南大复变函数与积分变换44洛朗级数ppt课件

1、1第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 4.4 洛朗级数洛朗级数一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”二、洛朗二、洛朗(Laurent)定理定理三、将函数展开为洛朗级数的方法三、将函数展开为洛朗级数的方法2第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”1. 问题分析问题分析引例引例 根据前面的讨论已知，根据前面的讨论已知，函数函数 在在 点的幂级数点的幂级数z 110 z展开式为展开式为. )1| (,1112 zzzz 事实上，该函数在整个复平面上仅有事实上，该函数在整个复平面上仅有 一个奇点，一个奇点，1 z但正是这

2、样一个奇点，使得函数只能在但正是这样一个奇点，使得函数只能在 内展开内展开1| z为为 z 的幂级数，的幂级数， 而在而在 如此广大的解析区域内不能如此广大的解析区域内不能1| z展开为展开为 z 的幂级数。的幂级数。 有没有其它办法呢？有没有其它办法呢？一粒老鼠屎，坏了一锅汤！一粒老鼠屎，坏了一锅汤！3第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”1. 问题分析问题分析设想设想 这样一来，在整个复平面上就有这样一来，在整个复平面上就有由由 ，,1|1 z1| z有有 从而可得从而可得zzz111111 .11132 zzz; )1| (,1

3、112 zzzz. )1| (,1111132 zzzzz4第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”1. 问题分析问题分析启示启示 如果不限制一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话，如果不限制一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话，即如果引入负幂次项，那么就有可能将一个函数在整个即如果引入负幂次项，那么就有可能将一个函数在整个复平面上展开复平面上展开(除了奇点所在的圆周上除了奇点所在的圆周上)。 在引入了负幂次项以后，在引入了负幂次项以后，“幂级数幂级数的收敛特性如何呢？的收敛特性如何呢？ 下面将讨论下列形式的级数下面将讨论下列形式的级数:

4、.)()(202010 zzazzaa101202)()( zzazza nnnzza)(05第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”分析分析2. 级数级数 的收敛特性的收敛特性 nnnzza)(0将其分为两部分：将其分为两部分：正幂次项部分与负幂次项部分。正幂次项部分与负幂次项部分。;)()(202010 zzazzaa 00)(nnnzza(A) 10)(nnnzza.)()(202101 zzazza(B)(1) 对于对于 (A) 式，其收敛域的形式为式，其收敛域的形式为;|20Rzz (2) 对于对于 (B) 式，其收敛域的形式

5、为式，其收敛域的形式为;|10Rzz 根据上一节的讨论可知：根据上一节的讨论可知：6第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”结论结论2. 级数级数 的收敛特性的收敛特性 nnnzza)(0(1) 如果级数如果级数 收敛，收敛， nnnzza)(0.|201RzzR 则其收敛域则其收敛域“一定为环域：一定为环域： 如果只含正幂次项如果只含正幂次项( (或者加上有限个负幂次项或者加上有限个负幂次项) )，特别地特别地则其收敛域为：则其收敛域为：Rzz |00.|00Rzz 或或 如果只含负幂次项如果只含负幂次项( (或者加上有限个正幂次项或

6、者加上有限个正幂次项) )，则其收敛域为：则其收敛域为：.|0 zzR 上述两类收敛域被看作是一种特殊的环域。上述两类收敛域被看作是一种特殊的环域。7第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”结论结论2. 级数级数 的收敛特性的收敛特性 nnnzza)(0(1) 如果级数如果级数 收敛，收敛， nnnzza)(0.|201RzzR 则其收敛域则其收敛域“一定为环域：一定为环域：而且具有与幂级数同样的运算性质和分析性质。而且具有与幂级数同样的运算性质和分析性质。(2) 级数级数 在收敛域内其和函数是解析的在收敛域内其和函数是解析的, nnn

