弹性力学简明教程下

1、Chapter 4 solution of plane problems in polar coordinates4-1 equations of equilibriumXYXd一. 基本概念1 求解对象：圆形、扇形、锲形等的平面问题，应用非常普遍前面的讨论都限于在Descartes直角坐标系中，根据物体的形状和边界情况并不是都很方便，例如本章讨论的轴对称的一些问题，他们用极坐标描述就比较方便。本章重点讨论了工程中常见的厚壁筒、曲杆、尖劈等问题，特别是讨论了圆孔附近的应力集中和角及缺口尖端附近的应力和位移的特征。2 圆周运动：速度：，加速度：，这是高中学过的，如果在直角坐标系下表述不可能这样方

2、便的。然而：XYXXdd比较和，可知：。3 坐标系及变量自变量，如图所示。与书中所示图大同小异，概念上是一样的。极坐标、柱坐标；自变量：。方向和正负的定义与直角坐标系相同，即以坐标系的正向为正。4 关注点与直角坐标系的比较A. 特点：随动坐标，径向对应X，切向对应Y,不同点方向不同，但仍然正交。B.dr取代dx,取代C.基矢量之间的关系：证明: D. 梯度算子：。F. Laplace算子：。证明： 平面问题： G. 平面问题基本定义汇总二. 微元体应力及相应作用面积和作用面方向（与径向的夹角）1. 微元体：纵向尺寸1或者无穷大；平面则不是矩形而为扇形，意味着径向面积增大，切向方向改变。2. 径

3、向面：3. 切向面：4. 体力（集度）：三. 径向平衡方程的推导1. 各面上的力在径向的投影：I. 径向正应力：后一项系面积增大所致。II. 径向剪应力：90度夹角，没有投影III. 切向正应力：这一点明显不同于直角坐标系，此乃角度变化所致。IV. 切向剪应力：V. 体力：2. 平衡方程：五项合并并除以微元体面积可得：3. 与直角坐标系比较多处一项四. 切向平衡方程的推导1. 各个面上的力在径向的投影：I. 径向正应力：90度夹角，没有投影II. 径向剪应力： 后一项系面积增大所致。III. 切向正应力：IV. 切向剪应力：角度变化所致。V. 体力：2. 平衡方程：五项合并并除以微元体面积可得

4、：3. 与直角坐标系比较多出一项五. 力矩平衡方程：一直角坐标系一样，证明了剪应力互等性。六. 合计：三个未知数，两个方程。七. 利用基矢量相互间的关系直接推导平衡方程平面问题：如何理解？微元体面积和外法向改变。空间问题按方向推导对于平面问题，则可演化为上式书中的4-1式。如果是轴对称问题，可化为书中式7-15第十一次。4-2 几何方程和物理方程一、 几何方程的相关基本变量1. 坐标系：同上，必须注意角度变化2. 位移（变形）：，相当于u，v3. 应变：二、 径向位移产生的应变(APB变至APB)1. 除纵向拉伸外，必须注意，此位移导致的形状改变和相应其它应变变化。2. 径向应变的定义：单位径

5、向长度的径向变形，故表述简单，与直角坐标一致3. 切向应变的定义；单位切向长度的切向变形：切向变形（拉长）：，对应切向长度，故，明显不同于直角坐标系，是发散或角度变化引起的。4. 剪应变定义：单位径向长度和单位切向长度旋转变形之和（转角）：径线旋转：相应长度dr，转角：；切线旋转（变锐）：增量，相应长度 ,转角；剪应变：。三、 切向位移产生的应变(APB变至APB)1. 除切向拉伸外，必须注意，此位移导致的形状改变和相应其它应变变化。2. 径向变形（拉伸）：没有，故3. 切向变形：，对应长度，故。4. 形状改变：径线旋转（导致原有直角变锐）：拉长，相应长度dr，转角：；切线旋转：直接导致角点切

