江苏省南通市2019届高三第一学期期末调研测试数学试题

1、江苏省南通市2019届高三第一学期期末调研测试数学I试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 .本试卷共15页，包含填空题（第1题第14题，共14题）和解答题（第15题第20题，共6题）两部分。本次考试满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。2 .答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔一、填空填写在答题卡匕 题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上。1、若复数z满足iz = -1 + <3i （ i是虚数单位），则z =.2、在区间 匚2,3】上随机取一个数 x,则x <

2、;1的概率为3、已知 A、B 均为集合 U =2,4,6,8,10 的子集，且 A，B=4, （。B） 口 A =力。,则 A =.4、直线 ax+2y+6=0 与直线 x+（a-1）y + （a2 -1） = 0 平行，则 a =.5、存在实数x ,使得x2 -4bx+3b<0成立，则b的取值范围是.6、右图是求函数值的程序框图，当输入值为2时，则输出值为.17、已知命题p1 ：函数y = In（x + Vi+x2）是奇函数，p2 :函数y = x2为 偶函数，则在下列四个命题 p1Mp2 ；p1Ap2;（-p1） m p2;P1 A（p2）中，真8、已知数列aj的前n项和Sn = 2

3、n2 +3n,则数列 Q的通项公式为 x9、已知函数f （x） =3sin ,如果存在实数 ?2,使得对任意的实数x,都有f（x1）w f （x） & “x?）则 2x1 - x2的最小值为10、曲线C : y =xInx在点M (e,e)处的切线方程为 .11、已知直线l _L平面3 ,直线m二平面P ,给出下列命题： otP=l_Lm；ot_LP=l/m； l/m n otJ_P； l_Lmnn/P。其中正确的12、在 ABC中，a,b,c分别是角A、B、C所对的边，且3aBC + 4bCA+5cAB = 0 ,则 a : b: c =.2213、设F是双曲线x-y- =1的右焦点

4、，双曲线两条渐近线分别为l1,l2 ,过F作直线11的垂线，分别交a b11,12于A、B两点。若OA,AB,OB成等差数列，且向量 bF与fA同向，则双曲线离心率 e的大小 为.x3 -x . 一14、函数f(x)=5的值域是(x2 1)2二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15、(本小题满分14分)在 ABC中，A、B、C的对边分别是a,b, c ,且bcosB是acosC,ccos A的等差中项。(1)求B的大小；(2)若a+c=zH0,b =2,求 ABC 的面积。16、(本小题满分14分)P（第 16 AE）如图，

5、已知四棱锥 PABCD。(1)若底面 ABCD 为菱形，/DAB=60' PA = PD , 求证：PB _ AD ；(2)若底面ABCD为平行四边形，E为PC的中点，在DE上取点F ,过AP和点F的平面与平面 BDE 的交线为FG ,求证：AP / FG 。17、(本小题满分14分)经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和销售价格均为时间t(天)的函数，且日销售量近似的1112* 一 一一.1 一*满足 g(t)=1+(1 < t < 100, t N ),刖 40 天价格为 f (t) =t+22(1 w t W40, tw N ),334后60天价格为f=1 t

6、+52 (41 w t w 100, t w N)试求该商品的日销售额 S(t)的最大值和最小值。18、(本小题满分16分)22x y设A、A2与B分别是椭圆E :=十三=1(a>b>0)的左右顶点与上定点，直线A2B 与圆 a b22C : x + y =1 相切。，一 11,(1)求证：F+二=1 ；a2 b21.(2) P是椭圆E上异于A、A 的一点，直线PA,PA2的斜率之积为-一，求椭圆E的方程；3(3)直线l与椭圆E交于M , N两点，且OM” ON = 0,试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由。19、(本小题满分16分)已知 f(x) =x4 -4x3 +(3 +

7、 m)x2 12x+12,mw R。(i)若f (1) =0,求m的值，并求f(x)的单调区间；(2)若对于任意实数x , f (x) > 0恒成立，求m的取值范围。20、(本小题满分16分)已知数列bn)成等比数列，且2口>0。(1)若a2 a1 =8, a3 = m。当m=48时，求数列 0nl的通项公式；若数列%口是唯一的，求m的值；(2)若a2k +a2y+ak由一伯卜+ay+a1)=8,H N"求a2k+a2k十一十瓯的最小值。数学n （附加即）试卷第2页（共2页）南通市2012届高三第一学期期末调研测试数学n （附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项

