第二章(4)相对位置A

1、2.5 直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置一、平行问题一、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行.直线与平面平行直线与平面平行ABPmn几何条件几何条件: 若一直线平行于平面上若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此的某一直线，则该直线与此平面平行。反之，若直线与平面平行。反之，若直线与平面平行，则在平面内必可平面平行，则在平面内必可以找到一条直线与已知直线以找到一条直线与已知直线平行。平行。 直线与平面及两平面的直线与平面及两平面的相对位置包括：相对位置包括： 平行平行、相交相交和和垂直垂直。直线与平面平行作图问题直线与平面平行作图问题

2、 判别已知线面是否平行；判别已知线面是否平行； 作直线与已知平面平行；作直线与已知平面平行； 包含已知直线作平面与另一已知直包含已知直线作平面与另一已知直线平行。线平行。 结论：直线结论：直线ABAB不平行于定平面不平行于定平面fgdgedefabba例例1：过：过M点作直线点作直线MN 平行于平面平行于平面ABC。例例2：判别直线：判别直线AB 是否是否 平行于平面平行于平面DEF。acbabcmmnn无数解！无数解！例例3：试过点：试过点D作水平线作水平线DE平行于平行于ABC平面平面 adedfcbecfba例例4.已知线段已知线段MN=30mm，点，点N在点在点M之后，且线段之后，且线

3、段MN与与ABC平行，完成平行，完成MN和和ABC的两面投影。的两面投影。30nc11直线与特殊位置平面平行直线与特殊位置平面平行 XOABa (b )CDEFGHcde (f)h (g )a b a (b )c cd de fe (f)g h h (g ) 当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直线的同面投影平行，则直线和平面平行。或直线也为该投影面的线的同面投影平行，则直线和平面平行。或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面必定平行。（直线与平面的同面投影都具有垂线，则直线与平面必定平行。（直线与平面的同面投影都具有积聚性，则直

4、线和平面平行。）积聚性，则直线和平面平行。）.两平面平行两平面平行PQBCAFED几何条件：几何条件：若一平面上的若一平面上的两相交直线两相交直线对应平行于另一平面上的对应平行于另一平面上的两相交直线两相交直线，则这两平面相互平行。，则这两平面相互平行。两平面平行的作图问题两平面平行的作图问题 判别两已知平面是否相互平行；判别两已知平面是否相互平行； 过一点作一平面与已知平面平行；过一点作一平面与已知平面平行； 已知两平面平行，完成其中一平面的投影。已知两平面平行，完成其中一平面的投影。 例例4: 试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行m n mnr rss 结论：两平面平行结论：两平面平行

5、ab d f e dbefa cc 例例5: 已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线AB和和CD给定。给定。 试过点试过点K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面 。em n mnf e fsr srkkab ba cdd c 若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平行，则它们相互平行，则它们具有积具有积聚性聚性的那组投影必相互平行。反之，也成立。的那组投影必相互平行。反之，也成立。abcdefghABDCEFHGabcdefghadfghecb两特殊位置平面平行两特殊位置平面平行c f b d e a abcdefX Xf g abcdefga b c d e X X两特殊位置平面

6、平行两特殊位置平面平行 两一般位置平面平行两一般位置平面平行 ABKPMFKNL直线与平面相交直线与平面相交其其交点交点是两者的共有点是两者的共有点平面与平面相交平面与平面相交其其交线交线是两者的共有线是两者的共有线要讨论的问题：要讨论的问题：求交点、交线并判别可见性。求交点、交线并判别可见性。二、相交问题二、相交问题由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。(1)(1)一般位置一般位置直线与特殊位置平面相交直线与特殊位置平面相交 求交点并判别可见性求交点并判别可见性利用平面具有积聚性的投影，可直接判别可见性利用平面具有积聚性的投影