6、向发生改变，导致原有直角变成，拉长，对应长度r,故导致原有直角变大，因以变小为正， ；剪应变：。四、 几何方程合并上述切向位移和径向位移导致的各项变形可得：（见书4.2）五、 直接利用应变的定义和基矢量关系求得平面问题几何方程如何理解？旋转所致，也是面积和角度的改变。上述公式可以作如下的几何解释六、 物理方程由于坐标系正交，物理方程与坐标系选择无关，形式不变。平面应力：，平面应变：七、 边界条件仍然是两种为主要讨论对象1 应力边界条件，同直角坐标系，但是面力的表式不完全相同2 位移边界条件，同直角坐标系3 多连体情形对于常见的圆环形域或圆筒体，由于它是一个二连通域，所以亦必须在以上方程中补充位

7、移单值性条件。利用后文给出的公式展开可以得到圆环形域的位移单值性条件：式中a为园环的内半径，其中极坐标的极点与圆环的几何中心重合。 多孔问题则有表示通过闭合线积分求解后，任意一点的位移不变，式中的下标i表示第i个内孔，n表示内孔数。4-3 极坐标系下的应力函数和相容关系一 相容关系：由于Laplace算子直接由梯度矢量点乘得来，只要是正交坐标系，那么自身与坐标系的方式并无关系，因此作为的相容方程的Laplace表式，其形式必然保持不变，即二 应力的应力函数表示: 即存在应力的应力函数表示 4-4 坐标变换一. 复习与对应（对比2.3图2.4和式2.4复习）定义新的正交坐标系，新（极坐标系）旧（

8、直角坐标系）坐标系之间存在关系： 通式： 据斜面应力计算公式（2-4上下） 和斜面应力矢量计算公式（2-3） 或 ，可以直接推出外法向为面上的应力矢量：同样可以得到推出外法向为面上的应力矢量两相合并，即有坐标变换表式。二. 利用并矢推导：存在表式： 故 进一步有 将上式在二维下展开：或 利用此式也可得到4-3节书中的相容关系表式。三. 逆变换：令,即可： 四. 材料力学讲过，莫尔园复习二维应力状态下，在法线倾角为的斜截面上，应力由上式可以计算，它们也可以看作是以为参数为参数方程。经整理可得把两式等号两边平方然后相加，得 可构成一个应力圆或莫尔圆，如上图所示。相应斜面上的应力计算如下主应力下的三

9、维应力圆如下图所示。第十二次4-5轴对称问题一、 采用极坐标解的弹性平面问题： 1）轴对称问题(实为中心对称，如厚壁筒) 2）非轴对称问题 楔或尖劈问题； 曲杆(圆环)； 带孔平板(应力集中问题)。二、 轴对称问题的特点：与角度无关（非自变量）：在有些问题中，应力的分布对称于通过坐标原点；并垂直于z轴在这情况下，应力与极角无关而仅是r的函数，且只有正应力，由于对称，剪应力等于零。 三、 基本方程与重要关系式：应力与应力函数 平衡方程 应变与位移 相容方程 正好由两重简单Euler方程构成，亦即四阶欧拉型变系数常微分方程。重要表式： ，变成一次导数关系。这些关系式比较重要。四、 边界条件：边界条

10、件同样应当与角度无关。与应力有关的边界：I. 应力表式：（内边界），（外边界）II. 应力函数表式：通式（与直角坐标系中的一致）：如采用作为边界条件时，分别在r为常数的边界上用它代替Rr及在为常数的边界上用它代替R。五、 轴对称问题应力函数：1. Euler方程(数学预备)：2. 通解：令，或代入：，即：或者表述为r的函数，它具有通解形式，。其中，如果存在重根，则须相应增加对数项，如则，（同学们可以自己证明一下）3. 本相容关系的特征根：仍令： 4. 故有通解：5. 应力：也可如下证明：展开相容关系后有：令，或代入，防城变成常系数微分方程其特征根方程为： 于是 相应解为： 讨论：实心板A和B该