8、及各题答题要求1 .本试卷共2页，均为解答题（第21题第23题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考 试结束后，请将答题卡交问。2 .答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的0.5亳米签字笔填写在答题 卡上，并用2B铅笔正确涂写考试号。3 .作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位置作答 一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚c21.【选做题】本题包括A,B,C,D共4小题，请从这4寇中选做2小题，每小题10分，共20分,请在 答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.（选伊4-1

9、：几何证明选讲）（第21-A题）如图*0是4B4C的平分线，0。过点A且与8C边相切于点。，与48MC分别交于E,F 两点.求证:£尸8c.B.（选修4-2：好阵与交稳）1 -2已知，求ML3 -7C.（选修4-4：坐标系与参数方程）x= l+2cosa, 已知直线/的极坐标方程为心于SwR），它与曲线C：（。为参数）相交于4、8y = 2+2sina两点，求48的长.D.（选修4-5：不等式选讲）设函数/（4）=|4-2| + |%+2,若不等式|a+61-14a-6 | W对任意q,6 w R,且a上0恒成立，求实数”的取值范围.22 .【必做题】本题满分10分.解答时应写出文字

10、说明、证明过程或演算步骤.已知斜三校柱乙8G4=90o,4C=8C=2,A在底面46cL的射影恰为4C的中点（第22题）D9AC1ACx.（1）求直线CG与平面4遂8的距离;（2）求二面角A-A.B-C的余弦值.23 .【必做题】本题满分10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.一次圉棋擂台赛，由一位职业围棋高手设搭做摇主，甲、乙、丙三位业余围棋高手攻擂.如果某一 业余棋手获胜，或者擂主战胜全部业余棋手，则比赛结束.已知甲、乙、丙三人战胜播主的概率分 别为Pl,P2,P3,每人能否战胜摇主是相互独立的.（1）求这次搞主能成功守擂（即战胜三位攻搐者）的概率；（2）若按甲、乙、丙顺序攻摇，

11、这次擂台赛共进行rx场比赛，求x的数学期望；（3）假定p3<P2</h<l,试分析以怎样的先后顺序出场,可使所需出场人员数的均值（数学期望）达 到最小，并证明你的结论.南通市2012届高三第一学期期末调研测试数学I一、填空题：本大共14小题.每小题5分，共70分.请把答案填写在看国卡相应的位量上.1 .若复数Z满足正=-l+Gi（i是虚数单位），则2= .答案：G+i2 .在区间-2, 3上随机取一个数x,则LdWl的率为.答案：|3 .已知4。均为柒合 4, 6, 8, 10）的子集，旦406=4,（G»）fVi=10,则4= 答案：4. 104 .直线ox +

12、2y+ 6 = 0 与直线x + （a-l）y+ （。2-1） = 0平行,则a = .答案：一 15 .存在实数x,使得i-4加+劝V0成立，则b的取值范围是一 .答案：8<0或46 .右图是求函数值的程序框图，当输入值为2时，则输出值为.答案：一37已知命题Pl：函数产InQ+VTT?）是奇函数，P2：函数> =/ 为儡函数，则在下列四个命题：Vp2： Ap2；（'pjVpzi PlA（，"2）中，其命题的序号是. .答案：，8 .已知数列/的前项和为S产-2n2+3，则数列&的通项公式为一4.答案：。*549 .已知函数/（x） = 3s呜，如果存在

13、实数卬小，使得对任意的实数x，都有曲方/）勺3）,则 I的一必I的最小值为 .答案：2n10 .曲线& y = xlnx在点M（c, e）处的切线方程为答案：y=2x-e11 .已知左线，平面a,直线mu平面夕.给出下列命题：a夕=，lm：a«L/? = /m； /mnal/?：Im = a".其中正确的命题的序号是_4_.答案：，12 .在AABC中，a、6、c分别是角小B、C所对的边，且3aZ +碇X + 5c族=0,则a ： b ： c=A. 答案：20 ： 15 ： 1213 .设尸是双曲线-2=1的右焦点，双曲线两渐近线分别为/卜£过产作直线人的

14、垂线，分别 交/八%于48两点.若QA, AB. 08成等差数列，且向；3而与可同向，则双曲线的离心 率e的大小为.答案：*214 .函数穴幻二三二的值域是_4_.（丁+1>答案：A；，； 4 4二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答U卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步惠.15 .（本小题满分14分）在ZMSC中.A、B、C所对的边分别是久b、c,且反os8是acosG ccoS的等差中项.（1）求8的大小：（2）若 a+c=V，”2，求 A48C 的面积.解 (1)由题意,得cosC , ccos4 = 2hco,8 .由正弦定理,得sin AcosC +

