创设新颖情境 体现课标理念 考查探究能力

1、试 题研 究创设新颖情境 体现课标理念 考查探究能力2010年高考数学创新试题赏析510900 广东省中小学名师工作室主持人(广州市从化中学) 杨仁宽 （此文发表在核心期刊中学数学2010年第8期上）纵观2010年各省(市)高考数学试题，不难发现：各省(市)的高考数学文科及理科试题，不仅充分体现了新课标的基本理念，逐步向新课程标准的要求过渡，而且创设多种新颖别致的数学问题情境，呈现出多个有创新意识的数学问题，以考查考生的探究能力和应用能力等本文归纳其中的部分上佳试题并赏析如下，以供参考1 普及科学文化基础知识11 推广科普基础知识例1 (湖南理9)已知一种材料的最佳加入量在110g到210 g

2、之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是_ g简解 根据0.618法，第一次试点加入量为110（210110）0.618171.8或210（210110）0.618148.2，应填写赏析 本题意在考查优选法中的0.618法12 推介高数基础知识例2 (福建10)对具有相同定义域D的函数和，若存在函数(为常数)，对任给正数，存在相应的，且时，总有，则称直线：为曲线和的“分渐近线”给出定义域的四组函数如下： ，； ，； ，； ，其中，曲线与存在“分渐近线”的是（ ）A B CD简解 明确了本质，就能顺利作答：存在分渐近线的充要条件是时，对于，当时便不符合，所以不存在；对于，肯定存

3、在分渐近线，因为当时，；对于，设，设且，所以当时，越来愈大，从而会越来越小，不会趋近于0，不存在分渐近线；对于当时，因此存在分渐近线故 存在分渐近线的函数是和，应选C赏析 本题从高等数学中数列极限定义的角度出发，构造“分渐近线”函数，将一次二次函数、指数对数函数、幂式分式等常用函数有机地融于一题，考查学生分析问题、解决问题的能力，考生要抓住本质“存在分渐近线的充要条件是时，”做答，思维较灵活，是一道好题考查高等数学基础知识的，还有下列例3 (四川理16)设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集下列命题： 集合S abi|为整数，为虚数单位 为封闭集； 若S为封闭集，则一定有；

4、封闭集一定是无限集； 若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.其中真命题是 （写出所有真命题的序号）答案：，（过程略）2 创设新颖的问题情境21 引入新符号，定义新概念例4 (湖北理10)记实数，中的最大数为max，最小数为min已知ABC的三边长位，（），定义它的亲倾斜度为则“=1”是“ABC为等边三角形”的（）A必要而不充分的条件B充分而不必要的条件C充要条件D既不充分也不必要条件简解若ABC为等边三角形时，即a=b=c，则，此时l=1；若ABC为等腰三角形，如a=2，b=2，c=3时，则，此时l=1仍成立，但ABC不为等边三角形，所以A正确赏析本题引入两个高等数学中常用的数学符号“ma

5、x”，“min”，以分别表示最大，最小.并定义了新概念“亲倾斜度”，考查考生的信息迁移能力及分类讨论思想，特殊化方法等.类似地，有下列例5 (湖南理8)用min表示a，b两数中的最小值若函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）A-2 B2 C-1 D1赏析本题通过引入新的符号定义，考查函数的图象，数形结合思想，创新意识与应用能力等，易知选D22 规定新运算，实施新法则例6 (山东理12)定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的，令下面说法错误的是（ ）A若与共线，则；B；C；D对任意的，有简解 若与共线，则有，A正确；因为，而，所以有，故选项B错误，故选B赏析本题在平面向量的基础上，加以创新

6、，较有新意，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力23 规定新“关系”，编拟新命题例7 (上海文22)若实数、满足关系：，则称比接近.(1) 若比3接近0，求的取值范围；(2) 对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；(3) 若函数的定义域D=.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明).简解(1) 依题意，|，由此可得，(-2，2)为所求；简证(2) 对于任意两个不相等的正数a、b，有，因为，所以，即a2b+ab2比a3+b3接近；简解(3) 对依题意，可以得到函数，由此易知：f(x)是偶函数，f(x)有最小正周