11、如何取值？如在坐标原点没有孔，常数A和B必须等于零，否则当r0时应力将变为无限大 因此，如在坐标原点没有孔；，而且没有体积力，唯一可能的应力对称分布是两个正应力分量均是常量。板在其平面内各方向均匀受拉或均匀受压。六、 应变和位移（平面应力）： 1. 应变：,2. 位移：（导读）几何方程：积分后可的位移表式（详见书）：注意：I. 积分II. 由于涉及到刚体旋转等因素，求位移时，不能忽略角度自变量III. 径向位移的标准表式：，分析位移连续及位移法求解时可用。IV. H为刚体旋转项，I为直角坐标系中X方向的刚体位移，K为Y方向的刚体位移3. 位移单值讨论结合前两个方程可得：其中后两项为刚体运动项。

12、由于同一点可以用表示，上式表明位移多解，根据位移单值条件，这是不可能的，所以B0，实际上轴对称问题，除刚体运动项外，不应当存在切向位移。七、 平面应变问题，同直角坐标系的本构关系转换，略。4-6园环问题或圆筒受均布压力问题一、 园环问题状态描述：无体力或体力在平面没有分量；材质：均匀连续；几何尺寸：园环受力：，；边界条件：，二、 确定系数1. 系数方程：将应力表式代入边界条件（剪应力自然满足，故不用） 2. 考虑到位移单值。B0，存在简单的标准式： 3. 应力： 这里可以看出应力场的分解意义与效果。三、 讨论1. 叠加原理。内外边界面力可以分离。，内压问题： ；：空腔问题：；都是切向力大于径向

13、力，如图所示。如果？实心体问题，与习题2-16比较2. 边界条件验算，满足3. 不同压力作用下，边界处切向分量的符号和意义。仅含内压力时，全场切向正应力为拉，且内部大于外部；仅含外压力时，全场切向正应力为压，且外部大于内部。4. 外围全部为等值均布荷载：，与习题2.16比较5. （即），普通垌室问题： ；如果，则为纯剪，显然内平衡力系对远端没有影响，证实了圣维南原理。4-7压力隧道一、 性状：无体力、混凝土圆筒置于山体中，山体可以看作无限大，圆筒空腔含有均匀内压，两种介质的平面应变问题。二、 通解：仍然是轴对称问题，依两种介质分两个区域利用上述解，待定系数。内部砼体：；外部山体：三、 边界条件

14、：1. 混凝土：2. 土体：3. 接合部的连续条件（）：1) 接触概念：光滑接触（非完全接触）、完全接触、摩擦滑移接触。2) 作用力和反作用力相等定律：因剪应力都为零，相等要求自然满足；相互间仅含法向作用力，根据应力的投影计算，也就是要求相互间径向应力相等（切向正应力不可能得出此条件）：3) 位移连续切向位移应分滑移和不滑移讨论，如果不滑移则刚体位移全部相等；径向位移相等，刚体位移中平移项必须相等，得到一个方程；由于这是一个平面应变问题，应将泊松比和弹性模量转换，于是两弹性体各自的径向位移表式为： 进而即 共计四个方程、四个未知数。求解得于是应力分布大体如图所示。四、 多种介质问题：同样可解增

15、加一种介质，便增加了两个待定系数，同时也增加了一个径向正应力相等的平衡方程和颈项位移连续方程，故这类问题均可求解。4-8 园孔的孔口应力集中 一、 极坐标系下的常见双调和函数：1. 方程：2. 形式：3. 根： ，如有重根，则增加项，如有重根，则增加项l 相关方程特征解令，代入可得故存在下列解的形式或者写成双曲线形式 如果为虚数或复数则解中包含三角函数。l 一般方程解的形式：将其代入，根据t的任意性，各项系数必须为零，求得，此解是常微分方程的延拓。感兴趣的同学不妨利用上述表式对双调和函数的解和根作一番推导。l 讨论：，如有重根，则增加项：设，则有故有特征根：。二、 应用举例之一无限大平板，中有