7、，可直接判别可见性 bbaaccmmnnkkanmcbnabcm思考思考1:1: 一般位置直线与正垂面相交一般位置直线与正垂面相交( )k21k21(2)特殊位置直线与特殊位置直线与一般位置一般位置平面相交平面相交 求交点并判别可见性求交点并判别可见性利用重影点判断可见性利用重影点判断可见性1 (2)aAbKk abBkffecFCEed思考题思考题2:2: 求求正垂线与一般位置平面相交的交点正垂线与一般位置平面相交的交点am ncbabnmcnlmmlnbaccabfkfkMmnlPBCacbPHAFKNLkf(3)(3)一般位置一般位置平面与特殊位置平面相交平面与特殊位置平面相交 求交线并

8、判别可见性求交线并判别可见性 将一般位置平面视为两相交直线，分别求一般位置直线与特殊位置将一般位置平面视为两相交直线，分别求一般位置直线与特殊位置平面的交点，交点相连即为交线平面的交点，交点相连即为交线判断可见性：判断可见性：(4).(4).两特殊位置平面相交两特殊位置平面相交 求交线并判断可见性求交线并判断可见性fcaebdefcbdam nmnACFBDENM(5)(5)一般位置一般位置直线与一般位置平面相交直线与一般位置平面相交 求交点并判别可见性求交点并判别可见性 一般位置线面相交由于直线和平面的投影都没有积聚性，一般位置线面相交由于直线和平面的投影都没有积聚性，求交点时无积聚性投影可

9、以利用，因此通常要采用辅助平面求交点时无积聚性投影可以利用，因此通常要采用辅助平面法求一般位置线面的交点。一般位置线、面相交求交点的步法求一般位置线面的交点。一般位置线、面相交求交点的步骤：骤：（1 1）含已知直线作特殊位置辅助平面；）含已知直线作特殊位置辅助平面；（2 2）求辅助平面与已知平面的交线；）求辅助平面与已知平面的交线；（3 3）求交线与已知直线的交点，交点即为所求。）求交线与已知直线的交点，交点即为所求。CABNMPEFK12以正垂面为辅助平面求线面交点以正垂面为辅助平面求线面交点QV21kk步骤步骤：1过过EF作正作正垂平面垂平面Q。2求求Q平面与平面与ABC的交线的交线。3求

10、交线求交线与与EF的交的交点点K。12以铅垂面为辅助平面求线面交点以铅垂面为辅助平面求线面交点。PH1步骤步骤：1过过EF作铅作铅垂平面垂平面P。2求求P平面与平面与ABC的交线的交线。3求交线求交线与与EF的交的交点点K。kk2fee直线EF与 ABC相交，判别可见性。利用重影点判别可见性124 kk34( )21 3 （ ） 求两平面交线的问题求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点可以看作是求两个共有点的问题的问题, 因而可利用求一因而可利用求一般位置线面交点的方法找般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。连线即为两平面的交线。(6)(6)

11、两两一般位置平面相交一般位置平面相交 求交线并判断可见性求交线并判断可见性MBCAFKNL 两一般两一般位置平面相位置平面相交，求交线交，求交线步骤：步骤：求两平面的交线llnmmnPVQV1 2 21kkee2连接两个共连接两个共有点，画出交有点，画出交线线KE。示意图1用求直线与用求直线与平面交点的方平面交点的方法，作出两平法，作出两平面的两个共有面的两个共有点点K、E。利用重影点判别可见性两平面相交，判别可见性3 4 ( )3 4 21( )1 2例题例题6 试过K点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线EF相交 。分析 过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH

12、，KH即为所求。FPEKH作图mnhhnmPV11221过点K作平面KMN/ ABC平面。2求直线EF与平面KMN的交点H 。3连接KH，KH即为所求。小结小结 特殊位置求交（交点或交线）：特殊位置求交（交点或交线）：三判断三判断积聚投影或重影点判断。积聚投影或重影点判断。2.2.一般位置求交（交点或交线）：一般位置求交（交点或交线）：辅助平面法三步骤辅助平面法三步骤作垂面，求辅助交线，求作垂面，求辅助交线，求交点并判断可见性。交点并判断可见性。一看一看一面投影（积聚性）可知；一面投影（积聚性）可知；二作二作从属性作图；从属性作图；二、平面上的点与直线二、平面上的点与直线 平面上的点平面上的点