7、期p，f(x)的最小值为0，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，kÎZ赏析本题规定了两个实数之间的一种关系，叫做“接近”，据此编拟了很有新意的考题：以递进式设问，逐步增加难度，又以学生熟悉的二元均值不等式及三角函数为素材，给考生以亲近之感！将绝对值不等式、均值不等式、三角函数的主要性质等恰如其分地网络于其中，为了减轻考生在表述上的困难，命题人将第(3)问设计为简答题(只要“写出”结论，不要求证明)，可谓匠心独具！3 体现新课程标准的理念31 学习内容的选择性与升学考试的选拔性例8 (广东理21) 设，是平面直角坐标系上的两点，定义由点到点的一种折线距离为对平面上给定的不同两点

8、，(1)若点是平面上的点，试证明(2)在平面上是否存在点，同时满足 ； 若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明证明(1) 由绝对值不等式，知，=，当且仅当且时，“=”号成立简解(2) 由得 且 ()由，得 ()由，是不同的两点，则 若且，不妨设，由()得且，由()得 ，此时点是线段的中点，即只有点满足条件； 若且，同理可得：也只有线段的中点满足条件； 若且，不妨设且，由()得且，由()得，此时，所有符合条件的点的轨迹是线段：过的中点，斜率为的直线夹在矩形之间的部分(，)赏析本题以绝对值为载体，定义平面内两点之间的“折线距离”，第(1)题考查绝对值不等式，第(2)题则以绝对值不等式

9、中等号成立的条件为背景编拟，考查分类讨论思想，数学化方法，探究能力等，体现了高中新课程内容选择的基本原则之一的“选择性为适应社会对多样化人才的需求，满足不同学生的发展需要，在保证每个学生达到共同基础的前提下，各学科分类别、分层次设计了多样的、可供不同发展潜能学生选择的课程内容，以满足学生对课程的不同需求”因以选修45“不等式选讲”的内容编拟，而彰显出新课程学习内容的选择性与高考升学的选拔性的双重功效32 试题的开放性与求解的探究性例9 (山东理21)如右图，已知椭圆()的离心率为，以椭圆上的点与其左、右焦点为顶点的三角形的周长为一等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，设为双曲线上异于顶点的任一点，斜率

10、分别为、的直线和与椭圆的交点分别为和(1) 求椭圆和双曲线的标准方程；(2) 证明；(3) 是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由简解(1) ，(过程略)简证(2) 此处从略简解(3) 假设存在常数符合题意，则由(2)，可设：，代入椭圆方程，得，设，则，从而，同理将以上两式，代入即得.所以，否存在常数，使得恒成立赏析本题以椭圆、双曲线为题材，从定义、离心率、标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，到第(3)题的开放式设问，综合考查学生的观察、推理以及创造性分析问题、解决问题的能力等，充分体现了“重基础，考能力”的命题思路33 考查综合素质与数学潜能例10 (北京理20) 已

11、知集合(2)对于，定义A与B的差为规定A与B之间的距离为(1) 证明：，且;(2)证明：三个数中至少有一个是偶数；(3) 设P，P中有m(m2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为.证明：.简证(1) 设，则由，得到，即又，所以当时，；当时，故 .简证(2) 设，记记，由(1)和，知：，即的个数为k，的个数为，.设是使成立的的个数，则有，因此，不可能全为奇数，即中至少有一个是偶数简证(3) 显然P中会产生个距离，即，其中表示P中每两个元素之间距离的总和分别考察第个位置的情况，不妨设P中第个位置一共出现了个1，则有个0，因此在这个位置上所产生的距离总和为，那么n个位置的总和，即 赏析本题的创新，继承了2007年北京压轴题的立意，在离散情况下处理集合的新背景，有一定的组合技巧，综合性较强，重在考查学生的综合素质与数学潜能学生的瓶颈在于读