16、小圆孔，受有均匀内压作用，求应力分布？ 此问题边界条件可写为： 此问题为轴对称与无关，n=0，属与前述轴对称问题结果完全一致。三、 应用举例之二图示90的V型槽中受一集中力的作用，求应力分布？ 选基准点A，并用A表示边界可设，于是 代入边界条件后成为 解方程后 即 求得应力分量为 其余分量均为零。取r=a时可见 d为一常数，并如图所示圆的直径。当r=0 时，r为无限大，此处有奇异性。 四、 园孔的孔口应力集中状态描述：1. 外部，内部，无体力，均质连续。2. 问题：有方有园，到底采用什么坐标系？3. 结论：园孔附近，极坐标，远端等效为园（相当于）；外围，认为园孔局部应力集中，不考虑4. 本问题

17、分析局部，选用极坐标系。五、 远端边界条件等效： 处：坐标变换：， 其中第一项为水压力项，可用轴对称问题解决（如上图所示），第二项为偏应力项，轴对称方法不再成立，注意：弹性力学经常采用这种分析方法。Byq1等效边界条件：处：六、 确定系数方法一：根据应力边界取：，代入求解。方法二：水压力项，利用轴对称问题求解： ；偏应力项取：，代入求解方法三：B点力矩，故设，代入求解。注意一个原则：为了利用已有的调和函数形式，三角函数必须化为一次项。总之：，将及的通解形式代入边界条件求解即可（协调方程就不必了）七、 应力集中问题（以两边受拉为例）1 详细解（4-9-6）2 最大值：3 Y轴切应力分布4 X轴切

18、向应力分布：注意拉应力的存在及相应作用区，由于砼不抗拉，设计是必须考虑是否加筋4-10楔形体问题PYBAX一、 极点受力问题1 问题描述：I、 契形体几何尺寸：夹角：II、 受力（无体力）：集中力P，方向：与轴线成III、 边界条件：2 利用量纲分析假定应力函数应力量纲：N/L2即：ML-1T-2,自变量：P、r、有量纲量仅P（M T-2）、r（L），故唯有：，而力矩亦只有：故应力函数宜采用3 利用边界条件假定应力函数（详细讲，尤其起点力矩问题，合剪力问题，大于90度时杆的旋转方向问题） A点边界条件：;B点边界条件：，故4 解的形式：，两个重根，各自须增加项，亦即忽略没有影响的一次项，两个未

19、知数。5 应力表式 ，没有切向应力和剪应力。6 边界条件检验：两边自然成立，但顶点条件没有引用。7 系数确定：利用顶点平衡条件。由于是集中荷载，必须采用积分方式求取平衡（圣微南原理）两个平衡方程，两个未知数。作一的圆弧。则：,问题得解。8 利用应力函数在B点的边界条件（两个方程）：直接代入亦可求解（同学们练习）。注意x，y的一次项无所谓，如果刻意求解，亦可用A点边界条件确定，问题是没有这个必要，这也是应力函数或力矩起始点可以随机确定的一个原因，因为增加一个常数，也只能多增加一个旋转量而已。二、 极点受力偶作用问题利用边界条件假定应力函数： A点边界条件：;B点边界条件：，故 同上可解。三、 一

20、边受均布垂直荷载问题（设为A点所在面） 坐标系改为书中所示，即x轴在A面。利用边界条件假定应力函数： B点边界条件：;A点边界条件：，故，故代入边界条件，四个方程，四个未知数。当然，利用应力边界条件亦可。如书中所示。4-10半空间集中荷载作用问题，代入(4-19-6)，可得。位移计算。火车荷载。对应真实问题的条形荷载。4-8圆弧型曲梁的纯弯问题一、问题描述：无体力、虽非轴对称，但也是极角无关问题，而4-5的内容同样可用二、受力边界（图示）：四个面均应涉及，主边界：BC、DA，次边界：AB、CD1. BC面：2. DA面：3. AB面：（）4. CD面：（）5. 所有各面：切向应力恒等于零三、确