13、一定位于平面内的某条直线上一定位于平面内的某条直线上 平面上的直线平面上的直线 过平面上的两个点。过平面上的两个点。 过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。三、平行问题三、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。直线平行于平面内的一条直线。 两平面平行两平面平行 必须是一个平面上的一对相交直线对应平行必须是一个平面上的一对相交直线对应平行 于另一个平面上的一对相交直线。于另一个平面上的一对相交直线。四、相交问题四、相交问题 求直线与平面的交点的方法求直线与平面的交点的方法 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用一般位置直

14、线与特殊位置平面求交点，利用 交点的共有性和平面的积聚性直接求解。交点的共有性和平面的积聚性直接求解。 投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用 交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上 取点的方法求解。取点的方法求解。 求两平面的交线的方法求两平面的交线的方法 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置， 有时可找出两平面的一个共有点，根据交线有时可找出两平面的一个共有点，根据交线 的投影特性画出交线的投影。的投影特性画出交线的投影。 一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用一般位置平面

15、与特殊位置平面相交，可利用 特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共 有点，求出交线。有点，求出交线。本章结束a abd( (e) )ebdh( (f) )cfch求两平面的交线并判别可见性求两平面的交线并判别可见性mn空间及投影分析：空间及投影分析： 平面平面DEFH是一铅垂面，是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其它的水平投影有积聚性，其与与ac、bc的交点的交点m 、n 即为即为两个共有点的水平投影，故两个共有点的水平投影，故mn即为交线即为交线MN的水平投影。的水平投影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在MC上，点上，点在在FH上，点上，点

16、在前，点在前，点在在后，故后，故mc 可见。可见。作图作图X X211 1(2(2) )mn可通过正面投影可通过正面投影直观地进行判别。直观地进行判别。abcdefc f db e a m (n )空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC与与DEF都都为为正垂面正垂面，它们的正面投，它们的正面投影都积聚成直线。影都积聚成直线。交线必交线必为一条正垂线为一条正垂线，只要求得只要求得交线上的一个点便可作出交线上的一个点便可作出交线的投影。交线的投影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性作作 图图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见

17、。在上，其水平投影可见。nm能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？能能!如何判别？如何判别？例：求两平面的交线例：求两平面的交线MN并判别可见性。并判别可见性。km(n)bm n c b a ac 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析: 直线直线MN为铅垂线，其为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，水平投影积聚成一个点，故交点故交点K的水平投影也积聚的水平投影也积聚在该点上。在该点上。 求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在位于平面上，在前，点前，点位于位于MN上，在上，在后，故后，故k 1 1 为不可见为不可见。k 2 11 (2 )X Xc d e f a

18、 b abcdef投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影n位于位于def的外面，说的外面，说明点明点N位于位于DEF所确所确定的平面内，但不位定的平面内，但不位于于DEF这个图形内。这个图形内。 所以所以ABC和和DEF的交线应为的交线应为MK。nn m kmk 互交互交bc d e f a b acdef投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影n位于位于def 的外面，说明点的外面，说明点N位于位于DEF所确定的平面所确定的平面内，但不位于内，但不位于DEF这个这个图形内。图形内。 所以所以ABC和和DEF的的交线应为交线应为MK。mkk nn 求交线求交线 判别可见性判别可见性作

19、图作图m DEF的正面投影积聚的正面投影积聚求两平面的求两平面的交线交线并判别可见性并判别可见性要要 点点一、各种位置平面的投影特性一、各种位置平面的投影特性 一般位置平面一般位置平面 投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面三个投影为边数相等的类似多边形三个投影为边数相等的类似多边形类似性类似性。在其垂直的投影面上的投影积聚成直线在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 积聚性积聚性。另外两个投影类似。另外两个投影类似。 在其平行的投影面上的投影反映实形在其平行的投影面上的投影反映实形 实形性实形性。 另外两个投影积聚为直线。另外两个投影积聚为直线。 小小 结结重点掌握：重点掌握：二、如

