中南大学材料力学第3章(扭转)课件

1、 Me主动力偶主动力偶阻抗力偶阻抗力偶1 螺丝刀杆工作时受扭螺丝刀杆工作时受扭一、扭转的工程实例一、扭转的工程实例2 汽车方向盘的转动轴工作时受扭汽车方向盘的转动轴工作时受扭3 机器中的传动轴工作时受扭机器中的传动轴工作时受扭二、扭转的概念二、扭转的概念两力偶作用面之间的各横截面绕轴线相对转动。两力偶作用面之间的各横截面绕轴线相对转动。 杆件受到一对等值、反向、作用面与轴线垂直的外力偶作用杆件受到一对等值、反向、作用面与轴线垂直的外力偶作用扭转角扭转角 1 受力特点受力特点memeOBA切应变切应变 2 变形特点变形特点转速：转速：n输入功率输入功率：P设：轴的转速设：轴的转速 n 转分转分

2、(rmin) ，轮传输的功率为：，轮传输的功率为： P （千瓦千瓦kW 或马力或马力HP)实际作用于该轮的外力偶矩实际作用于该轮的外力偶矩 me ，则，则min)/()(55. 9)mkN(rnkWPMemin)/()(024. 7m)(kNrnHPPMeeMP602 n一、外力偶矩的计算一、外力偶矩的计算 1 扭矩的概念扭矩的概念扭转变形的杆往往称之为扭转变形的杆往往称之为扭转轴扭转轴，扭转轴横截面上的内力，扭转轴横截面上的内力称为称为扭矩扭矩（MT）2 截面法求扭矩截面法求扭矩MeMeMeMTx0 xm0eTMMeTMM二、内力偶矩二、内力偶矩扭矩的计算扭矩的计算 3 扭矩正负规定扭矩正负

3、规定 由右手螺旋法则确定，扭矩矢量与截面外法线一致，扭矩由右手螺旋法则确定，扭矩矢量与截面外法线一致，扭矩为正；反之为负。为正；反之为负。MeMTxMeMTx4 扭矩图扭矩图 扭矩沿轴线方向变化的图形，横坐标表示横截面的位置，扭矩沿轴线方向变化的图形，横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示扭矩的大小。纵坐标表示扭矩的大小。 xMTMe Me AB图所示传动轴，主动轮图所示传动轴，主动轮C输入的功率输入的功率P1=500kW，若不计轴承，若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，轴的转速轴的转速

4、n = 100r/min，试作轴的，试作轴的扭矩图。扭矩图。 nA B C DMe2 Me3 Me1 Me4Example解：解：1 1 计算外力偶矩计算外力偶矩 m)15.9(kN 3005009.5555. 911nPmem)(kN 78. 43001509.5555. 9232nPmmeem)(kN 37. 63002009.5555. 944nPmenA B C DMe2 Me3 Me1 Me42 2 计算轴各段的扭矩计算轴各段的扭矩 2-2： 1-1： x112233nA B C DMe2 Me3 Me1 Me4mkN78. 4M0M , 02121eTeTxmmmmkN56. 9M

5、 , 0M 33222322eeTeeTmmmmmkN37. 6 , 04343eTeTmMmM3-3： 3 3 绘制扭矩图绘制扭矩图 nA B C DMe2 Me3 Me1 Me44.78xMT9.566.37mkN 56. 9maxTM一、薄壁圆管的扭转应力一、薄壁圆管的扭转应力 0101rt , r0：为平均半径为平均半径）(壁厚壁厚 各圆周各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变1 实验观察实验观察 各纵向线各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形变倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形变为平行四边形。为平行四边形。 微元体无轴向、横向正微元体无轴向

6、、横向正应变，存在垂直于半径应变，存在垂直于半径方向的切应变，方向的切应变，圆周上圆周上所有的剪切变形相同所有的剪切变形相同。 圆周上各点在轴向、横向圆周上各点在轴向、横向无正应力无正应力，在垂直于半径，在垂直于半径方向上有方向上有相同的切应力。相同的切应力。由于壁很薄，可以假设剪应力沿壁厚由于壁很薄，可以假设剪应力沿壁厚均匀分布均匀分布2 假设假设 3 结论结论 1) 薄壁圆管横截面上各点无正应力薄壁圆管横截面上各点无正应力2) 薄壁圆管横截面上在垂直于半径方向上有相同的切应力薄壁圆管横截面上在垂直于半径方向上有相同的切应力DttAMtrMMtrrArMrATTTATA 2 2 2d d 0

7、 200000r0：薄壁圆管横截面平均半径薄壁圆管横截面平均半径二、切应力双生互等定理二、切应力双生互等定理 1 1 纯剪切纯剪切 微元体的四个侧面上只存在切应力无正应力。微元体的四个侧面上只存在切应力无正应力。 2 2 切应力双生互等定理切应力双生互等定理 在微元体的两个互相垂直的截面上，垂直于截面交线的在微元体的两个互相垂直的截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向均指向或背离该交线。切应力数值相等，方向均指向或背离该交线。 ()0:zMF (d )d(d )dyxxy acddxb dy tz三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律 当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力与当切应力不超过

8、材料的剪切比例极限时，切应力与切应变成正比。切应变成正比。 G 2(1)EG 剪切弹性模量剪切弹性模量P1 实验观察实验观察 一、圆轴扭转横截面上的应力一、圆轴扭转横截面上的应力1 各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变2 各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形变为平各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形变为平行四边形。行四边形。 2 平面假设平面假设圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍为平面，形圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍为平面，形状、大小不变，半径仍为直线，两相邻截面间的距离不变。状、大小不变，半径仍为直线，两相邻截面间