21、定系数的相关方程本问题的应力与极角无关，故除位移单值所确定的表式外，可以借用轴对称问题的全部表式，亦即存在应力表式：应力函数：根据边界条件存在如下方程：BC面（r=b）：DA面（r=a）: CD面（）AB面（）剪应力和各面的切向面力自然满足。合力积分分析（注意：）：恒成立合力矩分析：即： 注意：1. 实际上，引用应力函数的边界条件，可以直接得出此式（因具体的应力函数表式，这样更准确。2. 讨论另一个边界条件，极坐标系下演变为：自然满足，这是轴对称问题的特点。四、方程整理：三个未知数，三个方程，问题得解。五、讨论：6. 与轴对称问题相比，7. 切向位移：，与时不相同，由于是开口，故允许，与园环不

22、同；此式还表明材料力学的平截面依然成立。8. 两端正应力，集中满足，应力分布图见图。4-9旋转碟问题二， 问题描述：1. 存在惯性体力（思考：加速度如何得来：），相当于有体力问题2. 轴对称问题。三， 平衡方程：四， 应力函数分析引入应力函数，则 五， 相容关系及应力函数说明这里的应力函数表述已不同于从前（），故相容关系需要重新推导，仍从应变入手。将物理方程和应变表式代入，即得新的相容关系： 据上式即可求得应力函数六， 应力和位移（略）注意：1. r0处，应力不可能无限大，所以B02. 由于表式和意义并不同于原应力函数得定义，常数项和一次项不可忽略3. 这里介绍了一种新的应力函数推导与分析方式

23、，由此可以看出应力函数的应用精髓（结束讲课）4-11极坐标系下的其它半逆解法举例举例，无限大平板的小园孔周边，受均匀切应力的作用，求版中应力分布。内边界方程：分析：作一圆圈，力矩必须平衡，故，于是，代入方程和边界条件检验，成立，问题得解。如果用半逆解法，令，代入各方程和边界条件，亦可成立。第八章 空间问题基本理论8-1 平衡方程一、 平面问题复习1. 坐标系2. 微元体3. X方向平衡方程4. Y方向平衡方程二、 空间问题1. 坐标系2. 六面微元体3. Z方向平衡方程4. 力矩平衡结果：三、 平衡方程的不同表示方式1. 符号表示法:2. 算子和矢量表示法:8-2任一点的应力状态一、 四面体的

24、平衡：1. 坐标系和图示2. 外法向及方向余弦I、 外法向概念：垂直于物体切面，指向物体外侧II、 方向余弦的定义：外法向在坐标轴上的投影III、 （附）平面法向方向余弦的意义： 证明思路：1. 坐标原点到平面内任意一点构成的矢量，与该平面外法向的投影均为原点到该平面的距离d2. 平面内任意两点之间构成的矢量在法向上的投影为零，即：设：，则而由原方程知：由于点的任意性，必有： ，or ，得证。3. 面积投影：斜面面积：，三面面积：4. 力系平衡：面力、体力注意：这里力的量纲与应力完全相同。二、 任意面上应力边界条件的表述方式： ，其中各值均为面上值。三、 任意面上的应力（）表述：法向应力：为各