15、 cos A<inC = 2sin BcosB， UP sin(4 + C) = 2sin 3cmB . 4 分V 44-C = n-B, 0<B<n9 /.sin(A + C) = sinB*0.： cosB = » AB-. 7 分23(2)由5 =色，得+?心,9分3 2ac 2即("C 尸二四二Q,，ac = 2. 12 分2ac 2/. 5必般=Lcsinfi = - 14 分皿22数学答案及评分标准 第2页（共10页）16 .(本小题满分14分)如图，已知四棱锥(1)若底面 ABC。为菱形，N0A8=6O。，PA = PD ,求证：PBLAD(

16、2)若底面48co为平行四边形，£为PC的中点，在OE上取点F,过AP和点尸的平面与平面8。£的交线为尸G,求证：AP/FG.证明：(1)取人。的中点为“，连8H, PH.: PA = PD , ：. PH LAD.在菱形 A8CD 中，ZDAB = 60°,得8H LAD. 又；PHu 面 PBH. BHU 面 PBH, PHRBH =H , （第 16 题） ；ADL面PBH.:PBu 面 PBH, ：.PB1AD. 7 分(2)连4c与8。，设交点为O,连。£.在必8c。中，。是AC的中点，点E是QC的中点，所以OE/!AP. 9分因为AP。面BD

17、E, OEu面BDE,所以4尸面BDE. 11分因为 APu 面 APFG,面 4PFGC 面所以 API/FG14 分17.(本小题满分14分)经市场调查，某商品在过去100天内的销体量和价格均为时间，(天)的函数，且日销总量近似 地满足8(。=一目背(14100, WN).前40天价格为)斗+22(1W运40, rWN),后60天 价格为朋=一余52(41W同00, r£N),试求该商品的日俏售额S(f)的最大值和圾小值.解i 当 1W，W4O, r£N 时.SQ)= gQ)/U)= (/+当)(,+22)=-旨+2/+=右I12尸所以 768=5(40)WS«

18、;)WS( 12)="白。与是苧Q 6 分当41 近rWlOO, f£N 时，5(0= 8")就=(一 半X-呆 52)= 9-361+"当"*-108)2 -1,所以 8=S(100)WS(，)WS(41)= 12 分29 son 所以，S«)的最大值为竽，最小值为8. 14分数学答案及评分标掂 第3页(共10页)18.（本小题满分16分）设人】、%与8分别是椭圆E： +1=1（。>6>0）的左、右顶点与上顶点，直线与 a b圆 C： ?4./=1 相切.（1）求证：3 +1二】； a b（2） P是椭圆E上异于4,4的

19、一点，直线雨I，必2的斜率之积为一；，求椭圆E的方程；（3）直线/与椭圆E交于M, N两点，且丽,丽=0,试判断直线/与圆C的位置关系，并说明理由.解2 （1）已知椭圆A W + £ = l（a>b、0）.4.4与区分别为椭圆行的左右顶点与上顶点， a b所以小（一小0）,42（小0）,或0, b）,直线A28的方程是土+2二1. a b因为A28与圆C： /+/=1相切，所以f= 1 一 =1,即! + / = 】（2）设P （沏，加），则直线处| ,%2的斜率之积为辽二李一二5+当工匕而学+ 小5+a Xq -a 毛_。3 a aa b所以 b2=a2.结合勺+5=i,得/

20、=4,炉=4. a b3所以，椭圆£的方程为芈=1. 10分44<3）设点用（外,多）小（毛,力）.若直线/的斜率存在，设直线/为丫=乙+析,由产"+桁代入1+ * = 1'得鸟+（*广）、1. a ba b化简，得(y + a2k2)x2 + 2a2kmx + a2m2 -a2b2 = 0(A > 0).a2m2 -不从yty2 =(3 + m)(kx2 -¥m) = k1xx2 +%(玉 +小)+ 52数学答案及评分标准 第4页（共10页）a2k2m2-a2b2k2 , ,2a2 kmb2a2k2二喀华二b2a2k2因为丽 丽=0,所以不玉

21、+ %为=0代入，得面+从)，从(+公)=0 结合(1)的 */=1,得川=1+公.14分圆心到直线/的距高为4=渭$=1,所以直线/与圆c相切.若直线/的斜率不存在，设直线八 足.解得 =±1,所以直线I与BBC相切. 16分19 .(本小题满分16分)已知人力=/一4/+(3+桁”-1筋+12, mGR.(1)若.(1)=0,求m的值，并求小)的单调区间；(2)若对于任意实数x,式幻20恒成立，求桁的取值范围.解： 由，(劝=“-12?+2(3+由"一12,得:(1)=4- 12+2(3+m) -12=0,解得 m=7. 2 分所以 /r(x)=4/-12x2+2Qx-