9、的距离不变。 3 定性结论定性结论1) 圆轴横截面上各点无正应力圆轴横截面上各点无正应力2) 园轴横截面上同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂园轴横截面上同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向直于其半径方向MT4 横截面上的切应力计算横截面上的切应力计算-三关系法三关系法 1） 变形关系变形关系 xxGGdddtg1xddd / / dx扭转角变化率扭转角变化率,单位扭转角单位扭转角 GxGxGGdddd2 2） 物理关系物理关系 xGdd3) 3) 静力关系静力关系 2PAdIA 令令抗扭刚度：截面抵抗抗扭刚度：截面抵抗扭转变形的能力扭转变形的能力OpdAMTAMATd ddd2

10、AxGAAxGAddd 2pTGIMx dd 截面的极惯性矩截面的极惯性矩4) 4) 扭转切应力的一般公式扭转切应力的一般公式 xGdd pTGIMx dd pTIM公式的使用条件：公式的使用条件：1)1)等直的圆轴等直的圆轴2)2)弹性范围内工作弹性范围内工作max , 2dR 22maxPTpTpTWMdIMIdM截面的抗扭截面系数截面的抗扭截面系数 单位：mm3 or m3 PTPTmaxWMIRM5) 5) 最大扭转切应力最大扭转切应力2 dIWpPpTIMunit：mm4，m4。AIApd22022d2dDApAI1) 1) 实心圆截面实心圆截面DdO5 极惯性矩极惯性矩IP与抗扭截

11、面系数与抗扭截面系数WP:163DRIWpp324D2222d2 dDdApAI)(DddDOd)-(12 . 016)1 (4343DDRIWpp1) 1) 空心圆截面空心圆截面)1 (32 )(324444DdD 1）强度校核2）截面尺寸设计3）求最大外载荷maxmaxPTWMmaxTPMW maxPTWM）（433116 16 DhollowDsolidWP PTmaxmaxWM二、圆轴扭转的强度条件二、圆轴扭转的强度条件1 1 强度条件：强度条件：2 2 强度条件应用：强度条件应用：图所示图所示图所示阶梯形圆截面轴图所示阶梯形圆截面轴，功率，功率P=150kW，轴的转速，轴的转速n =

12、 15.4r/s，许用切许用切 = 90MPa,试校核轴的强度试校核轴的强度。 D3 =135D2=75 D1=70ABCmmMTmExample解解 1 1 计算外力偶矩计算外力偶矩m m , ,做轴的扭矩图做轴的扭矩图nPm2103m)(kN551m)(N4151432101503.D3 =135D2=75 D1=70ABCmmMTm2 C2 C截面强度校核截面强度校核MPa23160701055133max.PTWM3 3 结论：安全结论：安全某传动轴，轴内的最大扭矩某传动轴，轴内的最大扭矩T = 1.5kNm ，若许用切应力，若许用切应力 = 50MPa。试按下列两种方案确定轴的横截面

13、尺寸，并比较试按下列两种方案确定轴的横截面尺寸，并比较其重量。实心圆截面。空心圆截面，其内外径的比值其重量。实心圆截面。空心圆截面，其内外径的比值di /d0 = 0.9。 解：解： 计算实心轴直径计算实心轴直径 max3P16TTWd 33361616 1.5 1053.5mm50 10Td 计算空心轴外径计算空心轴外径 max34P016(1)TTWd Example 33304461616 1.5 1076.3mm(1)(10.9 ) 50 10Td空心轴内径空心轴内径 00.90.9 76.368.7mmidd 确定空心轴与实心轴的重量比确定空心轴与实心轴的重量比 22276.368.

14、70.38553.5WW 空空心心实实心心 max34P016(1)TTWd 一、圆轴扭转变形一、圆轴扭转变形 1 1 单位长度单位长度dx的扭转角度的扭转角度 pTGIMx dd d d0lpTxGIM2 相距相距l 两截面的相对扭转角两截面的相对扭转角 pTGIlM若若MT 、G为常量为常量 二、圆轴扭转刚度条件二、圆轴扭转刚度条件 (rad/m) )()dd( maxmaxmaxpTGIMx )/( 180 )()dd( maxmaxmaxmGIMx pT ：园轴扭转的许用单位扭转角园轴扭转的许用单位扭转角1 刚度校核2 截面尺寸设计3 最大外载荷计算 max max GM ITp ma

15、x pTGIM 圆轴扭转刚度条件同样有三个方面的应用圆轴扭转刚度条件同样有三个方面的应用传动轴转速传动轴转速n = 500r/min，主动轮输入的功率，主动轮输入的功率P1 = 500HP。从。从动轮输出功率分别为动轮输出功率分别为P2=200HP，P3=300HP。轴的材料。轴的材料: :G = 80GPa， = 70MPa ， = 1o/m 。试选择。试选择ABAB的直径的直径d1 和和BCBC的直径的直径d2 。 500400P1P3P2ACBExample解：解：1 1 计算外力偶矩做扭矩图计算外力偶矩做扭矩图 MTx7.024 4.21(kNm)500400P1P3P2ACB16 3

16、1TPMdW mm4671070143421016163632.TMd 32 4 GMdITp mm801070143702416163631.TMd3 根据刚度条件设计各段直径根据刚度条件设计各段直径2 根据强度条件设计各段直径根据强度条件设计各段直径mm47411080143180421032 M 3249242. GdTmm8411080143180702432 M 3249241 .GdT mm75 mm8521 d,d则：则：思考：怎样安排主从动轮的位置才是最合理的？思考：怎样安排主从动轮的位置才是最合理的？AB两端固定的等截面空心圆杆两端固定的等截面空心圆杆ABAB， L=2m， =0.8，外径，外径D=0.0226m，杆件受均布扭转力偶矩