25、分力在法向上投影之和： 切向应力：坐标变换：8-3 主应力一、主应力及主应力方向：定义：应力与该方向矢量的点乘并不改变该方向，即：，其中为该方向的方向余弦。为主应力，为主应力方向。主应力平面不得有剪应力。表式：，要求系数行列式据此可得如下求解方程：主应力表式：求得三个主应力或者特征值以后，联立任意两个方程以及即可求得三个主应力方向二、应力不变量、静水压力 第一不变量：，就是静水压力，对应张量为球形应力张量第二不变量： 第三不变量：（讲课结束）三、偏斜应力张量8-4 最大和最小应力一、 最大主应力与最小主应力,一般表示：二、 最大剪应力、最大剪应力平面：，平面：与所在平面构成450夹角（推导略，

26、但解释一下最大最大与最小及所对应的平面）8-5 几何方程、刚体位移、体应变一、 几何方程：二、 刚体运动项：定义：不引起内部变形的位移；，六个方程，存在六个待定系数可以推导（略）：，六个待定系数，符合刚体运动所需未知数三、 体积变形：8-6 任意一点的应变状态一、 任意面上的正应变和剪应变：类似应力张量，但注意：二、 应变不变量，同应力张量三、 偏斜应变8-7 物理方程一、物理方程1. 通用表式：（略）2. 简单表式： ，3. 拉美常数表式： ，4. 各向异性体的表式广义虎克定律：，系数由3333个常数，由于对称性，但实际只有36个常数而各向同性材料则只需两个弹性常数。二、弹性常数之间的转换及

27、定义：5. 不同表式之间的转换推导：（现推）6. 弹性常数之间的相互关系三、方程和未知数总结： 未知数：位移3、应力6、应变6 方程：平衡3、几何6、物理6 如果考虑力矩平衡方程，那么未知数加3,平衡方程加3四、边界条件：类似平面问题 ，但任何一点应力边界由三个方向三个方程组成，位移同样。应力边界条件位移边界条件：88 轴对称问题和球对称问题一、 平面极坐标问题复习：1、 平衡方程的获得：r方向，与直角坐标相比增加项，原因：面积和方向改变方向：与直角坐标相比增加项，原因：方向和面积改变2、 几何协调方程：与直角坐标相比，增加项，面积改变；增加项，角度旋转二、 轴对称问题的平衡方程：1、 平面轴

28、对称问题：无极角相关项，无剪应力项，方程：2、 空间问题：柱坐标：r、z无无极角相关项，无剪应力项，对求导为零，方向的平衡方程自然满足，不予考虑。z方向应力对另外两个方向的力系平衡与直角坐标一样，故r方向增加项，r方向平衡方程：同平面问题，由于r方向微元体面积改变，对z方向力系平衡增加，其余同直角坐标系，故z方向：三、 轴对称问题的几何方程类似平面问题：四、 轴对称问题的物理方程正交系，形式不变，但对于轴对称，由于没有和，各自只有四个变量，故可以简化：共计：应力4、应变4、位移2八个未知数；方程：、平衡2、几何4、物理4。五、 球对称问题的平衡方程球坐标：R、对称问题：应力应变：，位移：uR，

29、这里、等价，统一用T代替，共计5个未知数。无无极角相关项，无、剪应力项，对、求导为零，和方向的平衡方程自然满足，不予考虑仅r方向需要讨论平衡。如同平面轴对称，R方向力的平衡必须考虑正向面积变化和侧向方向变化，但此时涉及两个地位相同的切面，故增加量加倍，即存在方程： 六、 球对称问题的几何方程 同平面轴对称问题：七、 球对称问题的物理方程 八、 球对称问题总结：5个未知数、5个方程。( 讲课结束)Chapter 9 空间问题的解答通知：考试时间：2003年11月14日（第11周星期五）晚7:009:30地点：西五413、414,要求老师提前30分钟到达。联系人：陈老师，电话：87541714剩余

