A的图象经（1）求这个反比例函数的解析

29、式;（2）四边形QABC的面积.【答案】（1）解：过C作CM，x轴于M,则/CMO=90 ,NIC 2 厂|T_ V5OC=2 9 , sin/AOC= =-, .MC=4,由勾股定理得：OM=小二#y T =2,.C的坐标为（2, 4）, k代入y="得：k=8,8所以这个反比例函数的解析式是y= (2)解:过B作B已x轴于E,贝U BE=CM=4, AE=OM=2,过 D作DNx轴于N,.D为AB的中点,.-DN= =2, AN= =1,s把y=2代入y=工得:x=4,即 ON=4,.OA=4- 1=3,，四边形 OABC的面积为 OAX CM=3X 4=12【解析】【分析】（1

30、）过C作CMx轴于M,则Z CMO=90 ,解直角三角形求出 CM,根 据勾股定理求出 OM,求出C的坐标，即可求出答案；（2）根据D为中点求出DN的值， 代入反比例函数解析式求出ON,求出OA,根据平行四边形的面积公式求出即可.11.如图，在平面直角坐标系中，直线 AB与x轴交于点B、与y轴交于点A,与反比例函m1数y=1的图象在第二象限交于 C, CE，x轴，垂足为点 E, tan/ABO=J, OB=4, OE=2.(2)OD、若点D是反比例函数图象在第四象限内的点，过点D作DF，y轴，垂足为点F,连接BF.如果Sabaf=4Sadfo ,求点D的坐标.(3)若动点D在反比例函数图象的第

31、四象限上运动，当线段 DC与线段DB之差达到最大时，求点D的坐标.【答案】(1)解:tan/ABO=4 ,UA 1.1 3 =2,且 OB=4,.OA=2,-. CE±x 轴,即 CE/ AO,.AOBACEBAC BC 2 4 1的=犯，即 CE = /，二，解得 CE=3, C (-2, 3), .m= - 2X 3=6, 6 反比例函数解析式为 y=-上门(2)解：设 D (x, - 1),D在第四象限，Id，DF=x, OF= 3,Q L. I LSadfc= d DF?CF= J x X =3,由(1)可知CA=2,|6 .AF=x+ 5,1 J g §Sa baf= JaF?OB=- ( x+ 工)X 4=2x+7),1/ Sabaf=4Sadfc ,6-2 (x+5)=4 XJ 解得 x=3+ W 或 x=3当x=3+ 时，一1的值为3 - Gb当x=3 时，A的值为3+ J3 ,. D在第四象限，.x=3- 二不合题意，舍去，.D (3+ W , 3-)(3)解：.D在第四象限，在4