20、何在平面上确定直线和点。二、如何在平面上确定直线和点。三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面 内的内的两组相交直线对应平行。两组相交直线对应平行。四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是 两者的共有点或共有线。两者的共有点或共有线。解题思路：解题思路：空间及投影分析空间及投影分析 目的是找出交点或交线的已知投影。目的是找出交点或交线的已知投影。判别可见性判别可见性 尤其是尤其是如何利用重影点判别。如何利用重影点判别。一、平面的投影特性，一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的尤其是特殊位置平面的 投影特性。投影特

21、性。 直线与平面相交，其交点是直线与平面的直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。共有点。1. 直线与平面相交直线与平面相交要讨论的问题：要讨论的问题：(1) (1) 求直线与平面的交点。求直线与平面的交点。 (2) (2) 判别两者之间的相互遮判别两者之间的相互遮 挡关系，即判别可见性。挡关系，即判别可见性。 我们将分别讨论直线与平面至少有一我们将分别讨论直线与平面至少有一个处于特殊位置的情况。个处于特殊位置的情况。2. 两平面相交两平面相交 两平面相交其交线两平面相交其交线为直线，交线是两平面为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有的点都是两平面

22、的共有点。点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求两平面的交线求两平面的交线方法：方法： 确定两平面的确定两平面的两个两个共有点。共有点。 确定确定一个共有点一个共有点及交线的方向。及交线的方向。 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。判别可见性。基本要求（一）平行问题（一）平行问题 1 1熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； 2 2熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。（二）相交问题（二）相交问题 1 1熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的

23、投影具有积聚熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。 2 2掌握利用重影点判别投影可见性的方法。掌握利用重影点判别投影可见性的方法。（四）点、线、面综合题（四）点、线、面综合题 1 1熟练掌握点、线、面的基本作图方法；熟练掌握点、线、面的基本作图方法； 2 2能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。步骤和方法。5.2.3 直线与一般位置平面相交以正垂面为辅助平面求线面交点

24、示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图判别可见性 示意图(5)(5)一般位置一般位置直线与一般位置平面相交直线与一般位置平面相交 求交点并判别可见性求交点并判别可见性CABNMPEFK12以正垂面为辅助平面求线面交点QV21kk步骤：1过EF作正垂平面Q。2求Q平面与ABC的交线。3求交线与EF的交点K。12以铅垂面为辅助平面求线面交点。PH1步骤：1过EF作铅垂平面P。2求P平面与ABC的交线。3求交线与EF的交点K。kk2fee直线EF与 ABC相交，判别可见性。利用重影点判别可见性124 kk34示意图( )21 3 （ ）直线EF与平面 ABC相交，判别可见性示意图1 (2)(4)

25、3利利用用重重影影点点判判别别可可见见性性 求两平面交线的问题求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点可以看作是求两个共有点的问题的问题, 因而可利用求一因而可利用求一般位置线面交点的方法找般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。连线即为两平面的交线。(6)(6)两两一般位置平面相交一般位置平面相交 求交线并判断可见性求交线并判断可见性MBCAFKNL 两一般两一般位置平面相位置平面相交，求交线交，求交线步骤：步骤：求两平面的交线llnmmnPVQV1 2 21kkee2连接两个共连接两个共有点，画出交有点，画出交线线KE。示意图1用求直线与用求

26、直线与平面交点的方平面交点的方法，作出两平法，作出两平面的两个共有面的两个共有点点K、E。利用重影点判别可见性两平面相交，判别可见性3 4 ( )3 4 21( )1 2例题例题6 试过K点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线EF相交 。分析 过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。FPEKH作图mnhhnmPV11221过点K作平面KMN/ ABC平面。2求直线EF与平面KMN的交点H 。3连接KH，KH即为所求。直线与平面垂直的几何条件：直线与平面垂直的几何条件： 若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于 该平面的