30、课时：10月27/30,11月3/6/10/13,共六次剩余讲课安排：空间问题解答理论一次，扭转两次，薄板弯曲两次，机动一次，答疑和习题课只能另行安排。本次弹性力学学习必须掌握的主要内容：一、 弹性力学基本假设及应用背景二、 应力应变定义及相关概念，坐标变换，任意面上的应力 三、 平面问题、空间问题（笛卡儿坐标、极坐标、柱坐标）求解体系及求解路线四、 边界条件的数学表述五、 平面问题应力函数求解法（笛卡儿坐标、极坐标）六、 等截面杆的扭转问题，薄膜比拟法概念七、 薄板弯曲问题附：国立台湾大学应用力学研究所课程设置：543 M5110 彈性力學（一）任課教師：郭茂坤、劉佩玲 （應力館318、30

31、7室）上課時間：二 (3, 4)、四 (2)上課地點：應力館111、113教室學 分 數：3 學分評分標準：期中考 35%、期末考 35%、作業 30%課程介紹：當物體受外力作用時，物體內部會產生抵抗力，而且物體形狀會產生變化。若外力移除後，物體恢復原狀，稱為彈性行為；若外力過大，致使物體在外力移除後，無法恢復原狀，則為非彈性行為。一般工程材料在服役時，通常都在彈性範圍內。本課程的主旨在討論彈性物體受外力作用時，物體變形及內部應力的分析方法。預備課程：材力、應用數學、張量課程綱要：1. Kinematics of Deformation (3 weeks) 2. Stress Analysis

32、 (2 weeks) 3. Constitutive Laws (2 weeks) 4. Formulation of Elasticity Problems (1 week) 5. One-Variable Problems (1 week) 6. Two-Dimensional Problems (3 weeks) 7. Torsion Problems (1 week) 8. Bending Problems (1 week) 9. Plate Problems (1 week) 課程目標：課程結束時，修課同學應具備以下能力：1. 能以各種不同的應變量來描述物體變形(deformatio

33、n gradient, stretching tensor, Cauchy-Green strain tensor, Lagragian strain tensor, Eulerian strain tensor, infinitesimal strain tensor, principal strains)，了解各種應變量的轉換方式及其物理意義，並知道應變需滿足那些協和條件(Compatibility)。 2. 了解stress vector與stress tensor之定義與關係，主應力及最大剪應力計算方法，以及力平衡方程式。 3. 了解hyperelastic材料及其組成律(genera

34、lized Hookes law)，了解各種對稱性材料的組成律，並能推導等向性材料各材料常數的換算公式。 4. 能列出待分析問題的統御方程式(直角、圓柱、球座標)及邊界條件。 5. 能分析單自變數的問題，如球殼受內外壓的球對稱問題。 6. 能分析平面應變、平面應力等二維問題，並能以Airy methd解題。 7. 了解桿件兩端受扭力作用的分析方法。 8. 了解桿件受純彎矩作用或懸壁梁受集中載重作用的分析方法，以及Timoshenko梁理論。 9. 了解平版的分析方法 (如果上課來得及教完)。 參考書：1. 應力所彈性力學講義(置於iamechanics/iam300/彈力一/講義中) 2. A

35、tkin and Fox, An Introduction to the Theory of Elasticity, Longman, 1980. 3. Timoshenko and Goodier, Theory of Elasticity, 2nd Ed. 4. Sokolnikoff, Mathematical Theory of Elasticity. 5. Fung, Foundation of Solid Mechanics.9-1 位移法求解一般空间问题：15个未知数、15个方程。求解方法有：位移法、应变法、应力法，其中以位移法常用，因为它看起来只有三个未知数。一、 本构方程常用

36、形式：， 二、位移表示的平衡方程：1一般形式，此表式完全等同于（）（中文8-2）2.lame方程，这就是lame方程。3.形变和体变位移被分为有源（无旋，体变）、无源（有旋，形变）两部分。体力为惯性力时：，这就是纵波和横波的波动方程或振动方程4.位移特点： a常体力问题体应变为调和函数：b普通位移为双调和函数：对求导两次即加算子，可得，各位移分量为双调和函数。三、轴对称问题（只讲结论）：基本公式：；，物理方程：, or ，其中，两个未知数，两个方程。四、球对称问题：（只讲结论） 基本公式：，代入可得（9-1-7）式，一个未知数、一个方程，亦可（复杂）无体力时：，令代入，可求；有体力问题同学们不