7、zza)(0 因而，下面将讨论如何将一个函数在其解析环域内展开因而，下面将讨论如何将一个函数在其解析环域内展开为上述形式的级数。为上述形式的级数。8第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 R2z0R1D二、洛朗二、洛朗(Laurent)定理定理设函数设函数 在圆环域在圆环域定理定理)(zf,)()(0 nnnzzazfC 为在圆环域内绕为在圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。的任何一条简单闭曲线。0z解析解析,201|:RzzRD 内内在此圆环域中展开为在此圆环域中展开为那么那么 一定一定能能)(zf,d)()(2110 Cnnzfia , ),2,1,0( n其中，其中，证明证明 ( (

8、略略) ) C P94定理定理 4.7 ( (进入证明进入证明?)?)9第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 注注 (1) 展开式中的系数展开式中的系数 可以用下面得方法直接给出。可以用下面得方法直接给出。na.d)()(2110 cnnzzzzfia 20110)()()(zzazzzfnn,10 nnazza,020 nai Cnzzzzfd)()(10二、洛朗二、洛朗(Laurent)定理定理R2 z0R1CD 1010101)()()()(nnnnnnzzazzazzazf10第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 注注 (2) 洛朗级数中的正幂次项和负幂次项分别称为洛朗

9、级数洛朗级数中的正幂次项和负幂次项分别称为洛朗级数二、洛朗二、洛朗(Laurent)定理定理的解析部分和主要部分。的解析部分和主要部分。(3) 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正负幂次项一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正负幂次项的级数是唯一的。的级数是唯一的。(4) 系数系数 Cnnzfia d)()(2110. )(!10)(zfnn ?(5) 若函数若函数 在圆环在圆环 内解析，那么内解析，那么 在在Rzz |00)(zf)(zf在此圆环内的洛朗展开式就是泰勒展开式。在此圆环内的洛朗展开式就是泰勒展开式。11第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 三、将函数展开为洛朗级数的方

10、法三、将函数展开为洛朗级数的方法1. 直接展开法直接展开法 根据洛朗定理，在指定的解析环上根据洛朗定理，在指定的解析环上.d)()(2110 Cnnzfia R2 z0R1CD直接计算展开系数：直接计算展开系数： 有点繁！有点烦！有点繁！有点烦！12第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 三、将函数展开为洛朗级数的方法三、将函数展开为洛朗级数的方法 根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。 两个重要的已知展开式两个重要的已知展开式,! 3! 21!032

11、e nnzzzznz.| z,111320zzzzznn .1| z2. 间接展开法间接展开法13第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 三、将函数展开为洛朗级数的方法三、将函数展开为洛朗级数的方法都需要根据函数的奇点位置，将复平面都需要根据函数的奇点位置，将复平面( (或者题目指定或者题目指定无论是直接展开法还是间接展开法，在求展开式之前，无论是直接展开法还是间接展开法，在求展开式之前，注意注意的展开区域的展开区域 ) )分为若干个解析环。分为若干个解析环。比如比如 设函数的奇点为设函数的奇点为,321zzz展开点为展开点为,0z则复平面则复平面被分为四个解析环：被分为四个解析环：0z

12、1z2z3zr1r2r314第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 12函数函数 有两个奇点：有两个奇点：)(zf,2,1 zz以展开点以展开点 为中心，为中心，0 z将复平面分为三个解析环：将复平面分为三个解析环：解解 (1) 将复平面分为若干个解析环将复平面分为若干个解析环;1|0 z;2|1 z.|2 z(2) 将函数进行部分分式分解将函数进行部分分式分解)2( )1(1)( zzzf.2111zz P97 例例4.13 15第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 解解12 当当 时，时，1|0 z(3) 将函数在每个解析环内分别展开将函数在每个解析环内分别展开zzzf 21

13、11)(21121z z 11.21101)( nnnz 0221nnnz 0nnz16第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 解解12 当当 时，时，2|1 z(3) 将函数在每个解析环内分别展开将函数在每个解析环内分别展开zzzf 2111)(21121z zz1111 011nnzz 0221nnnz.210101 nnnnnzz17第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 解解12 当当 时，时， |2z(3) 将函数在每个解析环内分别展开将函数在每个解析环内分别展开zzzf 2111)(zz2111 zz1111 011nnzz 021nnnzz.1201 nnnz18第四