22、12=4(x-l)(x2-2x+3).方程?-2x+3=0的判别式A=22-3x4=-8<0,所以/一太+3>0.所以/'(劝=0,解得x=l4分X(8, 1)1(1» +8)/'(X)0+/)单调减极小值单调增由此可得Ax)的单调减区间是(一8, 1),兀0的单调增区间是(1, +oo). 8分(2) Ax)=x4-4x3+(3+m)?- 12x+ 12=(/+3)。-2尸+(桁-4)?.当时，2)=4(干-4)V0,不合题意： 12分当 mN4 时，/(x)=(x2+3)(x-2)2+(m-4)x20,对一切实数 x 恒成立.所以，m的取值范围是4,

23、+oo). 16分20 .(本小题满分16分)已知数列4成等比数列，且为>0.(1 )若。2一。1=8,。3=析当巾=48时，求数列(4的通项公式；若数列念)是唯一的，求m的值；(2)若也+如-+4+- 3+4- +0 ) = 8,女WN*,求口*+。然+2+。3A的最 小值.解：设公比为小则由题意，得g>0.(1)由。2一a】=8, a3=/n=48> 得 'I ”=48.解之，得卜=%/)，或卜=8(2), q = 3 + j3;q = 3 - J3.所以数列&的通项公式为为=8(2-6)<3+6)",或 o=8(2+百)(3 6 )” 5

24、 分要使满足条件的数列4是唯一的，即关于田与g的方程组9囚二&有唯一正数解，qq =m.即方程3q2mq+m=0有唯一解.由=巾236=0, a3=m>0,所以加=32,此时q=2. 经检验，当m=32时，数列/唯一，其通项公式是为=2/2. 10分(2)由+。*+ +.)=8,得.(qA_l)(/T+/-2+ 1)=8,且 g>l.13 分3+l+a然+2+a”=a闯”(q1'+gIM)=孕一=8(/ -1 +一+2) 232,q -1q -1当且仅当/-1 = /,即4=啦，°产8(收一 1)时， q -1。然|+。+2+"+。乂的垠/卜值为

25、 3216 分数学答案及评分标准 第6页(共10页)南通市2012届高三第一学期期末调研测试数学U （附加题）21 .【选做题】本题包括A, B, C, D共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20 分.请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步弱LA.（选修4 - 1 ：几何证明选讲）如图，人。是NBAC的平分线，。过点A且与8C边相切于点。，与AC分别交于E, F 两点.求证：EF/BC.证明：连DE,可得NDEF = /0AC2分/ /AO 是/B/4C 的平分线，:乙EM）-上DAC. 4 分 / /C 切 OO 于点 O, J.ZEAD=ZEDB

26、. 6 分。/：.NDEF = 4EDB . 8 分""/：.EF/RC. 10 分BD 、C（第21-A题）B.（选修4-2:矩阵与变换 己知"=1 -2 ,求“T. 3 7解（1）设“T二依题意，有% +% 7n 0'c + 3J -2c-7J I 0 1。+ 劝=1, 一2。-76 = 0,. c + % = 0, 2 71=1,a = 7, b = 2 c = 3, d =-l.：.M7 -2"3-110分数学答案及评分标准 第8页（共10页）C.（选修44:坐标系与参数方程）已知直线的极坐标方程为（,£R）,它与曲线C：x =

27、 l + 2cos a.y = 2 + 2sina（a为参数）相交于A、5两点，求AB的长.解：极坐标直线方程。=（夕wR）的直角坐标方程为y = x. 3分4参数方程x = l + 2cosaty = 2 + 2sina的直角坐标方程为（x - »+（y - 2尸=4.所以，圆心（1, 2）到直线y = x的距离d =11-21 41所以48=8分10分（第22题）D.（选修4-5:不等式选讲）设函数分月x2l+lx+2L若不等式Io+bl-l4a-b W |a|«x）对任意a,b£R,且。工0恒成立，求实数x的取值范围.解： la + b|_|4a*Wl3+b

28、) + (4a-b)l=5lal, 3 分又,awO + abO,由题意，得 5lalWa"(x). 6 分解f(x)5,可得xW-2垢 22X的取值范围是xW二典壬.10分2222.【必做题】本题满分10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步！9.已知斜三棱柱ABC-AifitCi, N8CA=90。, AC=BC=2, A在底面ABC上的射影恰为AC的中点D.ACJLAC。（1）求直线CG与平面4AB的距离；（2）求二面角A-A田-C的余弦值.解：（1）由题意，得A。，面A8C.）V AOu 面ACGA n 面A8c«! ffiiACGA ,ZBCA=9Q0=> BC LAC.又；