37、妨一试五、边界条件 为了方便，依原样，力是力，位移是位移。 9-2半空间受重力和均布荷载问题（详见书，直角坐标系应用）思路：由于平面对称性只有纵向位移w纵向平衡方程求得纵向位移（包含两个未知数）顶面力边界确定一个系数。底部边界位移，确定另外一个系数。注意概念：应力比，侧压力系数。注意h的含义，z大于h又如何？h无穷大又如何？真实情况1.定一个近似的底部边界，2.题中条件不现实，假如真实这样，我们可以把地球推走，自然w就无穷大，3.力系平衡，必须有一个位置提供反力，这个部位可以称之为固壁，从而z只能比h小，也只有这样问题才有意义。所以书中描述不准确。9-3空心球受均匀压力问题（详见书，球对称问题

38、应用）9-4位移函数、位移势（略），但注意，前面既已推导出应变是双调和函数或调和函数，此解法必然存在。9-5拉甫和伽辽金位移函数（略），轴对称空间问题。9-6半空间受法向点荷载问题（boussinesq解）一、 问题描述：1. 基本特征：无体力、轴对称2. 坐标系选取，如书中图所示3. 受力特征及力边界条件临空面非奇异点正应力和剪应力为零：无穷远处应力为零：同一平面（任意）轴向应力的合力与顶部集中构成平衡力系：（注意：到底是加P还是减P？）4. 位移边界条件：无穷远处位移为零：二、 求解过程：复杂(略)三、 结果验证：1. 平衡方程：2. 边界条件：四、 讨论：1. 水平面上任意一点的位移：2

39、. 圣维南原理讨论：正宗3. 水平截面应力讨论：与弹性常数无关、合力指向集中荷载点4. 等效应力曲线：5. 弯沉仪五、 用途1. 地基计算理论的基本计算公式之一2. 同时可以用于地面分布荷载的计算（积分）9-7 半空间上矩形荷载作用计算原理：将面荷载化成点荷载，然后利用已有的布希涅斯克解答叠加积分，变成一个纯数学问题。即：集中荷载，详见书应用：条形基础的设计与分析。9-10 （中文8-4）应力解法，相容方程思路：1. 15个方程、15个未知数；2. 如果用应力求解，则需用六个方程、六个未知数；3. 平衡方程完全由应力构成，三个；4. 协调方程，由三个位移变量推出六个应变变量，多出三个5. 此三

40、个实际上就是相容方程，也可以写成六个，但独立的仍然只有三个，6. 用应力表达后，它们可以与平衡方程构成一个求解体系。讨论：1. 纯应力边界问题2. 位移边界和混合边界问题9-11等截面梁的纯弯问题（略）chapter 10 等截面杆的扭转问题10-1 位移和应力一、 问题描述：任意截面、无体力作用、仅力偶M作用，故可以认为是一个纯剪问题。坐标系二、 边界条件： 任意截面形状均在侧面存在相同的边界条件：故必有 z方向边界没有纵向应力，故 横截面力偶，归结为相应剪应力作用，即，它们的作用结果即为力偶。三、 应力函数体力为零：，得直角坐标系下得平衡方程：，又是一种应力函数。比较平面问题应力函数相差一个长度单位 代入相容方程：，C为常数，一个方程，一个未知数。四、 应力函数表示的应力边界条件，及边界条件检验：1. 侧面：，其中，ds取顺时针为正。由于常数项不影响应力取值，故单联域可以取此常数为零，多联域则仅定义一个为零。2. 顶部（任意取一端，如顶端）：(