14、章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 i i i有两个奇点：有两个奇点：, iz 以展开点以展开点 为中心，为中心，iz 将复平面分为两个解析环：将复平面分为两个解析环：解解 (1) 将复平面分为若干个解析环将复平面分为若干个解析环注意：不需要将函数进行部分分式分解。注意：不需要将函数进行部分分式分解。,)( )(1)(izizzf 函数函数;2|0 iz.|2 iz 0P98 例例4.15 19第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 0)2()() 1(211nnnniiziiz121211 iiziiziizizzf2)(11)( 解解 当当 时，时，2|0 izi i i(2)

15、 将函数在每个解析环内分别展开将函数在每个解析环内分别展开.)()2() 1(101 nnnnizi20第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 02)()2()1()(1nnnniziiziziiziz 21111iizizzf2)(11)( 解解 当当 时，时， |2izi i i(2) 将函数在每个解析环内分别展开将函数在每个解析环内分别展开.)()2(02 nnnizi21第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 函数函数 有两个奇点：有两个奇点：)(zf,2,1 zz以展开点以展开点 为中心，为中心，1 z解解 (1) 将复平面分为若干个解析环将复平面分为若干个解析环注意：不

16、需要将函数进行部分分式分解。注意：不需要将函数进行部分分式分解。;1| 1|0 z.| 1|1 z 0将复平面分为两个解析环：将复平面分为两个解析环：1222第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 解解 当当 时，时，1| 1|0 z(2) 将函数在每个解析环内分别展开将函数在每个解析环内分别展开12zzzzf 21)1(11)(2.)1(11)1(111)(2 zzz 0201)1()1()(nnnnzzzf,)1()1(110 nnzz.)1(2)1(1012 nnzz23第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 解解 当当 时，时， | 1|1z(2) 将函数在每个解析环内分别

17、展开将函数在每个解析环内分别展开12zzzzf 21)1(11)(2.)1(11)1(111)(2 zzz 1211)1(1)1(1)(nnnnzzzf,)1(1)1(111 nnzz.)1(12)1(132 nnzz24第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 解解)(e432313! 41! 31! 2111 zzzzzzz,! 41! 31! 223 zzzz在在 内展开成洛朗级数。内展开成洛朗级数。例例 把函数把函数zzzf13e)( | z |0.0 | z |.0 | z |解解)(e! 4! 3! 211143222zzzzzzz 在在 内展开成洛朗级数。内展开成洛朗级数。例

18、例 把函数把函数 | z |0zze21,! 41! 31! 211122 zzzz25第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 轻松一下吧26第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 附：洛朗定理的证明附：洛朗定理的证明由二连域的柯西积分公式有由二连域的柯西积分公式有 21,d)(21d)(21)(zfizfizf如图，在圆环内作两个圆：如图，在圆环内作两个圆：证明证明对对 内任一点内任一点 z ，R2zr R z0R1G1G1G2G2C,| :,| :0201Rzzrzz ,21RRrR 其中，其中，Rzzr |0.21II 记为记为27第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数

19、 附：洛朗定理的证明附：洛朗定理的证明证明证明 2,d)(211zfiI,22内内在在上上在在z 0010)()()(21)(2122nnnzzdzfidzfi 对第一个积分对第一个积分. 100 zzz 和泰勒展开式一样，可以推得和泰勒展开式一样，可以推得R2zr R z0R1G1G1G2G2C28第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 附：洛朗定理的证明附：洛朗定理的证明证明证明,)()(1)()(1111. 1,.d)(2110101010000001222 nnnnnnzzzzzzzzzzzzzzzzzfiI 因此因此的外部的外部在在点点上上在在由于由于对于第二个积分对于第二个积分29第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数 附：洛朗定理的证明附：洛朗定理的证明证明证明10,|.d)()()(21)(),()(d)()(21d)(21000010110102111 qzzrzzzqzzfzizRzRzzzfizfiINnn