27、一切直线。该平面的一切直线。4.3 直线与平面垂直、两平面垂直直线与平面垂直、两平面垂直定理定理1 若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。该平面的正平线的正面投影。knkn定理定理2（逆）（逆） 若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影，则直线必垂直于该平面

28、。面投影，则直线必垂直于该平面。例题例题7 平面由 BDF给定，试过定点K作平面的法线。acacnnkkh例题例题8 试过定点K作特殊位置平面的法线。hhhhh（a）（c）（b）例题例题9 平面由两平行线平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线给定，试判断直线MN是否垂是否垂直于该平面。直于该平面。efef结论：不垂直结论：不垂直两平面垂直的几何条件两平面垂直的几何条件 若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。都垂直于该平面。AD 反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任

29、意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。两平面垂直两平面不垂直g例题例题12 平面由平面由 BDF给定，试过定点给定，试过定点K作已知平面的垂面。作已知平面的垂面。ghacach例题例题13 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否 垂直。ffdd结论：因为AD直线不在 ABC平面上，所以两平面不垂直。2 1PV1 2kk例题例题14 试过定点试过定点A作直线与作直线与 已知直线已知直线EF正交。正交。QEFAK直线与特殊位置平面相交直线与特殊位置平面相交判断直线的可见性判断直线的可见性特殊位置直线与一般位置平面相交特殊位置直线与一般位置

30、平面相交E(5).(5).一般位置直线与一般位置平面相交一般位置直线与一般位置平面相交 求求交点交点并判别并判别可见性可见性一般位置直线一般位置直线 一般位置平面一般位置平面 投影均无积聚性，投影均无积聚性，交点不能直接求出交点不能直接求出相交相交辅助平面法辅助平面法一般位置线、面求交点的作图步骤：一般位置线、面求交点的作图步骤： 包含直线包含直线MNMN作辅助平面作辅助平面P P 求辅助平面求辅助平面P P与一般位置平面的交线与一般位置平面的交线 EFEF 求交线求交线EFEF与已知直线的交点与已知直线的交点K K ，即为所求，即为所求ABCPNMFK12PH1步骤：步骤：1包含包含EF作铅

31、垂面作铅垂面P。2求求P平面与平面与ABC的的 交线交线。3求交点求交点与与EF的的 交点交点K。kk2例例1 1 求一般位置平面求一般位置平面ABCABC和一般位置直线和一般位置直线EFEF的交点，并判断可见性的交点，并判断可见性fee直线直线EFEF与与 ABCABC相交，判别可见性。相交，判别可见性。利用重影点判别可见性12 24 4 kk( )2 21 3 3 4 43( )PvC12DABKNaabbccddkkn12n例例2 2 过点过点K K作直线与交叉两直线作直线与交叉两直线ABAB和和CDCD相交。相交。mmM 求两平面交线的问求两平面交线的问题可以看作是求两个共题可以看作是

32、求两个共有点的问题有点的问题, 因而可利因而可利用求一般位置线面交点用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两个点，将其连线即为两平面的交线。平面的交线。(6).(6).两一般位置平面相交两一般位置平面相交 求交线并判断可见性求交线并判断可见性MBCAFKNL 两一般两一般位置平面相位置平面相交，求交线交，求交线步骤：步骤：求两平面的交线llnmmnPVQV1 2 21kkee2连接两个共连接两个共有点，画出交有点，画出交线线KE。1用求直线与用求直线与平面交点的方平面交点的方法，作出两平法，作出两平面的两个共有面的两个共有点点K、E。利用重影点判别可见性两平面相交，判别可见性3 4 ( )3 4 21( 2 )1 例题例题3 3 试过K点作一直线平行于已知平面ABC， 并与直线EF相交 。分析