解分式方程的特殊方法与技巧

1、实用标准文案0.精彩文档分式方程意义及解法一、内容综述：1.解分式方程的基本思想在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整 式方程.即分式方程 ！整式方程2.解分式方程的基本方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程.但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。产生增根的原因：当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或 除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一 定是

2、原方程的解.检验根的方法：(1) 将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。(2)为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0,就是原方程的根；如果使公分母等于0,就是原方程的增根。必须舍去.实用标准文案精彩文档注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为用去分母法解分式方程的一般步骤:(i)去分母，将分式方程转化为整式方程;(ii)解所得的整式方程；(iii)验根做答(2)换元法为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量， 从而把问题化繁为简,

3、化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程 的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程.用换元法解分式方程的一般步骤：(i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；(ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；(iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值；(iv)检验做答.(1)换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方 法。它的基本思想是用换元法把原方程化简， 把解一个比较复杂的方程转化为解两个 比较简单的方程。(2)分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不 能用换元法

4、解的，再用去分母法。实用标准文案精彩文档(3)无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤实用标准文案精彩文档、例题精析:兀12 “- - - = +1例1.解分式方程：分析：解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。解：方程两边都乘以x(x+2)，约去分母，得x+4-x=2(x+2)+x(x+2)整理后，得x2+4x=0解这个方程，得Xi=O, x2=-4,代入公分母检验：当xi=0时，x(x+2)=0 x(0+2)=0,x=0是增根；当X2=-4时，x(x+2)=-4X(-4+2)工0,二x=-4是原方程的根。故原方程的根是x=-4。分析：本题中各个分式的分子与分母是同次多项式，

5、故从中析出一个整数来(用, 2-=1 +-拆分分式的方法)，二*考虑方程中有四个分式，可以移项后利用公式h -a _ 1 _ 1必。匸把分式拆项，将方程化简。- 9 + 2JL- 5 2A-+ 2-8 + 2- 十- =-十-命况.xx5x6 x- S例2.解方程:实用标准文案精彩文档1111_ _ = _ _移项，整理，得二t-8-_ K-X 忑+6即厂rJ-丁：1_1亦即 二1:-1: - :1:-去分母，得(x-6)(x-5)=(x-9)(x-8)，去括号，整理，得x=7.经检验，x=7是原方程的根。二原方程的根是x=7。北十弓x十4 x + 1 x十2_ _ _ _例3.解方程- -一

6、 。解法1:方程两边都乘以(x+4)(x+5)(x+2)(x+3)，去分母，得(x+3)2(x+5)(x+2)-(x+4)2(x+2)(x+3)=(x+1)(x+4)(x+5)(x+3)-(x+2)2(x+4)(x+5)X = 即4x+14=0,:,经检验知1是原方程的解。解法2:方程两边分别通分，得兀十3)懐十力一(工十4尸-(h 十呱工十耳一(x十2(5)3 +4)仗 + 可即：/. (x+5)(x+4)=(x+2)(x+3)1十-M +十1十实用标准文案精彩文档解法3:利用拆分分式的方法将原来的方程变形。.1 . 1d1q11 _-_ 1十-=1 -_ 十-原方程可化为Q - -1111

7、_ _U_ 即：二-1 -1两边分别通分，得m 二，7X =解之，得 】。（旦）J（亠）+5=0例4.解方程-xy =-解：设-,则原方程变形为y2-5y+6=0,解得yi=2, y2=3,耳由-=2，解得xi=4;- =3由-，解得X2=3.经检验Xi=4, x2=3，都是原方程的根。2xa+ 3 - 4 =-例5.用换元法解方程.y -A =解：设2x2+3x=y，于是原方程变为.,整理，得y2-4y-5=0解得yi=5, y2=-1.当y=5时，即2x2+3x=5,=_5解得xi= 1,I ,实用标准文案精彩文档当y=-1时，2x2+3x=-1，解得X3=-1,1-,=1=_5=_=_1

8、经检验，二.1二都是原方程的根。F - 6 * 1-加十例6.解方程；-。分析：利用方程左边结构特点，构造一元二次方程来解解：设，所以原方程变形为：y+=7,整理得：y2-7y+10=0解得yi=2, y2=5,当yi=2时，即-匚,xi=O, x2=2;-5当y2=5时，:,即x2-5x+9=0（A0，此方程无实根）经检验，xi=0, x2=2是原方程的解。空112（/十I 3（工十）例7.解方程二;.（za+-L-3W3b（；r-b-）a（兀十 $ 十丄十2分析：此方程初看起来容易把，而实际上-（*十丄）工仁十丄尸十4十丄尸一2兀1 =1,花二原方程的根为1实用标准文案精彩文档所以 ：-.

9、但是一，就是说原方程可变形为1】12（工十 _尸_2_弓（一）工工,变形后才可用换元法解此方程。2十丄乎2孑（兀十丄）=1解：原方程可化为丄-2（x+l）J-3+l）-5 = 0即上1,1兀十一三卩设,则原方程可化为：2y2-3y-5=05解得yi=-l,y2=-,当y=-l时，,去分母整理，得x2+x+1=0解这个方程，:-5x-3例3、解方程:实用标准文案精彩文档o解之，得x=7。经检验，x=7是原方程的解。试一试：用拆项法来解此题。四、消去常数法实用标准文案精彩文档精讲与解：两个方程左边的分母都是x+y和：丿，右边的常数都是3，因此，消去常数就能得到x、y之间更为明显的数量关系7-5.0-，得+ yy。去分母、整理，得x=6y。代入，解之得y。故x=18经检验，是原方程组的解。五、整体消元法看成一个整体，代入消元，则更加简捷4 M - 1将代入，得；，解之，得x=18把x=18代入，得y=9例5、解方程组:精讲与解:常规方法是通过换元化为二元一次方程组求解。如果把例4、解方程组:实用标准文案精彩文档Fx-is经检验，是原方程组的解。六、倒数法精讲与解：对每一个方