ARMA建模 - 理论-

1、1. ARMA模型的基本性质2.建立ARMA模型的基本步骤3. MATLAB中相关函数的用法及示例4.案例分析5.练习1. ARMA模型的基本性质ARMA模型的结构一般的ARMA(p,q模型的形式为AR(p模型AR(q模型2.时间序列建模的一般步骤 下面总结一下实施建模的各个具体步骤(一怎样判断序列的平稳性?什么是平稳性?这里的平稳指宽平稳。如果序列满足下列条件,则称为是平稳的:1.2.3.性质3,记为,称为 延迟为的自相关系数(ACF,其中.平稳性的直观含义是“序列的前二阶矩不随时间的推移而改变”,这使得我们可以把不同时间点的数据放在一起作统计推断.判断平稳性的方法一,观察时序图根据平稳性的

2、定义,平稳序列具有常数均值和常数方差的性质,因此其时序图应该在一个常数值附近波动,且波动的范围有界;具有明显趋势性和周期性的序列通常不是平稳序列;判断平稳性的方法二,自相关图检验前面的课程里面我们知道平稳序列通常只具有短期的自相关,即自相关函数(ACF 往往很快的衰减到零。因此衰减很慢的序列很可能是非平稳的.(二怎样做白噪声检验?什么是白噪声?如果序列满足: 为白噪声序列(White Noise,记为如果还服从正态分布,则称为高斯白噪声.白噪声检验方法:Ljung-Box检验白噪声是纯随机性序列,它具有性质因此我们可以通过检验下列假设来检验序列是否是白噪声 检验统计量为LB(Ljung-Box

3、统计量 在原假设成立的条件下,LB 近似服从自由度为的卡方分布,因此时拒绝原假设.(三 怎样计算自相关系数和偏自相关系数? 样本自相关系数(SACF 样本偏自相关系数(SPACF 其中, (四 怎样识别模型?,也就是模型的定阶; ARMA 模型的理论ACF 和理论PACF模型自相关系数 (ACF 偏自相关系数 (PACF 模型 模型 模型 拖尾 阶截尾 拖尾 阶截尾 拖尾拖尾理论上讲,我们可以根据上述特点确定模型的阶;但在实际操作中具有下列的障碍 a SACF,SPACF 不会出现理论上的完美截尾情况;本应截尾的SACF 和SPACF 仍会出现小值震荡的情况; b 平稳序列通常只具有短期相关性

4、,当足够大时,SACF 和SPACF 总会衰减到零值附近做小值震荡;现在我们的问题是:当SACF和SPACF衰减到零时,什么时候认为它是属于ACF和PACF 截尾?什么时候认为它是正常衰减到零?什么时候认为近似服从标准正态分布,因此当时, 于是有因此,当SACF落在2倍标准差的范围内时,我们认为;怎样判断截尾还是拖尾?如果有SACF在最初的阶明显大于2倍标准差,而后几乎95%的SACF都落在2倍标准差内,且这种过程很突然,则可以视为是“截尾”;反之,如果超过5%的SACF落在2倍标准差范围之外,或者SACF衰减到零的过程比较缓慢连续,则通常不是截尾;实际建模中往往依靠分析人员的主观经验;(五怎

5、样估计未知参数?在确定所采用的模型之后,下一步就是估计模型中的未知参数,主要有两种方法:极大似然估计和最小二乘估计,这里只是简单介绍它们的基本原理;对于下列一般的ARMA(p,q模型, 其中, 由于是序列的均值,因此我们用样本均值来估计它,.现在我们还需要估计下列参数,共计未知参数;极大似然估计似然原则:样本来自使得该样本出现概率最大的总体.方法:找出样本的联合密度函数(即似然函数,找使得该函数达到最大的参数值. 服从多元正态分布; 则似然函数为 然后对上式求最大值得;上面我们不能求出的显示表达式,但是可以用数值迭代的办法求得;最小二乘估计最小化下面的准则显然上述优化也只能借助数值算法来求得;

6、条件最小二乘法实际中用得最多的是所谓的条件最小二乘法,它的想法如下:回顾ARMA模型的逆转形式:我们假设则条件最小二乘法最小化下列准则(六 模型的有效性检验 模型的有效性是看模型是否充分地从数据中提取了信息， 因此在这里， 一个有效的好的 模型应该几乎提取了数据中所有的信息，使得剩下的残差 中不再蕴含任何相 关信息，即残差应该是纯随机的序列，即白噪声序列。这样的模型才是显著的有效的模 型。 因此，在拟合模型之后我们要对残差做白噪声检验，如果检验结果显示残差非白噪声， 则说明模型不够有效，还需要选择其它的模型； (七 模型的优化 当一个拟合的模型通过了残差检验，说明了在一定的置信水平下，该模型是有效的，但 是这种有效的模型并不一定唯一， 因此我们需要通过模型优化来从备选的有效模型里面 选一个“最好”的模型； l AIC准则 在模型的准确度与参数估计的准确度之间达到某种均衡 参数个数越多，模型可选的范围广，模型越准确，但是随着参数的增多，估计的难度越 来越大，估计的精度越来越低，一个好的模型应该在上述两方面达到均衡. AIC=-2log(模型的极大似然函数值+2(模型中的未知参数个数 上述准则